最新考研高等数学模拟训练考题含答案解析.docx
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最新考研高等数学模拟训练考题含答案解析
2019最新考研数学模拟试题(含答案)
学校:
__________姓名:
__________班级:
__________考号:
__________
题号
一
总分
得分
一、解答题
1.利用幂级数的性质,求下列级数的和函数:
(1);
(2);
解:
(1)由知,当|x|=<1时,原级数收敛,而当|x|=1时,的通项不趋于0,从而发散,故级数的收敛域为(-1,1).
记易知的收敛域为(-1,1),记
则
于是,所以
(2)由知,原级数当|x|<1时收敛,而当|x|=1时,原级数发散,故原级数的收敛域为(-1,1),记,易知级数收敛域为(-1,1),记,则,
故即,,所以
2.计算下列向量场的散度与旋度:
(1);
解:
(2);
解:
(3).
解:
,
3.试证:
方程只有一个实根.
证明:
设,则为严格单调减少的函数,因此至多只有一个实根.而,即为的一个实根,故只有一个实根,也就是只有一个实根.
4.设a为非零常数,b为正常数,求y=ax2+bx在以0和为端点的闭区间上的最大值和最小值.
解:
得不可能属于以0和为端点的闭区间上,
而,
故当a>0时,函数的最大值为,最小值为;
当a<0时,函数的最大值为,最小值为.
5.在半径为r的球中内接一正圆柱体,使其体积为最大,求此圆柱体的高.
解:
设圆柱体的高为h,则圆柱体底圆半径为,
令,得
即圆柱体的高为时,其体积为最大.
6.判定下列曲线的凹凸性:
(1)y=4x-x2;
解:
,故知曲线在内的图形是凸的.
(2);
解:
由sinhx的图形知,当时,,当时,,
故y=sinhx的曲线图形在内是凸的,在内是凹的.
;
解:
,故曲线图形在是凹的.
(4)y=xarctanx.
解:
,
故曲线图形在内是凹的.
7.用定积分的几何意义求下列积分值:
;
解:
由几何意义可知,该定积分的值等于由x轴、直线x=1、y=2x所围成的三角形的面积,故原式=1.
.
解:
由几何意义可知,该定积分的值等于以原点为圆心,半径为R的圆在第一象限内的面积,故原式=.
8.证明下列不等式:
;
证明:
当时,即
由积分的保序性知:
即
(2)
证明:
当时,
由积分的保序性知:
即
9.求由方程所确定的隐函数的导数.
解:
方程两边对x求导,有
又
故.
10.设星形线的参数方程为x=acos3t,y=asin3t,a>0求
d)星形线所围面积;
e)绕x轴旋转所得旋转体的体积;
f)星形线的全长.
解:
(1)
.
(2)
(3)xt′=3acos2tsint
yt′=3asin2tcost
xt′2+yt′2=9a2sin2tcos2t,利用曲线的对称性,
.
11.求正弦交流电经过半波整流后得到电流
的平均值和有效值。
解:
有效值
故有效值为.
12.求下列初等函数的边际函数、弹性和增长率:
(1)y=ax+b;(其中a,b∈R,a≠0)
解:
y′=a即为边际函数.
弹性为:
增长率为:
.
(2)y=aebx;
解:
边际函数为:
y′=abebx
弹性为:
增长率为:
.
(3)y=xa
解:
边际函数为:
y′=axa-1.
弹性为:
增长率为:
13.某父母打算连续存钱为孩子攒学费,设建行连续复利为5%(每年),若打算10年后攒够5万元,问每年应以均匀流方式存入多少钱?
解:
设每年以均匀流方式存入x万元,则
5=
即5=20x(e0.51)
≈0.385386万元=3853.86元.
习题六
14.一动点沿抛物线y=x2运动,它沿x轴方向的分速度为3cm·s-1,求动点在点(2,4)时,沿y轴的分速度.
解:
当x=2时,(cm·s-1).
15.将下列函数展开成x的幂级数,并求展开式成立的区间:
(1)f(x)=ln(2+x);
(2)f(x)=cos2x;
(3)f(x)=(1+x)ln(1+x);(4);
(5);(6);
解:
(1)
由于,(-1 故,(-2≤x≤2) 因此,(-2≤x≤2) (2) 由,(-∞ 得 所以 ,(-∞ (3)f(x)=(1+x)ln(1+x) 由,(-1≤x≤1) 所以 (-1≤x≤1) (4) 由于(-1≤x≤1) 故 (-1≤x≤1) (5) (6)由,x∈(-∞,+∞) 得,x∈(-∞,+∞) 所以 16.将函数展开成x的幂级数. 解: 由于 所以(|x|≤1) 17.写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数,其中f(x)在[-π,π)上的表达式为: (1) (2); (3) (4). 解: (1)函数f(x)满足狄利克雷定理的条件,x=nπ,n∈z是其间断点,在间断占处f(x)的傅里叶级数收敛于 ,在x≠nπ,有 于是f(x)的傅里叶级数展开式为 (x≠nπ) (2)函数f(x)在(-∞,+∞)上连续,故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f(x),注意到f(x)为偶函数,从而f(x)cosnx为偶函数,f(x)sinnx为奇函数,于是 ,, (n=1,2,…) 所以,f(x)的傅里叶级数展开式为: (-∞ (3)函数在x=(2n+1)π(n∈z)处间断,在间断点处,级数收敛于0,当x≠(2n+1)π时,由f(x)为奇函数,有an=0,(n=0,1,2,…) 所以 (x≠(2n+1)π,n∈z) (4)因为作为以2π为周期的函数时,处处连续,故其傅里叶级数收敛于f(x),注意到f(x)为偶函数,有bn=0(n=1,2,…), 所以f(x)的傅里叶级数展开式为: x∈[-π,π] 18.将下列各周期函数展开成为傅里叶级数,它们在一个周期内的表达式分别为: (1)f(x)=1-x2; (2) 解: (1)f(x)在(-∞,+∞)上连续,故其傅里叶级数在每一点都收敛于f(x),由于f(x)为偶函数,有bn=0(n=1,2,3,…) , 所以 (-∞ (2), 而函数f(x)在x=3(2k+1),k=0,±1,±2,…处间断,故(x≠3(2k+1),k=0,±1,±2,…) 19.求矩形脉冲函数的傅氏变换 解: 20.计算下列对坐标的曲线积分: (1),其中L是抛物线y=x2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧; (2)其中L为圆周(x-a)2+y2=a2(a>0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行); (3),其中L为圆周x=Rcost,y=Rsint上对应t从0到的一段弧; (4),其中L为圆周x2+y2=a2(按逆时针方向绕行); (5),其中Γ为曲线x=kθ,y=acosθ,z=asinθ上对应θ从0到π的一段弧; (6),其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线; (7),其中Γ为有向闭拆线ABCA,这里A,B,C依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1); (8),其中L是抛物线y=x2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧. 解: (1)L: y=x2,x从0变到2, (2)如图11-1所示,L=L1+L2.其中L1的参数方程为 图11-1 L2的方程为y=0(0≤x≤2a) 故 (3) (4)圆周的参数方程为: x=acost,y=asint,t: 0→2π. 故 (5) (6)直线Γ的参数方程是t从1→0. 故 (7)(如图11-2所示) 图11-2 ,x从0→1 . ,z从0→1 ,x从0→1 . 故 (8) 21.利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积: (1)星形线x=acos3t,y=asin3t2ex2; (2)双纽线r2=a22cos2θ; (3)圆x2+y2=2ax. 解: (1) (2)利用极坐标与直角坐标的关系x=rcosθ,y=rsinθ得 , 从而xdy-ydx=a2cos2θdθ. 于是面积为: (3)圆x2+y2=2ax的参数方程为 故 22.证明: 在整个xOy平面内除y轴的负半轴及原点外的开区域G内是某个二元函数的全微分,并求出这样的一个二元函数. 证: ,,显然G是单连通的,P和Q在G内具有一阶连续偏导数,并且. ,(x,y)∈G 因此在开区域G内是某个二元函数u(x,y)的全微分. 由 知. 23.求下列微分方程的通解: ; 解: 特征方程为 解得 故原方程通解为 ; 解: 特征方程为 解得 故原方程通解为 ; 解: 特征方程为 解得 故原方程通解为. ; 解: 特征方程为 解得 故原方程通解为. ; 解: 特征方程为 解得 故原方程通解为 . 解: 特征方程为 解得 故原方程通解为. 24.求下列函数在所示点的导数: (1),在点; 解: (2),在点; 解: (3),在点; 解: (4)在点. 解: 25.设某企业固定成本为50,边际成本和边际收入分别为 C′(x)=x2-14x+111,R′(x)=100-2x. 试求最大利润. 解: 设利润函数L(x). 则L(x)=R(x)-C(x)-50 由于L′(x)=R′(x)-C(x)=(100-2x)-(x2-14x+111)=-x2+12x-11 令L′(x)=0得x=1,x=11. 又当x=1时,L″(x)=-2x+12>0.当x=11时L″(x)<0,故当x=11时利润取得最大值.且最大利润为 L(11)= 26.利用适当的变换化下列方程为齐次方程,并求出通解: 解: 设,则原方程化为 令 代回并整理得 . 解: 作变量替换,令 原方程化为 令,则得 分离变量,得 积分得 即 代回并整理得 ; 解: 作变量替换则 原方程化为 代回并整理得 . 解: 令则 原方程可化为 分离变量,得 积分得 故原方程通解为 27.指出下列各平面的特殊位置,并画出其图形: (1)y=0; (2)3x-1=0; (3)2x-3y-6=0;(4)x–y=0; (5)2x-3y+4z=0. 解: (1)y=0表示xOz坐标面(如图7-2) (2)3x-1=0表示垂直于x轴的平面.(如图7-3) 图7-2图7-3 (3)2x-3y-6=0表示平行于z轴且在x轴及y轴上的截距分别为x=3和y=-2的平面.(如图7-4) (4)x–y=0表示过z轴的平面(如图7-5) (5)2x-3y+4z=0表示过原点的平面(如图7-6). 图7-4图7-5图7-6 28.求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k的单位向量. 解: n1={3,-1,7},n2={1,-1,2}. 故 则 29.建立以点(1,3,-2)为中心,且通过坐标原点的球面方程. 解: 球的半径为 设(x,y,z)为球面上任一点,则(x-1)2+(y-3)2+(z+2)2=14 即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0为所求球面方程. 30.指出下列方程表示怎样的曲面,并作出图形: (1); (2); (3);(4); (5). 解:
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- 最新 考研 高等数学 模拟 训练 考题 答案 解析