狐狸与兔子数学模型的论文文档格式.docx
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关键词:
组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法滞后反馈作用MATLAB自然平衡
一、问题重述
在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔。
在大自然的和谐的坏境中,野免并没有因为有狐狸的捕食而灭绝。
因为每一种动物都有它们特有的技巧来保护自己。
设t时刻它们的数量分别为y(t)和x(t),已知满足以下微分方程组
(1)
分析这两个物种的数量变化关系。
(2)
在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态?
(3)
建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果?
对狐狸进行捕猎又会产生什么后果?
二、问题分析
自然状态下,影响一个物种数量的因素很多,比如:
自然选择、气候变化、自然灾害、物种的食物,物种的天敌,而本题中物种的数量变化只考虑部分因素:
物种的食物或物种的天敌,即捕食者与被捕食者。
先考虑理想状态,人类没有对物种进行捕猎,只考虑狐狸和野兔的数量变化关系,我们可以得知,狐狸和野兔的数量相互制约,相互依存,经过足够长的时间达到一种动态平衡。
然后考虑自然状态,人类对物种进行捕猎,人类对野兔进行捕猎,根据常识知,野兔的变化率会随着人类的捕获而相应减少,假设狐狸的变化率不会因为人类捕食野兔而改变,据此我们建立另一个微分方程组,由此方程组来分析人类对野兔进行捕猎会产生的后果;
同样地,人类对狐狸进行捕猎,根据常识知,狐狸的变化率会随着人类的捕获而相应减少,假设野兔的变化率不会因为人类捕食狐狸而改变,据此我们建立另一个微分方程组,由此方程组来分析人类对狐狸进行捕猎会产生的后果。
我们还可以通过此模型来控制对野兔或狐狸的捕获量,使所要求物种的数量达到最大,也可以使其增长率达到最大。
三、模型假设
1.假设该生态系统中不存在其他生物的影响,即:
前两问只有狐狸和野兔之间的捕食和被捕食的关系,最后一问再考虑上人类对野兔或者狐狸的捕猎因素;
2.假设野兔的食物充足;
3.假设人类捕捉野兔时,狐狸的变化率不受人类活动的影响;
4.假设人类捕捉狐狸时,野兔的变化率不受人类活动的影响;
5.假设初始状态下狐狸和野兔的数量为300和800只。
6.假设人的数量不因狐狸和野兔的数量变化,即为常数,设为R。
四、模型建立与求解
1.对于给定的微分方程:
很难求出其解析解,我们在给定初值的情况下采用“3阶龙格-库塔算法”,其数值解并做出狐狸和野兔数量变化的图像。
“3阶龙格-库塔算法”:
令
我们采用的三阶R-K方法为:
其中:
利用MATLAB软件求解原方程的数值解,并得到狐狸和野兔数量随时间的变化图像为:
图1狐狸和野兔的数量随时间的变化情况
从图像可以看出,短时间内,狐狸的数量会随着野兔的数量的减少而减少、随野兔的数量的增加而增加,但存在“滞后”现象,即狐狸和野兔的数量变化不是同步的,狐狸数量的变化要滞后于野兔数量的变化。
而且,当狐狸的数量减少后,野兔的数量也会增加。
狐狸和野兔的数量就处于这种动态平衡中。
当时间足够长时,狐狸和野兔的数量就会趋于稳定。
下图即表现了这种平衡:
图2狐狸和野兔数量趋于稳定时的情况
2.当两个物种的数量达到平衡时,狐狸和野兔的数量变化率为0。
所以,令
解得:
即达到平衡时,狐狸的数量为200,野兔的数量为900.
图2也验证了这一结果。
3.
(1)模型一:
人们对野兔进行捕猎:
,可见狐狸对野兔的捕捉量与“狐狸和野兔的数量乘积成正比”,比例系数为0.02。
同理,如果考虑人类对野兔的捕猎,可假设“人类对野兔的捕捉量与人类和野兔的数量乘积成正比”,又考虑到人类比狐狸聪明,而且具有捕猎工具的辅助,该比例系数应大于0.02,假设该系数为p(p>
0.02),并设人的数量为R,则兔子和狐狸的变化率满足的微分方程变为:
由
(2)知,达到平衡状态时,两个物种的变化率为零,
从而解得,
由结果可知,尽管人类对兔子进行逮捕,但达到平衡时,兔子的数量并没有减少,狐狸的数量却减少,这说明兔子是人和狐狸的食物,在食物一定的情况下,人捕获了一部分兔子,狐狸的食物就会相应减少,这导致了狐狸的数量减少。
因此,人类捕获兔子产生的结果是:
短时间内,兔子的数量会减少,而狐狸的数量会因兔子的减少而减少,经过足够长的时间,达到平衡时,兔子的数量不变,而由于人类的竞争,狐狸的数量减少。
(2)模型二:
人们对狐狸进行捕猎:
在没有人类捕猎的情况下,狐狸数量的变化率为:
,如果考虑人类对狐狸的捕猎,可假设“人类对狐狸的捕捉量与人类和狐狸的数量乘积成正比”,由于狐狸比兔子更难逮捕,所以比例系数应该小于p,假设比例系数为q(q<
p),则兔子和狐狸的变化率满足的微分方程变为
由
(2)知,达到平衡状态时,两个物种的变化率为零,从而解得,
由结果可知,尽管人类对狐狸进行逮捕,但达到平衡时,狐狸的数量并没有减少,兔子的数量却增加,这是因为兔子是狐狸的食物,人捕获了一部分狐狸,这导致了兔子数量增加。
因此,人类捕获狐狸产生的结果是:
短时间内,狐狸的数量会减少,而兔子的数量会因狐狸的减少而增加,经过足够长的时间,达到平衡时,狐狸的数量不变,而兔子的数量增加。
五、模型评价和改进
题目给定的模型和模型一、模型二都屏蔽了自然界中的其他生物因素和非生物因素,是在比较理想的条件进行建模的,这也符合许多学科的建模方法,把主要的精力放在我们所关心的因素上。
但在自然状态下,人类对其中一个物种进行捕猎,不仅仅影响到该物种的数量变化率,另一个物种的数量变化率也会相应的改变,所以上面建立的模型与实际情况并不完全相符,比如:
人类对狐狸进行捕猎,兔子的数量变化率会增大,因为它的“天敌”少了。
因此我们对上述模型一,模型二进行以下改进。
(1)对模型一的改进
人类捕获兔子,兔子的数量减少,从而狐狸的食物减少,因此狐狸也会相应的减少,假设因野兔被人类猎杀而导致的狐狸数量变化率为-f(x,y),则兔子和狐狸的变化率满足的微分方程变为:
在假设的条件下,狐狸仅以兔子为食,我们可以认为f(x,y)=m(pRx),即:
“狐狸因人类猎杀野兔而导致的变化率”与“野兔因人类猎杀而导致的变化率”成正比,比例系数为m。
所以,模型变为:
此时,达到稳定时有:
(2)对模型二的改进
人类捕获狐狸,狐狸的数量减少,兔子的数量会因此增加,假设兔子的数量变化率的变化为g(x,y),则兔子和狐狸的变化率满足的微分方程应改为:
与上面的改进一样,我们假设g(x,y)=nqRy;
模型变为:
参考文献:
【1】李庆扬,科学计算方法基础,清华大学出版社,2006
【2】刘卫国,MATLAB程序设计教程,北京:
中国水利水电出版社,2005
【3】姜启源,数学模型,高等教育出版社,2003
【4】吴翔,吴孟达,成礼智编著,数学建模的理论与实践,国防科技大学出版社,1999
【5】马知恩著,种群生态学的数学建模与研究,安徽教育出版社,1996
【6】雷功炎,数学模型讲义,北京:
北京大学出版社,1999
附件:
1、求解原微分方程:
在MATLAB中建立原方程的rigid.m文件:
functiondy=rigid(t,y)
dy=zeros(2,1);
dy
(1)=0.001*y
(1)*y
(2)-0.9*y
(1);
dy
(2)=4*y
(2)-0.02*y
(1)*y
(2);
执行指令:
[t,y]=ode23('
rigid'
[050],[300800]);
plot(t,y(:
1),'
r-'
t,y(:
2),'
-'
);
legend('
狐狸'
'
野兔'
便得到狐狸和野兔的数量变化曲线:
图1狐狸和野兔的数量变化情况
执行指令:
[01000],[300800]);
r:
'
:
便得到狐狸和野兔的数量区域稳定时的图像:
图2狐狸和野兔数量趋于稳定时的图像
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