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本文模型的整体框架如下:
模型一
1.1模型的建立
我们为了求出各点之间的最短路程,使用Floyd算法,即在Dijstra算法上循环n(n为总的点个数)次。
1.2模型的求解
根据算法和相邻点的距离可以用Dijstra算法求出任意两点的最短距离。
图采用权值矩阵的形式描述,w(i,j)表示i点到j点的距离。
如果没有直接连通,则为无穷大,即用Matlab中的inf表示。
Dijstra算法只能求出结点i到其余各点的距离。
算法引入这样的两个集合s和t,s是确定了的到结点i最短距离的点,t为全集u和s的差集即那些还未确定最短路径的结点。
而且s的初值是{i},t的初值是u-{i}。
另外在引入一个标记数组dist[n],其中在某一步中dist[k]表示当前i到k的最短距离,dist[k]的初值是w(i,k)。
整个算法过程如下:
1、在t中悬着一个d[k]最小的节点k,将k并入s,并从t中去掉,若果t为{},则转到3;
2、用k结点和t中其余的结点进行一遍比较,如果dist[i]>
dist[k]+w[k][i],则用dist[i]=dist[k]+w[k][i]取代原来的d[i],重复1;
3、算法结束,此时dist[k]中保存的就是从i到k结点的最短路径。
算法就是以这样非常简单的形式完成了求解,时间复杂度是o(n^2)确定了从i点到其余各结点的最短路径。
图1相邻点的距离
使用循环的结构求出1~51各个点之间的最短距离。
程序1见附录2.1。
可求出最短距离的权值矩阵di。
模型二
——对问题一得求解
2.1模型的建立
由前三十件货物可以到达的地点可以知道,i,j=131831262114172332384543394236272434404916。
图2需要到达的点(用红色表示)
第一个时间段路程为:
5.2172e+003
2、第二个时间段顺序为:
4146384239444350
第二个时间段路程为:
1.0461e+004
3、第三个时间段顺序及路程为:
504344393627221518243340372817
第三个时间段路程为:
2.5134e+004
返回路程为:
7.4930e+003
总的路程为:
7.2458e+003
总的时间为:
3.5127(h)
模型四
——对问题三的求解
4.1模型的建立
本题中要遍历50个点,但由于M总=147kg,V总=2.8
,而m<
50kg,v<
1
,故因应该以m<
的标准到达最远点后返回。
目标函数:
约束条件:
m<
50kg,v<
4.2模型的求解
由原点0点开始逐渐依次找出最近的点后,再找出离该点最近的点,直到不满足约束条件。
程序见附录2.4
图4分4阶段遍历点的位置
注:
第一阶段用红色标注
第二阶段用黑色标注
第三阶段用蓝色标注
第四阶段用紫红色标注
其结果如下:
1、第一阶段
顺序为:
12732284037393633241822
路程为:
3.3340e+003
2、第一阶段
Columns1through18
119141312942781110151744435051
Columns19through21
413535
4.2875e+004
3、第一阶段
12732252026302331293447494542384148
Column19
46
4.5159e+004
4、第一阶段
2116536
3.8530e+004
总的路程为:
1.9485e+004
总的时间为:
6.9124(h)
五、模型的分析
●误差分析
对于模型一是使用了精确的Floyd算法,即Dijstra算法故误差可以忽略不计。
对于模型二,虽存在断开的点会出现一定的误差,但对断开的点进行的优化处理,故该模型可以用。
对于模型三,因分区域的方法存在很多,故不可避免的会产生一些误差。
有由于分的区域越多,走的路程也就越多,这样可以大大地消除一些误差,故此模型可以用。
对于模型四,该模型有较大的误差,因未考虑货物的拆分对现实会有一定的影响,同时阶段的不同划分也是会存在一些不确定的误差。
虽然准确性由一定的挑战性,但相对于其他的划分又有一定的优越性,故该模型适合此问题的求解。
●灵敏度分析
对于模型一、二、三,灵敏度很好,模型的准确性很高。
对于模型四,由于质量和体积的限制,其灵敏度不是很好,但准确性还是很高,因此模型可以使用。
六、模型的评价、改进和推广
6.1模型的评价
优点:
·
充分的利用了已知数据来建立模型,使其具有很高的准确性和可行性
·
使用的准确的算法和适当的假设,使模型的准确性和实用性达到统一
运用了功能强大的Matlab工具使数据处理误差达到最小
缺点:
由于数据太多,没法使用工具进行模型的检验,只能一步一步地精化模型
6.2模型的改进
对于模型一和模型三主要进行模型的验证
对于模型二断开的点可以取别的点进行
主要是对模型四的改进,可以考虑到不同的地点送的货物进行拆分,从而可以找到最优的解
6.3模型的推广
可充分使用到图的遍历和最短路径的一系列问题的求解中
七、参考文献
[1]:
姜启源、谢金星、叶俊编,数学模型-3版,北京,高等教育出版社,2003.8
[2]:
吴建国、汪名杰、李虎军、刘仁云编,数学建模案例精编-1版,北京,中国水利水电出版社,2005.5
[3]:
唐焕文、贺明峰编,数学模型引论-3版,北京,高等教育出版社,2005.3
[4]:
图论任韩
[5]:
图论第三版德迪斯特尔著
附录
附录1:
表格
1.1各货物号信息表
货物号
送达地点
重量(公斤)
体积(立方米)
不超过时间
13
2.50
0.0316
9:
00
2
18
0.50
0.0354
3
31
1.18
0.0240
30
4
26
1.56
0.0350
12:
5
21
2.15
0.0305
6
14
1.72
0.0100
7
17
1.38
0.0109
8
23
1.40
0.0426
9
32
0.70
0.0481
10
38
1.33
0.0219
10:
15
11
45
1.10
0.0287
12
43
0.95
0.0228
39
2.56
0.0595
2.28
0.0301
42
2.85
0.0190
16
1.70
0.0782
0.25
0.0412
36
1.79
0.0184
19
27
2.45
0.0445
20
24
2.93
0.0420
0.80
0.0108
22
2.25
0.0018
1.57
0.0210
34
2.80
0.0103
25
40
1.14
0.0155
0.68
0.0382
49
1.35
0.0144
28
0.52
0.0020
29
2.91
0.0487
1.20
0.0429
1.26
0.0250
1.15
0.0501
33
1.63
0.0483
1.23
0.0006
35
1.41
0.0387
0.54
0.0067
37
0.0129
0.76
0.0346
2.14
0.0087
1.07
0.0124
41
1.37
0.0510
2.39
0.0428
0.99
0.0048
44
1.66
0.0491
0.45
0.0209
46
2.04
0.0098
47
1.95
0.0324
48
2.12
0.0554
3.87
0.0262
50
2.01
51
0.0419
52
0.39
0.0001
53
0.0502
54
1.24
0.0534
55
2.41
0.0012
56
0.0059
57
0.42
0.0224
58
0.0580
59
1.34
0.0372
60
0.06
0.0402
61
0.60
0.0274
62
2.19
0.0503
63
1.89
0.0494
64
1.81
0.0325
65
1.00
0.0055
66
0.0177
67
2.51
0.0361
68
0.0110
69
0.0440
70
0.49
0.0329
71
0.51
0.0094
72
0.0455
73
1.31
0.0121
74
0.0005
75
0.98
0.0413
76
0.0241
77
0.0230
78
0.0542
79
1.01
0.0566
80
1.12
0.0284
81
0.79
0.0011
82
0.0492
83
2.77
0.0034
84
2.29
0.0054
85
0.21
0.0490
86
1.29
0.0088
87
0.0249
88
0.90
0.0038
89
2.38
0.0434
90
1.42
91
0.0300
92
0.0133
93
1.17
94
1.82
0.0308
95
0.33
0.0345
96
0.30
0.0172
97
4.43
0.0536
98
0.24
0.0056
99
0.0175
100
1.98
0.0493
1.250个位置点的坐标
位置点
X坐标(米)
Y坐标(米)
9185
500
1445
560
7270
570
3735
670
2620
995
10080
1435
10025
2280
7160
2525
13845
2680
11935
3050
7850
3545
6585
4185
7630
5200
13405
5325
2125
5975
15365
7045
14165
7385
8825
8075
5855
8165
780
8355
12770
8560
2200
8835
14765
9055
7790
9330
4435
9525
10860
9635
10385
10500
565
9765
2580
9865
1565
9955
9395
10100
14835
10365
1250
10900
7280
11065
15305
11375
12390
11415
6410
11510
13915
11610
9510
12050
8345
12300
4930
13650
13265
14145
14180
14215
3030
15060
10915
14235
2330
14500
7735
14550
885
14880
11575
15160
8010
15325
1.3互相到达信息
序号
位置点1
位置点2
O
附录2:
Matlab程序代码
2.1Djistra(Floyd)算法求解
%Djistra算法
l=0;
fori=1:
dist(i)=ww(1,i);
parent(i)=location(i);
f(i)=0;
end
f
(1)=1;
cost=inf;
k=1;
forj=2:
ifdist(j)<
cost&
&
f(j)==0
cost=dist(j);
k=j;
end
ifk>
f(k)=1;
fort=2:
iff(t)==0
ifdist(t)>
dist(k)+ww(k,t)
dist(t)=dist(k)+ww(k,t);
parent(t)=location(k);
l=l+dist(t)-dist(k);
%Floyd算法
forj=1:
di(i,j)=ww(i,j);
dian(i,j)=i;
fork=1:
fori=1:
22
ifk~=i&
k~=j&
i~=j
ifdi(i,j)>
di(i,k)+di(k,j)
di(i,j)=di(i,k)+di(k,j);
dian(i,j)=location(k);
2.2问题一的求解
clc
clearall
A=xlsread('
weizhi.xls'
);
t=A(i,:
)-A(j,:
c(i,j)=sqrt(t
(1)^2+t
(2)^2);
%两点之间的距离
a=[13;
18;
220;
24;
38;
34;
42;
515;
52;
61;
718;
71;
812;
914
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