与名师对话理基本不等式及其应用Word格式文档下载.docx
- 文档编号:18258171
- 上传时间:2022-12-14
- 格式:DOCX
- 页数:11
- 大小:53.71KB
与名师对话理基本不等式及其应用Word格式文档下载.docx
《与名师对话理基本不等式及其应用Word格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《与名师对话理基本不等式及其应用Word格式文档下载.docx(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
(1)≥2.
(2)+≥2(ab>
0).
(3)≤≤≤(a>
[双基自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)两个不等式a2+b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.( )
(2)函数y=x+的最小值是2.( )
(3)函数f(x)=sinx+的最小值为4.( )
(4)x>
0且y>
0是+≥2的充要条件.( )
[答案]
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
2.“a>
b>
0”是“ab<
”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
[解析] 由a>
0得,a2+b2>
2ab;
但由a2+b2>
2ab不能得到a>
0,故“a>
”的充分不必要条件,故选A.
[答案] A
3.(必修5P100A组T1
(2)改编)设x>
0,且x+y=18,则xy的最大值为( )
A.80B.77C.81D.82
[解析] ∵x>
0,∴xy≤2,∴xy≤81,当且仅当x=y=9时取等号,∴xy的最大值为81.故选C.
[答案] C
4.(2018·
宁夏月考)若正数x,y满足+=1,则x+3y的最小值为( )
A.24B.18C.12D.6
[解析] 由+=1得x+3y=(x+3y)=++6≥2+6=12,当且仅当=,且+=1,即x=6,y=2时等号成立,所以x+3y的最小值为12,故选C.
5.(必修5P100练习T3改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________m2.
[解析] 设矩形场地的长为xm,宽为ym,则x+y=10,所以矩形场地的面积S=xy≤2=25,当且仅当x=y=5时,S取得最大值25m2.
[答案] 25
考点一 利用基本不等式求最值
利用基本(均值)不等式求最值,一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值,或已知两个非负数的乘积为定值求其和的最小值,是每年高考的重点内容.
常见的命题角度有:
(1)一元函数的最值;
(2)二元函数的最值.
角度1:
一元函数的最值
【例1-1】
(1)已知0<
x<
1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为( )
A.B.C.D.
(2)若函数f(x)=x+(x>
2)在x=a处取最小值,则a等于( )
A.1+B.1+
C.3D.4
[思路引导]
(1)→
(2)→
[解析]
(1)∵0<
1,∴1-x>
0,∴x(3-3x)=3x(1-x)≤32=.
当且仅当x=1-x,得x=时,“=”成立.故选B.
(2)∵x>
2,∴x-2>
0,
∴f(x)=x+=(x-2)++2≥2·
+2=2+2=4,
当且仅当x-2=,即(x-2)2=1时“=”成立,
∴x=1或3.又∵x>
2,∴x=3,∴a=3.故选C.
[答案]
(1)B
(2)C
角度2:
二元函数的最值
【例1-2】
(1)已知a>
0,a+b=1,则+的最小值为________.
(2)已知x>
0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为________.
→
[解析]
(1)∵a>
0,a+b=1,
∴+=+=2++≥2+2=4,即+的最小值为4,当且仅当a=b=时等号成立.
(2)由已知得xy=9-(x+3y),即3xy=27-3(x+3y)≤2,令x+3y=t,则t2+12t-108≥0,又t>
0,故t≥6,即x+3y≥6.
[答案]
(1)4
(2)6
(1)利用基本(均值)不等式时一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.
(2)在利用基本(均值)不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本(均值)不等式.
[对点训练]
1.(2018·
天津月考)已知a,b是正数,且4a+3b=6,则a(a+3b)的最大值是( )
A.B.C.3D.9
[解析] ∵a>
0,4a+3b=6,∴a(a+3b)=·
3a(a+3b)≤2=×
2=3,当且仅当3a=a+3b,即a=1,b=时,a(a+3b)的最大值是3.故选C.
2.若实数a,b满足+=,则ab的最小值为( )
A.B.2C.2D.4
[解析] 解法一:
由已知得+==,且a>
0,∴ab=b+2a≥2,当且仅当a=,b=2时“=”成立.∴ab≥2.故选C.
解法二:
由题设易知a>
0,∴=+≥
2,当且仅当a=,b=2时“=”成立,即ab≥2,故选C.
考点二 证明不等式
【例2】
(1)设a,b均为正实数,求证:
++ab≥2.
(2)已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,求证:
>
8.
[思路引导] →→
[证明]
(1)由于a,b均为正实数,
所以+≥2=,
当且仅当=,即a=b时等号成立,
又因为+ab≥2=2,
当且仅当=ab时等号成立,
所以++ab≥+ab≥2,
当且仅当即a=b=时取等号.
(2)因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以-1==>
,①
-1==>
,②
,③
又x,y,z为正数,由①×
②×
③,
得>
利用基本不等式证明不等式的技巧
利用基本不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件;
若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换.另外,解题中要时刻注意等号能否取到.
已知a>
0,a+b=1,求证:
++≥8.
[证明] 由a+b=1,得++=2,
∵a+b=1,a>
∴+=+=2++≥2+2=4,
∴++≥8.
考点三 基本不等式的实际应用
【例3】 (2018·
泰安调研)某公司生产的商品A,当每件售价为5元时,年销售10万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销量相应减少1万件,要使销售收入不低于原销售收入,该商品的销售价格最多可提高多少元?
(2)为了扩大该商品的影响力,公司决定对该商品的生产进行技术革新,将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元,公司拟投入(x2+x)万元作为技改费用,投入万元作为宣传费用.试问:
技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时,才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和?
[思路引导]
(1)→→
(2)→→→
[解]
(1)设商品的销售价格提高a元,
则(10-a)(5+a)≥50,解得0≤a≤5.
所以商品的价格最多可以提高5元.
(2)由题意知,技术革新后的销售收入为mx万元,
若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和,只需满足mx=(x2+x)++50(x>
5)即可,
此时m=x++≥2+=,
当且仅当x=,即x=10时,取“=”.
故销售量至少应达到万件时,才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和.
利用基本不等式求解实际问题的2个注意点
(1)利用基本不等式解决实际问题时,应明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用基本不等式求解.
(2)在求所列函数的最值时,若用基本不等式时,等号取不到,可利用函数单调性求解.
要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________(单位:
元).
[解析] 设池底长为xm,宽为ym,则xy=4,所以y=,则总造价为f(x)=20xy+2(x+y)×
1×
10=80++20x=20+80,x∈(0,+∞).
所以f(x)≥20×
2+80=160,当且仅当x=,即x=2,等号成立,所以最低总造价是160(元).
[答案] 160
课后跟踪训练(四十一)
基础巩固练
一、选择题
1.若a,b∈R,且ab>
0,则下列不等式中,恒成立的是( )
A.a2+b2>
2abB.a+b≥2
C.+>
D.+≥2
[解析] ∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A错误.对于B,C,当a<
0,b<
0时,明显错误.对于D,∵ab>
0,∴+≥2=2.故选D.
[答案] D
2.(2019·
福建福州一模)在下列各函数中,最小值为2的函数是( )
A.y=x+(x≠0)
B.y=cosx+
C.y=(x∈R)
D.y=ex+-2(x∈R)
[解析] 对于A项,当x<
0时,y=x+≤-2,故A错;
对于B项,因为0<
,所以0<
cosx<
1,所以y=cosx+≥2中等号不成立,故B错;
对于C项,因为≥2,所以y==+≥2中等号也不能取到,故C错;
对于D项,因为ex>
0,所以y=ex+-2≥2-2=2,当且仅当ex=2,即x=ln2时等号成立.故选D.
3.(2019·
湖南邵阳联考)已知lg(x+y)=lgx+lgy,则x+y的取值范围是( )
A.(0,1]B.[2,+∞)
C.(0,4]D.[4,+∞)
[解析] ∵lg(x+y)=lgx+lgy=lg(xy),∴x+y=xy.∵x>
0,x+y=xy≤2,∴x+y≥4,故选D.
4.(2019·
四川成都一诊)已知x≥,则f(x)=有( )
A.最大值2B.最小值2
C.最大值1D.最小值1
[解析] ∵x≥,∴f(x)==≥·
2=1,当且仅当x-2=,即x=3或x=1(舍)时取等号,∴f(x)有最小值1,故选D.
5.(2019·
河南平顶山、许昌、汝州联考)若3x+2y=2,则8x+4y的最小值为( )
A.4B.4C.2D.2
[解析] ∵3x+2y=2,∴8x+4y=23x+22y≥2=2=4,当且仅当3x+2y=2且3x=2y,即x=,y=时等号成立,∴8x+4y的最小值为4,故选A.
二、填空题
6.函数y=sinx+,x∈的最小值为________.
[解析] 设t=sinx,x∈,则t∈(0,1],易知y=t+在(0,1]上为减函数,故当t=1时,y取得最小值5.
[答案] 5
7.(2019·
黑龙江齐齐哈尔八校联考)若对x>
0,x+2y=1,有+≥m恒成立,则m的最大值是________.
0,x+2y=1,∴+=(x+2y)·
=2+2++≥4+2=8,当且仅当x=,y=时取等号,∴+的最小值为8,又+≥m恒成立,∴m≤8,即m的最大值为8.
[答案] 8
8.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2、形状为直角三角形的框架,选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为________m.
[解析] 设两直角边分别为am,bm,框架的周长为l,则ab=2,即ab=4,
∴l=a+b+≥2+=4+2,当且仅当a=b=2时取等号,故选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(4+2)m.
[答案] 4+2
三、解答题
9.(2018·
唐山一中月考)
(1)已知x<
,求函数y=4x-2+的最大值;
0且+=1,求x+y的最小值.
[解]
(1)∵x<
,∴4x-5<
0.
∴y=4x-5++3=-+3
≤-2+3=1,当且仅当x=1时等号成立,
∴ymax=1.
0且+=1,
∴x+y=(x+y)=10++
≥10+2=16,
当且仅当x=4,y=12时等号成立,即x+y的最小值为16.
10.(2018·
河北唐山二模)已知a>
0,c>
0,d>
0,a2+b2=ab+1,cd>
1.
(1)求证:
a+b≤2;
(2)判断等式+=c+d能否成立,并说明理由.
[解]
(1)证明:
由题意得(a+b)2=3ab+1≤
32+1,当且仅当a=b时取等号.
解得(a+b)2≤4,又a,b>
所以a+b≤2.
(2)不能成立.
理由:
由均值不等式得+≤+,当且仅当a=c且b=d时等号成立.
因为a+b≤2,
所以+≤1+.
因为c>
0,cd>
1,
所以c+d=+≥+>
+1≥+,
故+=c+d不能成立.
能力提升练
11.(2018·
四川南充模拟)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( )
A.B.C.5D.6
[解析] 因为x+3y=5xy,+=5,所以3x+4y=(3x+4y)=+≥×
2×
+=5,当且仅当x=1,y=时等号成立.故选C.
12.若不等式m≤+当x∈(0,1)时恒成立,则实数m的最大值为( )
A.9B.C.5D.
[解析] x∈(0,1)时1-x>
0,∴+=+=+++2≥+2=,当且仅当1-x=2x即x=时取得最小值,∴使m≤+恒成立的实数m的最大值为,故选B.
[答案] B
13.(2018·
甘肃张掖月考)设a>
1,若a+b=2,则+的最小值为________.
1,a+b=2,∴+=(a+b-1)=3+++1=4++≥4+2,当=,即a=,b=时取等号,故答案为4+2.
14.(2019·
江苏盐城中学期末)我校为丰富师生课余活动,计划在一块形状为直角三角形的空地ABC上修建一个占地面积为S(平方米)的矩形AMPN健身场地,如图,点M在AC上,点N在AB上,且P点在斜边BC上,已知∠ACB=60°
,|AC|=30米,|AM|=x米,x∈[10,20].设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元,再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪,每平方米的造价为(k为常数)元.
(1)试用x表示S,并求S的取值范围;
(2)求总造价T关于面积S的函数T=f(S);
(3)如何选取|AM|,使总造价T最低.(不要求求出最低造价)
[解]
(1)在Rt△PMC中,显然|MC|=30-x,∠PCM=60°
,
|PM|=|MC|·
tan∠PCM=(30-x),
矩形AMPN的面积S=|PM|·
|AM|=x(30-x),x∈[10,20],于是200≤S≤225.
(2)矩形AMPN健身场地造价T1=37k,又△ABC的面积为450,即草坪造价T2=(450-S),由总造价T=T1+T2,得T=25k,200≤S≤225.
(3)因为+≥12,当且仅当=,即S=216时等号成立,此时,x(30-x)=216,解得x=12或x=18.所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低.
拓展延伸练
15.(2018·
辽宁鞍山三中第三次适应性考试)函数y=
loga(x+3)-1(a>
0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中m,n均大于0,则+的最小值为( )
A.2B.4C.8D.16
[解析] ∵当x=-2时,y=loga1-1=-1,
∴函数y=loga(x+3)-1(a>
0,且a≠1)的图象恒过定点(-2,-1),即A(-2,-1).
∵点A在直线mx+ny+1=0上,
∴-2m-n+1=0,即2m+n=1.
∵m>
0,n>
0,∴+=(2m+n)=2+++2≥4+2=8,当且仅当m=,n=时取等号.故选C.
16.(2017·
天津卷)若a,b∈R,ab>
0,则的最小值为________.
[解析] 因为ab>
0,所以≥=4ab+≥2=4,当且仅当即时取等号,故的最小值为4.
[答案] 4
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 名师 对话 基本 不等式 及其 应用