三角形专题复习学生版文档格式.docx

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若几个能唯一确定一个三角形的量称为三角形的“基本量”．下列各组量中一定能成为三角形的基本量的（　　）

A．三个内角B．两条边与一个内角C．周长和两条边D．面积与一条边

考点2：

三角形三边关系

例题2：

长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（　　）

A．

1种

B．

2种

C．

3种

D．

4种

1

2

3

4

　变式练习2：

有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（　　）

考点3：

三角形稳定性

例题3：

如图，利用四边形的不稳定性改变矩形ABCD的形状得到▱A1BCD1，若▱A1BCD1的面积是矩形ABCD面积一半，则∠A1BC=（　　）

15°

30°

45°

60°

考点4：

三角形的面积

例题4：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）

﹣4

10π﹣4

10π﹣8

﹣8

变式练习1：

如图，D为△ABC内部一点，E、F两点分别在AB、BC上，且四边形DEBF为矩形，直线CD交AB于G点．若CF=6，BF=9，AG=8，则△ADC的面积为何？

（　　）

16

24

36

54

变式练习2：

如图，△ABC的两条中线AM、BN相交于点O，已知△ABO的面积为4，△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为（　　）

4.5

3.5

变式练习3：

如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积　　．

考点5：

三角形的内角和定理

例题5：

如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°

，则∠1+∠2=（　　）

150°

210°

105°

75°

如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（　　）

∠2=∠4+∠7

∠3=∠1+∠6

∠1+∠4+∠6=180°

∠2+∠3+∠5=360°

如图所示是D，E，F，G四点在△ABC边上的位置图．根据图中的符号和数据，求x+y之值（　　）

110

120

160

165

考点6：

三角形的外角性质

A

61°

B

37°

D

39°

例题6：

如图，∠BDC=98°

，∠C=38°

，∠B=23°

，∠A的度数是（　　）

如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．

认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．

探究1：

如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°

+

，理由如下：

∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴

∴

又∵∠ABC+∠ACB=180°

﹣∠A

∴∠BOC=180°

﹣（∠1+∠2）=180°

﹣（90°

﹣

∠A）=

探究2：

如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？

请说明理由．

探究3：

如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？

（只写结论，不需证明）

结论：

　　．

2、全等三角形的判定以及性质

全等图形

在下列各组图形中，是全等的图形是（　　）

全等三角形的性质

如图所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，有以下结论：

①AC=AE；

②∠FAB=∠EAB；

③EF=BC；

④∠EAB=∠FAC，其中正确的个数是（　　）

1个

2个

3个

4个

如图，将一副七巧板拼成一只小动物，则∠AOB=　135　度．

如图，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求∠A1E2A2+∠A4E2C4+∠A4E5C4的度数．

全等三角形的判定

请阅读，完成证明和填空．

九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：

（1）如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，且∠NOC=60度．请证明：

∠NOC=60度．

（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN=　　，且∠DON=　　度．

（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、EM，那么AN=　　，且∠EON=　　度．

（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．

请大胆猜测，用一句话概括你的发现：

　　．

如图，已知点E、F在四边形ABCD的对角线延长线上，AE=CF，DE∥BF，∠1=∠2．

（1）求证：

△AED≌△CFB；

（2）若AD⊥CD，四边形ABCD是什么特殊四边形？

直角三角形全等的判定

如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=　45　度．

如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？

请说明你判断的理由．

全等三角形的性质与判定

如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．

AE=CF；

（2）若∠ABE=55°

，求∠EGC的大小．

全等三角形的应用

（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

并判断BE与CD的大小关系为：

BE　=　CD．（不需说明理由）

（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE、CD，BE与CD有什么数量关系？

并说明理由；

（3）运用

（1）、

（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离．已经测得∠ABC=45°

，∠CAE=90°

，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．

3、角平分线、中垂线、中位线

角平分线

（2011•安徽模拟）如图，AD平分∠BAC，AB=AC，连接BC，交AD于点E，下列说法正确的有（　　）

①∠BAC=∠ACB；

②S四边形ABDC=AD•CE；

③AB2+CD2=AC2+BD2；

④AB﹣BD=AC﹣CD．

如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：

①PC平分∠ACF；

②∠ABC+∠APC=180°

；

③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN=AC；

④∠BAC=2∠BPC．

其中正确的是（　　）

只有①②③

只有①③④

只有②③④

只有①③

如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．

EF⊥AD；

（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．

中垂线

如图所示，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H．

①△BCG≌△DCE；

②BH⊥DE．

（2）试问当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？

课题：

两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题．

实验与论证：

设旋转角∠A1A0B1=α（α＜∠A1A0A2），θ3、θ4、θ5、θ6所表示的角如图所示．

（1）用含α的式子表示角的度数：

θ3=　60°

﹣α　，θ4=　α　，θ5=　36°

﹣α　；

（2）图1﹣图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？

若存在，请选择其中的一个图给出证明；

若不存在，请说明理由；

归纳与猜想：

设正n边形A0A1A2…An﹣1与正n边形A0B1B2…Bn﹣1重合（其中，A1与B1重合），现将正多边形A0B1B2…Bn﹣1绕顶点A0逆时针旋转α（0°

＜α＜

°

）；

（3）设θn与上述“θ3、θ4、…”的意义一样，请直接写出θn的度数；

（4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？

若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；

若不存在，请说明理由．

中位线

如图，已知等腰Rt△ABC，∠ACB=90°

，AC=BC，D为BC边上一动点，BC=nDC，AD⊥EC于点E，延长BE交AC与点F．

（1）若n=3，则

=　　，

=　　；

（2）若n=2，求证：

AF=2FC；

（3）当n=　　，F为AC的中点（直接填出结果，不要求证明）．

在△ABC中，∠ACB=90°

，AC=

．以BC为底作等腰直角△BCD，E是CD的中点，

求证：

AE⊥EB．

（2010•济南）已知：

△ABC是任意三角形．

（1）如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点，求证：

∠MPN=∠A．

（2）如图2所示，点M、N分别在边AB、AC上，且

，

，点P1、P2是边BC的三等分点，你认为∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正确？

请说明你的理由．

（3）如图3所示，点M、N分别在边AB、AC上，且

，点P1、P2、…、P2009是边BC的2010等分点，则∠MP1N+∠MP2N+…+∠MP2009N=　　．（请直接将该小问的答案写在横线上）

【总结】：

本节课考点往往考查三角形的一些基础知识，其重点考察内容有：

（1）三角形三边、三角之间的关系；

（2）基本“三线”（角平分线、中线、高线）的性质及定理；

（3）全等三角形的性质与判定；

（4）中垂线、角平分线和中位线的性质及其应用。

【注意点】

（1）构成三角形的基本要求必须满足任意两边之和大于第三边；

（2）全等证明一定要强调对应相等（两个三角形有两角一边相等，不一定全等）；

（3）角平分线平分角度，中线平分面积，高线是点到线的距离；

（4）若出现中垂线、角平分线和中位线，务必要联系到它们的性质，很可能这就是突破口。