双曲线教学老师用Word格式.docx
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0,令c2-a2=b2,其中b>
0,代入上式得
(a>
0,b>
0).
(2)双曲线的标准方程的形式
形式一:
(a>
0)
说明:
此方程表示焦点在x轴上的双曲线.焦点是F1(-c,0)、F2(c,0),这里c2=a2+b2.
形式二:
此方程表示焦点在y轴上的双曲线,焦点是F1(0,-c)、F2(0,c),这里c2=a2+b2.
3、反思应用
例1求适合下列条件的双曲线的标准方程
a=4,c=5,焦点在x轴上;
焦点为(-5,0),(5,0),且b=3
a=4,经过点 ;
(4)
焦点在y轴上,且过点
分析根据已知条件求出双曲线的标准方程中的a,b即可,注意标准方程的形式
例2(课本例)已知双曲线两个焦点的坐标为F1(-5,0)、F2(5,0),双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.
解:
因为双曲线的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为:
∵2a=6,2c=10,
∴a=3,c=5.
∴b2=52-32=16
所以所求双曲线的标准方程为
例1、2目的在于让学生熟悉双曲线的定义与标准方程的形式.
例3、证明椭圆x2/25+y2/19=1与双曲线x2-15y2=15的焦点相同。
分析:
分别求出椭圆及双曲线的焦点即可
例4、已知方程 表示焦点在y轴上的双曲线,求k的取值范围
随堂练习(课本P1072,4)
⑴已知方程 表示双曲线,则实数m的取值范围是_____。
⑵求适合下列条件的双曲线的标准方程
①a=4,b=3,焦点在x轴上;
②焦点为(0,-6),(0,6),经过点(2,-5)
③焦点在x轴上,经过点
4、归纳总结
数学思想方法:
数形结合,待定系数法,分类讨论
掌握双曲线的定义及其标准方程的推导,并利用焦点、焦距与方程关系确定双曲线方程.
5、课后作业
习题1、2、3
双曲线及其标准方程
(二)
教学目标
1.进一步掌握双曲线的定义及其标准方程的求法,特别是用定义法和待定系数法;
2.了解双曲线定义及其标准方程知识在实际中的应用.
教学重点双曲线的定义及其标准方程
教学难点双曲线定义及其标准方程知识在实际中的应用
1、复习回顾
(1)双曲线定义
(2)两种形式的标准方程
⑶根据下列条件,求双曲线的标准方程
①过点P(3,15/4),Q(-16/3,5),且焦点在坐标轴上;
② 经过点(-5,2),且焦点在x轴上;
③与双曲线x2/16-y2/4=1有相同的焦点,且经过点 。
①设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0),则
解得 ∴所求方程为-x2/16+y2/9=1
小结:
“巧设”方程为“为mx2+ny2=1(mn<0)”避免分两种情况进行讨论。
②∵ 且焦点在x轴上,∴设标准方程为x2/m-y2/(6-m)=1(0<m<6)
∵双曲线经过(-5,2),∴25/m-4/(m-6)=1,解得m=5或m=30(舍去)
∴所求方程为x2/5-y2=1
③∵与双曲线x2/16-y2/4=1有相同的焦点,
∴设所求双曲线的标准方程为
∵双曲线经过点 , ,解得λ=4或λ=-1(舍去)
∴所求方程为x2/12-y2/8=1
注意到了与双曲线x2/16-y2/4=1共焦点的双曲线系方程为 后,便有了上述巧妙的设法。
⑷已知双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>
0),求过它的焦点且垂直于x轴的弦长
设双曲线的一个焦点为F(c,0),过F且垂直于x轴的弦为AB,要求AB的长,
只需确定弦的一个端点A或B的纵坐标即可
|AB|=2a2/c
变:
双曲线x2/4-y2/12=1上的点P到左焦点的距离为6,这样的点有_个。
⑸①一动圆P过定点M(-4,0),且与已知圆N:
(x-4)2+y2=16相切,求动圆圆心P的轨迹。
由题意,列出动圆圆心满足的几何条件,若能由此条判断出动点的轨迹是哪种曲线,则可直接求出其轨迹方程来
内切时,定圆N在动圆P的内部,有|PC|=|PM|-4,
外切时,有|PC|=|PM|+4,故点P的轨迹是双曲线x2/4-y2/12=1。
②已知动圆P与定圆C1:
(x+5)2+y2=49,C2:
(x-5)2+y2=1都相切,求动圆圆心的轨迹的方程
外切有|PC1|=7+r,|PC2|=1+r,∴|PC1|-|PC2|=6,
内切有|PC1|=r-7,|PC2|=r-1,∴|PC2|-|PC1|=6
故点P的轨迹是双曲线x2/9-y2/16=1
2、探索研究:
例(课本)一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.
(1)爆炸点应在什么样的曲线上?
(2)已知A、B两地相距800m,并且此时声速为340m/s,求曲线的方程.
解
(1)由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差,可知A、B两处与爆炸点的距离的差,因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.
因为爆炸点离A处比离B处更远,所以爆炸点应在靠近B处的一支上.
(2)如图8—14,建立直角坐标系xOy,使A、B两点在x轴上,并且点O与线段AB的中点重合.
设爆炸点P的坐标为(x,y),则
即2a=680,a=340.
又 ∴2c=800,c=400,b2=c2-a2=44400.
∵ ∴x>
0.
所求双曲线的方程为:
(x>
该例表明,利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差,可以确定爆炸点所在的双曲线的方程,但不能确定爆炸点的准确位置.而现实生活中为了安全,我们最关心的则是爆炸点的准确位置,那么我们如何解决这个问题呢?
如果再增设一个观测点C,利用B、C(或A、C)两处测得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方程,解这两个方程组成的方程组,就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.
如果A、B两点同时听到爆炸声,说明爆炸点到A、B的距离相等,那么爆炸点应在怎样的曲线上?
AB的中垂线。
5、课后作业 习题4,5,6.
四双曲线
§
2.11双曲线及其标准方程
一、教学目标
(一)知识教学点
使学生掌握双曲线的定义和标准方程,以及标准方程的推导。
(二)能力训练点
在与椭圆的类比中获得双曲线的知识,从而培养学生分析、归纳、推理等能力。
(三)学科渗透点
本次课注意发挥类比和设想的作用,与椭圆进行类比、设想,使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识。
二、教材分析
1、重点:
双曲线的定义和双曲线的标准方程。
(解决办法:
通过一个简单实验得出双曲线,再通过设问给出双曲线的定义;
对于双曲线的标准方程通过比较加深认识)
2、难点:
双曲线的标准方程的推导
引导学生完成,提醒学生与椭圆标准方程的推导类比)
3、疑点:
双曲线的方程是二次函数关系吗?
(解决方法:
教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决,同时让学生在课外去研究在什么附加条件下,双曲线方程可以转化为函数式)
三、活动设计
提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结
四、教学过程
(一)复习提问
1、椭圆的定义是什么?
(学生回答、教师板书)
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆,教师要强调条件:
(1)平面内;
(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数;
(3)常数2a>
|F1F2|
2、椭圆的标准方程是什么?
(学生口答,教师板书)
焦点在x轴上的椭圆标准方程为x2、a2+y2/b2=1(a>
b>
0);
焦点在y轴上的椭圆标准方程为y2/a2+x2/b2=1(a>
O)
(二)双曲线的概念
把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹会怎样?
它的方程是怎样的呢?
1、简单实验(边演示、边说明)
如图2-23,定点F1、F2是两个按钉,MN是一个细套管,两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管,点M移动时,|MF1|-|MF2|是常数,这样就画出曲线的一支;
由|MF2|-|MF1|是同一常数,可以画出另一支。
注意:
常数要大小于|F1F2|,否则作不出图形,这们作出的曲线就叫做双曲线。
2、设问
问题1:
定点F1、F2与动点M不在平面上,能否得到双曲线?
请学生回答,不能,强调“在平面内”
问题2:
|MF1|与|MF2|哪个大?
请学生回答,不定:
当M在双曲线右支上时,|MF1|<
|MF2|;
当然M在双曲线左支上时,|MF1|-|MF2|
问题3:
点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|?
请学生回答,应小于|F1F2|且大于零,当常数=|F1F2|时,轨迹是以F1、F2为端点的两条射线;
当常数>
|F1F2|时,无轨迹
3、定义
在上述基础上,引导学生概括双曲线的定义:
平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距)
教师指出:
双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆,不要死记。
(三)双曲线的标准方程
现在来研究双曲线的方程,我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程。
这时设问:
求椭圆的方程的一般步骤方法是什么?
不要求学生回答,主要引起学生思考,随即引导学生给出双曲线的方程的推导。
标准方程的推导;
(1)建系设点
取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1、F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)
建立直角坐标系
设M(x,y)为双曲线上任意一点,双曲线的焦距是2c(c>
0),那么F1、F2的坐标分别是(-c,0)、(c,0)。
又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数。
(2)点的集合
由定义可知,双曲线就是集合:
P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±
2a}
(3)代数方程
∵|MF1|=√(x+c)2+y2,|MF2|=√(x-c)2+y2,
∴√(x+c)2+y2-√(x-c)2+y2=±
2a
(4)化简方程(由学生演板)
将这个方程移项,两边平方得:
(x+c)2+y2=4a2±
4a√(x-c)2+y2+(x-c)2+y2
化简得:
cx-a2=±
√(x-c)2+y2
两边再平方,整理得:
(c2-a2)x2-a2y2=a(c2-a2)
(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导。
)
由双曲线定义,2c>2a即c>a,所以c2-a2>0
设C2-a2=b2(b>0),代入上式得:
b2x2-a2y2=a2b2
即x2/a2-y2/b2=1
这就是双曲线的标准方程
两种标准方程的比较(引导学生归纳):
(1)x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)表示焦点在x轴上的双
曲线,焦点是F1(-c,0)、F2(c,0),这里c2=a2+b2;
(2)y2/a2-x2/b2=1(a>0,b>0)表示焦点在y轴上的双
曲线,焦点是F1(0,-c)、F2(0,c),这里c2=a2+b2(只须将
(1)方程的x、y互换即可得到)。
(1)双曲线标准方程中,a>0,b>0,但a不一定大于b;
(2)如果x2项的系数是正的,那么焦点在x轴上;
如果y2项的系数是正的,那么焦点在y轴上,注意有别于椭圆能过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上。
(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2,不同于椭圆方程中c2=a2-b2。
(四)练习与例题
1、求满足下列的双曲线的标准方程:
焦点F1(-3,0)、F2(3,0),且2a=4;
本题由学生先练习再口答:
x2/4-y2/5=1;
2、证明:
椭圆x2/25-y2/9=1与双曲线x2-15y2=15的焦点相同。
由学生演板完成,椭圆焦点F1(-4,0)、F2(4,0);
双曲线焦点F1′(-4,0)、F2′(4,0)。
3、已知两点F1(-5,0)、F2(5,0),求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程,如果把这里的数字6改为12,其他条件不变,会出现什么情况?
由教师讲解:
按定义,所求点的轨迹是双曲线,因为c=5,a=3,所以b2=c2-a2=52-32=42
因此,所求方程是x2/32-y2/42,即x2/9-y2/16=1
因为,2a=12,2c=10,且2a>2c
所以动点无轨迹
(五)小结
1、定义:
平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹。
2、标准方程:
x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0),y2/a2-x2/b2=1(a>0,b>0)
3、图形(见图2-25)
4、焦点:
F1(-c,0)、F2(c,0);
5、a、b、c的关系:
c2=a2+b2;
c2=a2+b2
五、布置作业
1、根据下列条件,求双曲线的标准方程:
(1)焦点的坐标是(-6,0)、(6,0),并且经过点A(-5,2);
(2)经过点P(-3,2√7)和Q(-6√2,-7),焦点在y轴上。
2、已知x2/1+k+y2/1-k=1表示双曲线,求k的取值范围。
3、已知圆锥曲线的方程为mx2+ny2=m+n(m<0<m+n=,求其焦点坐标。
作业答案:
1、
(1)x2/20-y2/16=1
(2)y2/25-x2/75=1
2、由(1+k)(1-k)<0解得:
k<-1或k>1
3、原方程可化为:
x2/(m+n)/m+y2/(m+n)/n=1
∵m+n/m<0,m+n/n,故此曲线为焦点在y轴上的双曲线,a2=m+n/n,b2=-m+n/-m,c=√a2+b2=m2-n2/mn
∴焦点F1(0,-√m2-n2/mn)、F2(0,-√m2-n2/mn)
六、板书设计
2.12双曲线的几何性质
使学生理解并掌握双曲线的几何性质,并能从双曲线的标准方程出发,推导出这些性质,并能具体估计双曲线的形状特征。
在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质,从而培养学生分析、归纳、推理等能力。
使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解,这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题。
双曲线的几何性质及初步运用。
引导学生类比椭圆的几何性质得出,至于渐近线引导学生证明。
双曲线的渐近线方程的导出和论证。
先引导学生观察以原点为中心,2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线,再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线。
双曲线的渐近线的证明。
通过详细讲解。
提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结。
(一)复习提问引人新课
1、椭圆有哪些几何性质,是如何探讨的?
请一同学回答。
应为:
范围、对称性、顶点、离心率,是从标准方程探讨的。
2、双曲线的两种标准方程是什么?
再请一同学回答,应为:
中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2/a2-y2/b2=1;
中心在原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程y2/a2-x2/b2=1。
下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质。
(二)类比联想得出性质(性质1-3)
引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答,教师引导、启发、订正并板书),<
见下页>
(三)问题之中导出渐近线(性质4)
在学习椭圆时,以原点为中心,2a、2b为邻边的矩形,对于估计椭圆的形状,画出椭圆的简图都有很大作用,试问对双曲线x2/a2-y2/b2=1,仍以原点为中心,2a、2b为邻边作一矩形(板书图形),那么双曲线和这个矩形有什么关系?
这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图2-26)有什么指导意义?
这些问题不要求学生回答,只引起学生类比联想。
接着再提出问题:
当a、b为已知时,这个矩形的两条对角线的方程是什么?
请一同学回答,应为y=±
b/ax,并画出两条对角线,进一步引导学生从图观察得出结论:
双曲线x2/a2-y2/b2=1的各支向外延伸时,与这两条渐近线逐渐接近。
下面,我们来证明它;
双曲线在第一象限的部分可写成:
y=b/a√x2-a2•(x>a)
设M(x,y)是它上面的点,N(x,7)是直线y=b/ax上与M有相同的横坐标的点,则y=b/ax。
∵y=b/a√x2-a2=b/ax√1-(a/x)2<b/ax=y
∴|MN|=y-y=b/a(x-√x2-a2)=b/a
•(x-√x2-a2)(x+√x2-a2)/x+√x2-a2
=ab/x+√x2-a2
设|MQ|是点M到直线y=b/ax的距离,则有|MQ|<|MN|
当x逐渐增大时,|MN|逐渐减小,x无限增大,|MN|接近于零,|MQ|也接近于零,就是说,双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON。
在其他象限内也可以证明类似的情况。
我们把两条直线y=±
b/ax叫做双曲线的渐近线。
现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的?
由于焦点y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程,将x、y字母对调所得到,自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字母对调而得,所以,双曲线y2/a2-x2/b2=1的渐近线的方程是x=±
b/ay即y=±
a/bx。
定义:
直线y=±
a/bx叫做双曲线x2/a2-y2/b2=1的渐近线。
这样,我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题,从而可比较精确地画出双曲线。
例如:
画双曲线x2/25-y2/16=1,先作渐近线y=±
4/5x,再描几个点,就可以随后画出比较精确的双曲线。
(四)顺其自然介绍离心率(性质5)
由于正确认识了渐近线的概念,对于离心率的直观意义也就容易掌握了,为此,介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响:
1、双曲线的焦距与实轴的比e=c/a叫做双曲线的离心率,且e>1。
2、由于b/a=√c2-a2/a=c2/a2–1=e2-1,所以e越大,b/a也越大,即渐近线y=±
b/ax的斜率绝对值越大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔,从而得出:
双曲线的离心率越大,它的开口就越开阔。
这时,教师指出:
焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出,双曲线的几何性质与坐标系的选择无关,即不随坐标系的改变而改变。
(五)练习与例题
1、求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
请一学生演板,其他同学练习,教师巡视,练习毕予以订正。
解:
把方程化为标准方程y2/42=x2/32=1
由此可知,实半轴长a=4,虚半轴长b=3。
C=√a2+b2=√42+32=5
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率为e=c/a=5/4
渐近一方程为x=±
3/4y,即y=±
4/3x
2、点M(x,y)到定点F(c,o)的距离和它到定直线l:
x=a2/c的距离的比是常数(c/a)(c>a>0),求点M的轨迹(图2-27)。
本题实质上是双曲线的第二定义,要重点讲解并加以归纳小结。
设d是点M到直线l的距离,根据题意,所求轨迹就是集合:
P={M||MF|/d=c/a}
由此得√(x-c)x2-a2y2=a2(c2-a2)
设c2-a2=b2,就可化为x2/a2-y2/b2=1
这就是双曲线的标准方程。
由此例不难归纳出双曲线的第二定义。
(一)双曲线的第二定义
1、定义(由学生归纳给出)
平面内点M与一定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数e=c/a(e>1)时,这个点M的轨迹是双曲线,定点是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
2、说明
(1)对于双曲线x2/a2-x2/b2=1,相应于焦点F(c,0)的准线方程是x=a2/c,根据双曲线的对称性,相应于焦点Fˊ(-c,0)的准线方程是x=-a2/c。
(2)对于双曲线y2/a2-x2/b2=1,相应于焦点F(0,c)的准线方程是y=a2/c,相应于焦点Fˊ(0,-c)的准线方程是y=-a2/c。
(二)小结(由学生课后完成)
将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结。
1、已知双曲线方程如下,求它们的两个焦点、离心率e和
渐近线方程。
(1)16x2-9y2=144;
(2)16x2-9y2=-144。
2、求双曲线的标准方程:
(1)实轴的长是10,虚轴长是8,焦点在x轴上;
(2)焦距是10,虚轴长是8,焦点在y轴上;
(3)离心率e=√2,经过点M(-5,3);
(1)两条渐近线的方程是y=±
2/3x,经过点M(9/2,-1)。
3、求以椭圆x2/8+y2/5=1的焦点为顶点,而以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。
4、已知双曲线x2/4-y2/5=1上的P点到左焦点的距离等于3,求P点到两准线及右焦点的距离。
作业答案:
1、
(1)F1(-5,0),F2(5,0),e=5/3,渐近线方程为y=±
4/3x。
(2)
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