高考理科数学二轮专题复习讲义专题二+第三讲 平面向量+Word版含答案.docx
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高考理科数学二轮专题复习讲义专题二+第三讲平面向量+Word版含答案
2019年高考理科数学二轮专题复习讲义
第三讲 平面向量
年份
卷别
考查角度及命题位置
命题分析
2018
Ⅰ卷
向量的线性运算·T6
1.平面向量是高考必考内容,每年每卷均有一个小题(选择题或填空题),一般出现在第3~7题或第13~15题的位置上,难度较低.主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等,数量积是其考查的热点.
2.有时也会以平面向量为载体,与三角函数、解析几何等其他知识交汇综合命题,难度中等.
Ⅱ卷
数量积的运算·T4
Ⅲ卷
向量共线的坐标运算及应用·T13
2017
Ⅰ卷
向量的模的求法·T13
Ⅱ卷
数量积的最值问题·T12
Ⅲ卷
平面向量基本定理及最值问题·T12
2016
Ⅰ卷
向量数量积的坐标运算·T13
Ⅱ卷
向量坐标运算、数量积与向量垂直·T3
Ⅲ卷
数量积求夹角·T3
平面向量的概念及线性运算
授课提示:
对应学生用书第25页
[悟通——方法结论]
如图,A,B,C是平面内三个点,且A与B不重合,P是平面内任意一点,若点C在直线AB上,则存在实数λ,使得=λ+(1-λ).
该结论比较典型,由此可知:
若A,B,C三点在直线l上,点P不在直线l上,则存在λ∈R,使得=λ+(1-λ).注意:
这里,的系数之和等于1.
特殊情形:
若点C为线段AB的中点,则=(+).
[全练——快速解答]
1.(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=( )
A.-B.-
C.+D.+
解析:
作出示意图如图所示.
=+=+
=×(+)+(-)
=-.
故选A.
答案:
A
2.如图,在直角梯形ABCD中,=,=2,且=r+s,则2r+3s=( )
A.1 B.2
C.3D.4
解析:
根据图形,由题意可得=+=+=+(++)=+(+)=+(+)=+.
因为=r+s,所以r=,s=,则2r+3s=1+2=3,故选C.
答案:
C
3.(2018·西安三模)已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ(+),λ∈[0,+∞),则动点P的轨迹一定经过△ABC的( )
A.外心B.内心
C.重心D.垂心
解析:
设BC的中点为D,则由=+λ(+),可得=λ(+)=2λ,所以点P在△ABC的中线AD所在的射线上,所以动点P的轨迹一定经过△ABC的重心.故选C.
答案:
C
4.(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=________.
解析:
2a+b=(4,2),因为c∥(2a+b),所以4λ=2,得λ=.
答案:
1.记牢2个常用结论
(1)△ABC中,AD是BC边上的中线,则=(+).
(2)△ABC中,O是△ABC内一点,若++=0,则O是△ABC的重心.
2.掌握用向量解决平面几何问题的方法
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如平行、垂直和距离、夹角等问题.
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
平面向量的数量积
授课提示:
对应学生用书第25页
[悟通——方法结论]
1.平面向量的数量积运算的两种形式
(1)依据模和夹角计算,要注意确定这两个向量的夹角,如夹角不易求或者不可求,可通过选择易求夹角和模的基底进行转化;
(2)利用坐标来计算,向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式,从而应用方程思想解决问题,化形为数,使向量问题数字化.
2.夹角公式
cosθ==.
3.模
|a|==.
4.向量a与b垂直⇔a·b=0.
[全练——快速解答]
1.(2017·高考全国卷Ⅱ)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则( )
A.a⊥b B.|a|=|b|
C.a∥bD.|a|>|b|
解析:
依题意得(a+b)2-(a-b)2=0,即4a·b=0,a⊥b,选A.
答案:
A
2.(2018·西安八校联考)在△ABC中,已知·=,||=3,||=3,M,N分别是BC边上的三等分点,则·的值是( )
A. B.C.6 D.7
解析:
不妨设=+,=+,所以·=(+)·(+)=+·+=(+)+·=×(32+32)+×=,故选B.
答案:
B
3.(2018·山西四校联考)已知|a|=1,|b|=,且a⊥(a-b),则向量a与向量b的夹角为( )
A.B.
C.D.
解析:
∵a⊥(a-b),∴a·(a-b)=a2-a·b=1-cos〈a,b〉=0,∴cos〈a,b〉=,∴〈a,b〉=.
答案:
B
4.(2018·合肥一模)已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a+b|=,则a在b方向上的投影等于________.
解析:
∵|a|=1,|b|=2,|a+b|=,∴(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=5+2a·b=3,∴a·b=-1,∴a在b方向上的投影为=-.
答案:
-
快审题
1.看到向量垂直,想到其数量积为零.
2.看到向量的模与夹角,想到向量数量积的有关性质和公式.
避误区
两个向量夹角的范围是[0,π],在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况,如已知两个向量的夹角为钝角时,不仅要求其数量积小于零,还要求不能反向共线.
平面向量在几何中的应用
授课提示:
对应学生用书第26页
[悟通——方法结论]
破解平面向量与“解析几何”相交汇问题的常用方法有两种:
一是“转化法”,即把平面向量问题转化为解析几何问题,利用平面向量的数量积、共线、垂直等的坐标表示进行转化,再利用解析几何的相关知识给予破解;二是“特值法”,若是选择题,常可用取特殊值的方法来快速破解.
(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是( )
A.-2 B.-
C.-D.-1
解析:
如图,以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴,以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,),B(-1,0),C(1,0),设P(x,y),则=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),所以·(+)=(-x,-y)·(-2x,-2y)=2x2+22-,当x=0,y=时,·(+)取得最小值,为-,选择B.
答案:
B
(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为( )
A.3B.2
C.D.2
解析:
以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),可得直线BD的方程为2x+y-2=0,点C到直线BD的距离为=,圆C:
(x-1)2+(y-2)2=,因为P在圆C上,所以P,=(1,0),=(0,2),=λ+μ=(λ,2μ),所以
λ+μ=2+cosθ+sinθ=2+sin(θ+φ)≤3,tanφ=2,选A.
答案:
A
数量积的最值或范围问题的2种求解方法
(1)临界分析法:
结合图形,确定临界位置的动态分析求出范围.
(2)目标函数法:
将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数,建立函数关系式,再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围.
[练通——即学即用]
1.(2018·南昌调研)如图,在直角梯形ABCD中,DA=AB=1,BC=2,点P在阴影区域(含边界)中运动,则·的取值范围是( )
A.B.
C.[-1,1]D.[-1,0]
解析:
∵在直角梯形ABCD中,DA=AB=1,BC=2,∴BD=.如图所示,过点A作AO⊥BD,垂足为O,则=+,·=0,
∴·=(+)·=·.
∴当点P与点B重合时,·取得最大值,
即·=·=××=1;
当点P与点D重合时,·取得最小值,
即·=-××=-1.
∴·的取值范围是[-1,1].
答案:
C
2.(2018·辽宁五校联考)一条动直线l与抛物线C:
x2=4y相交于A,B两点,O为坐标原点,若=2,则(-)2-4的最大值为( )
A.24B.16
C.8D.-16
解析:
由=2知G是线段AB的中点,∴=(+),∴(-)2-4=(-)2-(+)2=-4·.由A,B是动直线l与抛物线C:
x2=4y的交点,不妨设A(x1,),B(x2,),∴-4·=-4(x1x2+)=-4[(+2)2-4]=16-4(+2)2≤16,即(-)2-42的最大值为16,故选B.
答案:
B
授课提示:
对应学生用书第126页
一、选择题
1.(2018·郑州一模)已知向量a,b均为单位向量,若它们的夹角为60˚,则|a+3b|等于( )
A. B.
C.D.4
解析:
依题意得a·b=,|a+3b|==,故选C.
答案:
C
2.(2018·石家庄模拟)在△ABC中,点D在边AB上,且=,设=a,=b,则=( )
A.a+bB.a+b
C.a+bD.a+b
解析:
=+=+=+(+)=+=b+a,故选B.
答案:
B
3.设向量a=(1,m),b=(m-1,2),且a≠b,若(a-b)⊥a,则实数m=( )
A.B.
C.1D.2
解析:
因为a=(1,m),b=(m-1,2),且a≠b,所以a-b=(1,m)-(m-1,2)=(2-m,m-2),又(a-b)⊥a,所以(a-b)·a=0,可得(2-m)×1+m(m-2)=0,解得m=1或m=2.当m=2时,a=b,不符合题意,舍去,故选C.
答案:
C
4.(2018·南宁模拟)已知O是△ABC内一点,++=0,·=2且∠BAC=60˚,则△OBC的面积为( )
A.B.
C.D.
解析:
∵++=0,∴O是△ABC的重心,于是S△OBC=S△ABC.
∵·=2,∴||·||·cos∠BAC=2,∵∠BAC=60˚,∴||·||=4.又S△ABC=||·||sin∠BAC=,∴△OBC的面积为,故选A.
答案:
A
5.(2018·沈阳模拟)已知平面向量a=(-2,x),b=(1,),且(a-b)⊥b,则实数x的值为( )
A.-2B.2
C.4D.6
解析:
由(a-b)⊥b,得(a-b)·b=0,即(-3,x-)·(1,)=-3+x-3=0,即x=6,解得x=2,故选B.
答案:
B
6.(2018·洛阳模拟)已知向量a=(m,2),b=(3,-6),若|a+b|=|a-b|,则实数m的值是( )
A.-4B.-1
C.1D.4
解析:
由|a+b|=|a-b|,两边平方整理得a·b=0,即3m-12=0,故m=4,故选D.
答案:
D
7.已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是( )
A.1B.2
C.D.
解析:
因为|a|=|b|=1,a·b=0,
(a-c)·(b-c)=-c·(a+b)+|c|2=-|c||a+b|·cosθ+|c|2=0,其中θ为c与a+b的夹角,
所以|c|=|a+b|cosθ=cosθ≤,
所以|c|的最大值是.
答案:
C
8.(2018·抚州二模)已知a,b是两个互相垂直的单位向量,且c·a=1,c·b=1,|c|=,则对任意的正实数t,的最小值是( )
A
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