压轴题解题策略平行四边形的存在性问题Word文档下载推荐.docx
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根据平行四边形的中心对称的性质,灵活运用坐标对称,可以使得解题简便.
例题解析
例❶如图1-1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,顶点为P,如果以点P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形,求点D的坐标.
图1-1
【解析】P、A、C三点是确定的,过△PAC的三个顶点分别画对边的平行线,三条直线两两相交,产生3个符合条件的点D(如图1-2).
由y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,得A(-3,0),C(0,3),P(-1,4).
由于A(-3,0)
C(0,3),所以P(-1,4)
D1(2,7).
由于C(0,3)
A(-3,0),所以P(-1,4)
D2(-4,1).
由于P(-1,4)
C(0,3),所以A(-3,0)
D3(-2,-1).
我们看到,用坐标平移的方法,远比用解析式构造方程组求交点方便多了.
图1-2
例❷如图2-1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,点M在这条抛物线上,点P
在y轴上,如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标.
图2-1
【解析】在
P、M、A、B四个点中,A、B是确定的,以AB为分类标准.
由y=-x2+2x+3=-(x+1)(x-3),得A(-1,0),B(3,0).
①如图2-2,当AB是平行四边形的对角线时,PM与AB互相平分,因此点M与点P关于AB的中点(1,0)对称,所以点M的横坐标为2.此时M(2,3).
②如图2-3,图2-4,当AB是平行四边形的边时,PM//AB,PM
=AB=4.
所以点M的横坐标为4或-4.所以M(4,-5)或(-4,-21).
我们看到,因为点P的横坐标是确定的,在解图2-2时,根据对称性先确定了点M的横坐标;
在解图2-3和图2-4时,根据平移先确定了点M的横坐标.
图2-2图2-3图2-4
例❸如图3-1,在平面直角坐标系中,直线y=-x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C在直线AB上,在平面直角坐标系中求
一点D,使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形.
图3-1
【解析】由y=-x+4,得A(4,0),直线AB与坐标轴的夹角为45°
.
在O、A、C、D四个点中,O、A是确定的,以线段OA为分类标准.
如图3-2,如果OA是菱形的对角线,那么点C在OA的垂直平分线上,点C(2,2)关于OA的对称点D的坐标为(2,-2).
如果OA是菱形的边,那么又存在两种情况:
如图3-3,以O为圆心,OA为半径的圆与直线AB的交点恰好为点B(0,4),那么正方形AOCD的顶点D的坐标为(4,4).
如图3-4,以A为圆心,AO为半径的圆与直线AB有两个交点C
和C′
,点C和C′向左平移4个单位得到点D
和D′
图3-2图3-3图3-4
例❹如图4-1,已知抛物线
与x轴的负半轴交于点C,点E的坐标为(0,-3),点N在抛物线的对称轴上,点M在抛物线上,是否存在这样的点M、N,使得以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请求出点M的坐标;
若不存在,请说明理由.
图4-1
【解析】C(-4,0)、E(0,-3)两点是确定的,点N的横坐标-2也是确定的.
以CE为分类标准,分两种情况讨论平行四边形:
①如图4-2,当CE为平行四边形的边时,由于C、E两点间的水平距离为4,所以M、N两点间的水平距离也为4,因此点M的横坐标为-6或2.
将x=-6和x=2分别代入抛物线的解析式,得M(-6,16)或(2,16).
②如图4-3,当CE为平行四边形的对角线时,M为抛物线的顶点,所以M
图4-2图4-3
例❺如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),点D是第四象限内抛物线上的一点,直线AD与y轴负半轴交于点C,且CD=4AC.设P是抛物线的对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形?
若能,求出点P的坐标;
若不能,请说明理由.
图5-1
【解析】由y=ax2-2ax-3a=a(x+1)(x-3),得A(-1,0).
由CD=4AC,得xD=4.所以D(4,5a).
已知A(-1,0)、D(4,5a),xP=1,以AD为分类标准,分两种情况讨论:
①如图5-2,如果AD为矩形的边,我们根据AD//QP,AD=QP来两次平
移坐标.
由于A、D两点间的水平距离为5,所以点Q的横坐标为-4.所以Q(-4,21a).
由于A、
D两点间的竖直距离为-5a,所以点P的纵坐标为26a.所以P(1,26a).
根据矩形的对角线相等,得AP2=QD2.所以22+(26a)2=82+(16a)2.
整理,得7a2=1.所以
.此时P
②如图5-3,如果AD为矩形的对角线,我们根据AP//QD,AP=QD来两次平移坐标.
由于A、P两点间的水平距离为2,所以点Q的横坐标为2.所以Q(2,-3a).
由于Q、D两点间的竖直距离为-8a,所以点P的纵坐标为8a.所以P(1,8a).
再根据AD2=PQ2,得52+(5a)2=12+(11a)2.
整理,得4a2=1.所以
我们从图形中可以看到,像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形,使得外接矩形的
边与坐标轴平行,那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系.
上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程,还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程.
如图5-2,如果∠ADP=90°
,那么
;
如图5-3,如果∠QAP=90°
图5-2图5-3
例❻如图6-1,将抛物线c1:
沿x轴翻折,得到抛物线c2.
现将抛物线c1向左
平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A、B;
将抛物线c2向右也平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为N,与x轴的交点从左到右依次为D、E.在平移过程中,是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形?
若存在,请求出此时m的值;
图6-1
【解析】没有人能精确画好抛物线,又怎么平移抛物线呢?
我们去伪存真,将A、B、D、E、M、N六个点及它们的坐标在图中都标注出来(如图6-2),如果您看到了△MAB和△NED是边长为2的等边三角形,那么平移就简单了.
如图6-3,在两个等边三角形平移的过程中,AM与EN保持平行且相等,所以四边形ANEM保持平行四边形的形状,点O为对称中心.
【解法一】如果∠ANE=90°
,根据30°
角所对的直角边等于斜边
的一半,可得AE=2EN=4.而AE=AO+OE=2AO,所以AO=2.已知AB=2,此时B、O重合(如图6-4),所以m=BO=1.
【解法二】如果对角线MN=AE,那么OM=OA,此时△MAO是等边三角形.所以等边三角形MAB与△MAO重合.因此B、O重合,m=BO=1.
【解法三】在平移的过程中,
、
,M
,根据OA2=OM2列方程(1+m)2=m2+3.解得m=1.
图6-2图6-3图6-4
例❼如图7-1,菱形ABCD的边长为4,∠B=60°
,E、H分别是AB、CD的中点,E、G分别在AD、BC上,且AE=CG.
(1)求证四边形EFGH是平行四边形;
(2)当四边形EFGH是矩形时,求AE的长;
(3)当四边形EFGH是菱形时,求AE的长.
图7-1
【解析】
(1)证明三角形全等得EF=GH和FG=HE大家最熟练
了.
(2)平行四边形EFGH的对角线FH=4是确定的,当EG=FH=4时,四边形EFGH是矩形.
以FH为直径画圆,你看看,这个圆与AD有几个交点,在哪里?
如图7-2.
如图7-3,当E为AD的中点时,四边形ABGE和四边形DCGE都是平行四边形.
如图
7-4,当E与A重合时,△ABG与△DCE都是等边三角形.
(3)如果平行四边形EFGH的对角线EG与FH互相垂直,那么四边形EFGH是菱
形.
过FH的中点O画FH的垂线,EG就产生了.
在Rt△AOE中,∠OAE
=60°
,AO=2,此时AE=1.
又一次说明了如果会画图,答案就在图形中.
图7-
2图7-3图7-4图7-5
例❽如图8-1,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴、y轴分别交于点A(4,0)、B(0,3),点C的坐标为(0,m),过点C作CE⊥AB于点E,点D为x轴正半轴的一动点,且满足OD=2OC,连结DE,以DE、DA为边作平行四边形DEFA.
(1)如果平行四边形DEFA为矩形,求m的值;
(2)如果平行四边形DEFA为菱形,请直接写出m的值.
图8-1
【解析】这道题目我们着重讲解怎样画示意图.我们注意到,点A和直线AB(直线l)是确定的.
如图8-2,先画x轴,点A和直线l.在直线l上取点E,以AE为对角线画矩形DEFA.
如图8-3,过点E画直线l的垂线.画∠MDN,使得DN=2MN,MN⊥DN,产生点C.
如图8-4,过点C画y轴,产生点O和点B.
图8-2图8-3图8-4
您是否考虑到,画∠MDN时,还存在DM在x轴下方的情况?
如图8-5.
同样的,我们可以画如图8-6,如图8-7的两个菱形.
图8-5图8-6图8-7
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