23 双曲线1讲学案 学年高中数学选修11苏教版.docx
- 文档编号:1825340
- 上传时间:2022-10-24
- 格式:DOCX
- 页数:20
- 大小:325.98KB
23 双曲线1讲学案 学年高中数学选修11苏教版.docx
《23 双曲线1讲学案 学年高中数学选修11苏教版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《23 双曲线1讲学案 学年高中数学选修11苏教版.docx(20页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
23双曲线1讲学案学年高中数学选修11苏教版
2.3双_曲_线
2.3.1 双曲线的标准方程
在平面直角坐标系中A(-3,0),B(3,0),C(0,-3),D(0,3).
问题1:
若动点M满足|MA-MB|=4,设M的坐标为(x,y),则x,y满足什么关系?
提示:
-=1.
问题2:
若动点M满足|MC-MD|=4,设M的坐标为(x,y),则x,y满足什么关系?
提示:
-=1.
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
-=1(a>0,b>0)
-=1(a>0,b>0)
焦点坐标
(±c,0)
(0,±c)
a,b,c的关系
c2=a2+b2
1.双曲线的标准方程与椭圆不同,左边是含x,y项的平方差,右边是1.
2.在双曲线中,a>0且b>0,但a与b的大小关系不确定.
3.在双曲线中a、b、c满足c2=a2+b2,与椭圆不同.
用待定系数法求双曲线方程
[例1] 已知双曲线过点P(-,-),Q两点,求双曲线的标准方程.
[思路点拨] 解答本题可分情况设出双曲线的标准方程,再构造关于a、b、c的方程组求解,从而得出双曲线的标准方程.也可以设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0)的形式,将两点代入,简化运算过程.
[精解详析] 法一:
当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),
∵P(-,-),Q两点在双曲线上.
∴
解得即a2=1,b2=3,
∴所求双曲线的标准方程为x2-=1.
当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线方程为
-=1(a>0,b>0),
∵P(-,-),Q两点在双曲线上,
∴
解得(不符合题意,舍去).
综上:
所求双曲线的标准方程为x2-=1.
法二:
设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
因为双曲线过两点P(-,-),Q,
得解得
所以所求双曲线的标准方程为x2-=1.
[一点通] 用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为:
1.根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)已知双曲线与椭圆+=1有共同的焦点,且过点(,4),求双曲线的方程;
(2)c=,经过点(-5,2),焦点在x轴上.
解:
(1)椭圆+=1的焦点坐标为F1(0,-3),F2(0,3),故可设双曲线的方程为-=1.
由题意,知解得
故双曲线的方程为-=1.
(2)∵焦点在x轴上,c=,
∴设所求双曲线方程为-=1(其中0<λ<6).
∵双曲线经过点(-5,2),
∴-=1,∴λ=5或λ=30(舍去).
∴所求双曲线方程是-y2=1.
2.求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)a=4,c=5,焦点在y轴上;
(2)焦点为(0,-6),(0,6),经过点A(-5,6).
解:
(1)由题设知,a=4,c=5,
由c2=a2+b2,得b2=c2-a2=52-42=9.
因为双曲线的焦点在y轴上,所以所求双曲线的标准方程为-=1.
(2)由已知得c=6,且焦点在y轴上.因为点A(-5,6)在双曲线上,所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a,即2a=|-|=|13-5|=8,则a=4,b2=c2-a2=62-42=20.
因此,所求双曲线的标准方程是-=1.
曲线方程的讨论
[例2] 若方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线,求实数m的取值范围.
[思路点拨] 由双曲线的焦点在y轴上,得关于m的不等式组,进而解不等式组求m的范围.
[精解详析] 由方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线,得解得m>5.
所以实数m的取值范围是(5,+∞).
[一点通] 给出方程+=1(mn≠0),当mn<0时,方程表示双曲线,当时,表示焦点在x轴上的双曲线;当时,表示焦点在y轴上的双曲线.
3.k>9是方程+=1表示双曲线的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).
解析:
+=1表示双曲线的充要条件是
(9-k)·(k-4)<0,即k>9或k<4.
因为k>9是k>9或k<4的充分不必要条件.
即k>9是方程+=1表示双曲线的充分不必要条件.
答案:
充分不必要
4.若方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则实数m的取值范围是________;若该方程表示双曲线,则m的取值范围是________.
解析:
①若表示焦点在x轴上的双曲线,则⇒-3 ②若该方程表示双曲线,则 (2-m)(|m|-3)<0. 解得-3 答案: (-3,2) (-3,2)∪(3,+∞) 双曲线的定义及其标准方程的应用 [例3] 已知F1,F2是双曲线-=1的两个焦点,P是双曲线左支上的点,且PF1·PF2=32,试求△F1PF2的面积. [思路点拨] 本题是有关双曲线的焦点三角形问题,解答本题的关键是求得∠F1PF2的大小.由余弦定理,根据已知条件,结合双曲线的定义即可求得结果. [精解详析] 双曲线的标准方程为-=1,可知a=3,b=4,c==5.由双曲线的定义, 得|PF2-PF1|=2a=6,将此式两边平方,得PF+PF-2PF1·PF2=36, ∴PF+PF=36+2PF1·PF2=36+2×32=100. 在△F1PF2中,由余弦定理,得 cos∠F1PF2===0, ∴∠F1PF2=90°, ∴S△F1PF2=PF1·PF2=×32=16. [一点通] 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时,首先要考虑定义|PF1-PF2|=2a,其次要利用余弦定理(或勾股定理)建立关于PF1、PF2、F1F2的方程,解方程组可求得PF1、PF2或PF1·PF2,再解决相关问题. 5.已知双曲线-=1的左焦点为F,点P为双曲线右支上一点,且PF与圆x2+y2=16相切于点N,M为线段PF的中点,O为坐标原点,则MN-MO=________. 解析: 如图,设F′是双曲线的右焦点,连接PF′,因为M,O分别是FP,FF′的中点,所以MO=PF′,又FN==5,由双曲线的定义知PF-PF′=8,故MN-MO=-PF′+MF-FN=(PF-PF′)-FN=×8-5=-1. 答案: -1 6.如图所示,已知定圆F1: x2+y2+10x+24=0,定圆F2: x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程. 解: 圆F1: (x+5)2+y2=1,圆F2: (x-5)2+y2=42, ∴F1(-5,0),半径r1=1;F2(5,0),半径r2=4. 设动圆M的半径为R,则MF1=R+1,MF2=R+4, ∴MF2-MF1=3<F1F2=10. ∴动圆圆心M的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线左支, 且a=,c=5. ∴b2=25-=. ∴动圆圆心M的轨迹方程为-=1. 1.用定义法求双曲线的标准方程时,要注意是一支还是两支. 2.用待定系数法求双曲线的标准方程时,要先判断焦点所在的位置,设出标准方程后,由条件列出a,b,c的方程组. [对应课时跟踪训练(十)] 1.双曲线-=1上的点P到一个焦点的距离为11,则它到另一个焦点的距离为________. 解析: 设双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,不妨设PF1=11,根据双曲线的定义知|PF1-PF2|=2a=10,∴PF2=1或PF2=21,而F1F2=14,∴当PF2=1时,1+11<14(舍去),∴PF2=21. 答案: 21 2.已知点F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,P为双曲线右支上一点,I是△PF1F2的内心,且S△IPF2=S△IPF1-λS△IF1F2,则λ=________. 解析: 设△PF1F2内切圆的半径为r,则由S△IPF2=S△IPF1-λS△IF1F2⇒×PF2×r=×PF1×r-λ×F1F2×r⇒PF1-PF2=λF1F2,根据双曲线的标准方程知2a=λ·2c,∴λ==. 答案: 3.若方程+=1(k∈R)表示双曲线,则k的范围是________. 解析: 依题意可知: (k-3)(k+3)<0,求得-3 答案: -3 4.已知椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则实数a=________. 解析: 由双曲线-=1可知a>0,且焦点在x轴上,根据题意知4-a2=a+2,即a2+a-2=0,解得a=1或a=-2(舍去).故实数a=1. 答案: 1 5.已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2=(,0),M是此双曲线上的一点,且满足·=0,||·||=2,则该双曲线的方程是________. 解析: ∵·=0,∴⊥. ∴||2+||2=40. ∴(||-||)2 =||2-2||·||+||2 =40-2×2=36. ∴|||-|||=6=2a,a=3. 又c=,∴b2=c2-a2=1, ∴双曲线方程为-y2=1. 答案: -y2=1 6.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)以椭圆+=1的长轴端点为焦点,且经过点P(5,); (2)过点P1(3,-4),P2(,5). 解: (1)因为椭圆+=1的长轴端点为A1(-5,0),A2(5,0),所以所求双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0). 由双曲线的定义知,|PF1-PF2| =|-| =|-|=8,即2a=8,则a=4.又c=5,所以b2=c2-a2=9. 故所求双曲线的标准方程为-=1. (2)设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0),分别将点P1(3,-4),P2(,5)代入,得解得故所求双曲线的标准方程为-=1. 7.设F1,F2为双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且满足∠F1PF2=120°.求△F1PF2的面积. 解: 由已知得a=2,b=1;c==, 由余弦定理得: F1F=PF+PF-2PF1·PF2cos120° 即 (2)2=(PF1-PF2)2+3PF1·PF2 ∵|PF1-PF2|=4.∴PF1·PF2=. ∴S△F1PF2=PF1·PF2·sin120° =××=. 8.如图,在△ABC中,已知|AB|=4,且三内角A,B,C满足2sinA+sinC=2sinB,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程. 解: 以AB边所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系(如图所示).则A(-2,0),B(2,0).设边BC、AC、AB的长分别为a、b、c,由正弦定理得sinA=,sinB=,sinC=(R为△ABC外接圆的半径). ∵2sinA+sinC=2sinB,∴2a+c=2b,即b-a=. 从而有|CA|-|CB|=|AB|=2<|AB|. 由双曲线的定义知,点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点).∵a=,c=2,∴b2=6. ∴顶点C的轨迹方程为-=1(x>). 2.3.2 双曲线的几何性质 双曲线的简单几何性质 歌曲《悲伤双曲线》的歌词如下: 如果我是双曲线,你就是那渐近线,如果我是反比例函数,你就是那坐标轴,虽然我们有缘,能够坐在同一平面,然而我们又无缘,漫漫长路无交点. 问题1: 双曲线的对称轴、对称中心是什么? 提示: 坐标轴;原点. 问题2: 过双曲线的某个焦点且平行于渐近线的直线与双曲线有交点吗? 提示: 有一个交点. 双曲线的几何性质 标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 图形 性质 焦点 (±c,0) (0,±c) 焦距 2c 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 顶点 (±a,0) (0,±a) 对称性 关于x轴、y轴、坐标原点对称 轴长 实轴长=2a,虚轴长
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 23 双曲线1讲学案 学年高中数学选修11苏教版 双曲线 讲学 学年 高中数学 选修 11 苏教版