第4章 锐角三角函数副本Word格式.docx
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5.利用计算器计算sin50°
在计算器上依次按键sin50,则屏幕上显示的就是sin50°
的值,
6.如果已知正弦值,我们可以利用计算器求出它对应的锐角的度数.
例如:
已知sinα=0.7071,求α的度数.我们可以依次按键2ndFsin0.7071,则屏幕上显示的就是α的度数.
三、运用新知,深化理解
1.见教材P110例1、P113例2.
2.在△ABC中,∠A=45°
,∠B=60°
,a=2,则b等于()
A.6B.2C.3D.26【答案】A
3.计算sin36°
=_____.(保留四个有效数字).【答案】0.5878
4.若sinA=0.1234sinB=0.2135,则A_____B(填<、>、=)
解析:
根据sin30°
=1/2,sin45°
=
/2,sin60°
/2,我们可以发现锐角的度数越大,正弦值越大.【答案】<
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=4,BC=3,
(1)求∠A的正弦sinA.
(2)求∠B的正弦sinB.
6.在Rt△ABC中,如果各边长度都扩大3倍,则锐角A的正弦值()
A.不变化B.扩大3倍C.缩小1/3D.缩小3倍【答案】A
7.已知:
在△ABC中,∠B=45°
,∠C=75°
,AC=2,求BC的长.
8.求sin63°
52′41″的值.(精确到0.0001)
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业:
教材“习题4.1”中第3、4题.
第2课时余弦的概念和余弦值的求法
1.使学生理解锐角余弦的定义.
2.会求直三角形中锐角的余弦值.
3.会用计算器求一般锐角的余弦值.
通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.
【情感态度】
引导学生探索、发现,以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.
【教学重点】
求直三角形中锐角的余弦值.
1.什么叫作正弦?
2.sin30°
的值分别是多少?
1.如图,△ABC和△DEF都是直角三角形,其中∠A=∠D=α,∠C=∠F=90°
则
成立吗?
为什么?
由此可得,在有一个锐角等于α的所有直角三角形中,角α的邻边与斜边的比值是一个常数,与直角三角形的大小无关.
从上述探究和证明过程看出,对于任意锐角α,有cosα=sin(90°
-α),从而有:
sinα=cos(90°
-α).
2.计算cos30°
,cos45°
,cos60°
3.我们已经知道了三个特殊角(30°
)的余弦值,而对于一般锐角α的余弦值,我们可以用计算器来计算.
例如,求cos50°
角的余弦值,我们可以在计算器上依次按键
,则屏幕上显示的就是cos50°
4.如果已知余弦值,我们可以利用计算器求出它对应的锐角的度数.
已知cosα=0.8661,求α的度数.我们可以依次按键
,则屏幕上显示的就是α的度数.
1.见教材P115例4.
2.下列说法正确的个数有()
(1)对于任意锐角α,都有0<sinα<1和0<cosα<1
(2)对于任意锐角α1,α2,如果α1<α2,那么cosα1<cosα2
(3)如果sinα1<sinα2,那么锐角α1<锐角α2
(4)对于任意锐角α,都有sinα=cos(90°
-α)
A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C
3.在△ABC中,∠C=90°
,若2AC=
AB,求∠A的度数及cosB的值.
4.计算:
(1)|-
|-2sin60°
+sin45°
·
cos45°
;
(2)cos260°
+cos245°
+
sin30°
sin45°
.
5.用计算器求值(保留四位小数):
(1)sin38°
19′;
(2)cos78°
43′16″.
解:
(1)按MODE,出现:
DEG,按sin,38,“.”,19,“.”,=,显示:
0.620007287,则结果为0.6200.
(2)按MODE,出现:
DEG,按cos,78,“.”,43,“.”,16,“.”=,显示:
0.195584815,则结果为0.1956.
6.若sin40°
=cosα,求α的度数.
7.在Rt△ABC中,∠C=90°
,sinB=3/5,求BC/AB的值.
8.正方形网格中,∠AOB如图放置,求cos∠AOB的值.
教材“习题4.1”中第6、7、8题.
第3课时正弦和余弦
1.进一步认识正弦和余弦;
2.正弦和余弦的综合应用.
通过合作交流,能够根据直角三角形中边角关系,进行简单的计算.
经过探索,引导、培养学生观察,分析、发现问题的能力.
直角三角形中锐角的正弦、余弦的综合应用.
1.正弦和余弦的定义是什么?
2.正弦和余弦之间有什么关系?
【教学说明】复习有关知识,为本节课的教学作准备.
一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°
,且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01m)
1.求下列式子的值.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°
BC=6,sinA=3/5,求cosA.
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,cosA=12/13,AC=10,AB等于多少?
sinB呢?
4.已知:
如图,CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,求证:
BC2=AB·
BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)
教材“习题4.1”中第9、10题.
4.2正切
使学生了解正切的概念,能够正确地用tanA表示直角三角形(其中一个锐角为∠A)中两直角边的比,熟记30°
角的各个三角函数值,会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子.
逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力.
培养学生独立思考、勇于创新的精神.
了解正切的概念,熟记特殊角的正切值.
正切的应用.
1.如图:
在Rt△ABC中,∠C=90°
,
sinA=________;
cosA=________.
2.当直角三角形的一个锐角的大小确定时,其对边与邻边比值也是唯一确定的吗?
则BC/AC=EF/DF成立吗?
由此可得,在有一个锐角等于α的所有直角三角形中,角α的对边与邻边的比值是一个常数,与直角三角形的大小无关.
2.求tan30°
、tan45°
、tan60°
3.30°
的正弦、余弦、正切值分别是多少?
【归纳结论】
4.如何用计算器求一般锐角的正切值?
求25°
角的正切值,可以在计算器上依次按键
,则屏幕上显示的0.4663…就是25°
角的正切值.
5.如果已知正切值,我们可以利用计算器求出它对应的锐角的度数.
已知tanα=0.8391,求α的度数.我们可以依次按键
6.什么是锐角三角函数?
【归纳结论】我们把锐角α的正弦、余弦、正切统称为角α的锐角三角函数.
1.求tan70°
45′的值.(精确到0.0001)
2.
(1)求下列三角函数值:
sin60°
,cos70°
,tan45°
,sin29.12°
,cos37°
42′6″,tan18°
31′.
(2)计算下列各式:
sin25°
+cos65°
sin36°
cos72°
tan56°
tan34°
略
3.计算:
4.在△ABC中,∠C=90°
,AB=8,cosA=3/4,求BC的长.
5.在Rt△ABC中,∠C=90°
,AB=2BC,现给出下列结论:
,其中正确的结论是______.(只需填上正确结论的序号)
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠A=35°
,AC=6,求BC,AB的长.(精确到0.001)
7.如图,工件上有一V型槽,测得它的上口宽20mm,深19.2mm.求V型角(∠ACB)的大小(结果精确到度).
教材“习题4.2”中第1、2、3题.
4.3解直角三角形
使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.
直角三角形的解法.
三角函数在解直角三角形中的灵活运用.
1.什么是锐角三角函数?
2.你知道哪些特殊的锐角三角函数值?
1.在三角形中共有几个元素?
2.直角三角形ABC中,∠C=90°
,a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢?
(1)边、角之间的关系:
sinA=∠A的对边/斜边cosA=∠A的邻边/斜边
tanA=∠A的对边/∠A的邻边
(2)三边之间的关系:
a2+b2=c2(勾股定理)
(3)锐角之间的关系:
∠A+∠B=90°
.
3.做一做:
在直角三角形ABC中,已知两边,你能求出这个直角三角形中其它的元素吗?
4.做一做:
在直角三角形ABC中,已知一角一边,你能求出这个直角三角形中其它的元素吗?
5.想一想:
在直角三角形ABC中,已知两角,你能求出这个直角三角形中其它的元素吗?
,∠A=30°
,a=5.求∠B、b、c.
7.在解直角三角形中,两个已知元素中至少有一条边.
1.见教材P122例2.
2.已知在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,c=8
,∠A=60°
,求∠B、a、b.
3.已知在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,a=3
,∠A=30°
,求∠B、b、c.
4.已知在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,c=
-2,a=
-1,求∠A、∠B、b.
5.已知在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,a=6,b=2
,求∠A、∠B、c.
6.在直角三角形ABC中,锐角A为30°
,锐角B的平分线BD的长为8cm,求这个三角形的三条边的长.
7.如图,在三角形纸片ABC中,∠C=90°
,AC=6,折叠该纸片,使点C落在AB边上的D点处,折痕BE与AC交于点E,若AD=BD,则折痕BE的长为多少?
教材“习题4.3”中第1、3、4题.
第1课时俯角和仰角问题
比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.
通过学习进一步掌握解直角三角形的方法.
培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.
选用恰当的直角三角形,分析解题思路.
海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西55°
的B处,往东行驶20海里后,到达该岛的南偏西25°
的C处,之后,货轮继续往东航行,你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?
你是如何想的?
与同伴进行交流.
1.某探险者某天到达如图所示的点A处,他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离.你能帮他想出一个可行的办法吗?
2.如图,在离上海东方明珠塔底部1000m的A处,用仪器测得塔顶的仰角为25°
,仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高度.(结果精确到1m)
1.如图,某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1200米,从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°
31′,求飞机A到控制点B的距离.(精确到1米)
2.热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°
,看这栋高楼底部的俯角为60°
,热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?
3.如图,在离树BC12米的A处,用测角仪测得树顶的仰角是30°
,测角仪AD高为1.5米,求树高BC.(计算结果可保留根号)
4.广场上有一个充满氢气的气球P,被广告条拽着悬在空中,甲乙二人分别站在E、F处,他们看气球的仰角分别是30°
,E点与F点的高度差AB为1米,水平距离CD为5米,FD的高度为0.5米,请问此气球有多高?
(结果保留到0.1米)
教材“习题4.4”中第2、4、5题.
第2课时坡度和方位角问题
1.了解测量中坡度、坡角的概念;
2.掌握坡度与坡角的关系,能利用解直角三角形的知识,解决与坡度、与弧长的有关实际问题.
通过对例题的学习,使学生能够利用所学知识解决实际问题.
进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
能利用解直角三角形的知识,解决与坡度、与弧长有关的实际问题.
能利用解直角三角形的知识,解决与坡度、与弧长的有关实际问题.
如图所示,斜坡AB和斜坡A1B1,哪一个倾斜程度比较大?
显然,斜坡A1B1的倾斜程度比较大,说明∠A1>∠A.
即tanA1>tanA.
1.坡度的概念,坡度与坡角的关系.
如上图,这是一张水库拦水坝的横断面的设计图,坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比),记作i,即i=AC/BC,坡度通常用l∶m的形式,例如上图中的1∶2的形式.坡面与水平面的夹角叫作坡角,记作α.从三角函数的概念可以知道,坡度与坡角的关系是i=tanB,显然,坡度越大,坡角越大,坡面就越陡.
2.如图,一山坡的坡度为i=1∶2,小刚从山脚A出发,沿山坡向上走了240米到达点C,这座山坡的坡角是多少度?
小刚上升了多少米?
(角度精确到0.01°
,长度精确到0.1米)
3.如图,一艘船以40km/h的速度向正东航行,在A处测得灯塔C在北偏东60°
方向上,继续航行1h到达B处,这时测得灯塔C在北偏东30°
方向上,已知在灯塔C的四周30km内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全?
1.如图,在山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m,测得斜坡的倾斜角是24°
,求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m).
2.同学们,如果你是修建三峡大坝的工程师,现在有这样一个问题请你解决:
如图水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求斜坡AB的坡面角α,坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m).
3.庞亮和李强相约周六去登山,庞亮从北坡山脚C处出发,以24米/分钟的速度攀登,同时,李强从南坡山脚B处出发.如图,已知小山北坡的坡度i=1∶
,山坡长为240米,南坡的坡角是45°
.问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A?
(将山路AB、AC看成线段,结果保留根号)
4.某公园有一滑梯,横截面如图所示,AB表示楼梯,BC表示平台,CD表示滑道.若点E,F均在线段AD上,四边形BCEF是矩形,且sin∠BAF=2/3,BF=3米,BC=1米,CD=6米.求:
(1)∠D的度数;
(2)线段AE的长.
5.日本福岛发生核电站事故后,我国国家海洋局高度关注事态发展,紧急调集海上巡逻的海检船,在相关海域进行现场监测与海水采样,针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估.如图,上午9时,海检船位于A处,观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°
方向,海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶,下午2时海检船到达B处,这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9°
方向,求此时海检船所在B处与城市P的距离.
(参考数据:
sin36.9°
≈35,tan36.9°
≈34,sin67.5°
≈1213,tan67.5°
≈125)
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
教材“习题4.1”中第1、6、7题.
章末复习
1.了解锐角三角函数的概念,熟记30°
的正弦、余弦和正切的函数值.
2.能够正确地使用计算器,由已知锐角的度数求出它的三角函数值,由已知三角函数值求出相应的锐角的度数.
3.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.
通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想.
通过解直角三角形的学习,体会数学在解决实际问题中的作用.
会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.
【布置作业】
完成本课时对应练习,并提醒学生预习下一节的内容。
一、知识结构
二、释疑解惑,加深理解
1.正弦的概念:
在直角三角形中,我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦.记作sinα,即:
sinα=角α的对边/斜边.
2.余弦的概念:
在直角三角形中,我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦.记作cosα.即cosα=角α的邻边/斜边.
3.正切的概念:
在直角三角形中,我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切.记作tanα,即:
tanα=角α的对边/角α的邻边
4.特殊角的三角函数值:
5.三角函数的概念:
我们把锐角α的正弦、余弦、正切统称为角α的锐角三角函数.
6.解直角三角形的概念:
在直角三角形中,利用已知元素求其余未知元素的过程,叫作解直角三角形.
7.仰角、俯角的概念:
当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫作仰角,在水平线下方的角叫作俯角.
8.坡度的概念:
坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比);
记作i,坡度通常用l∶m的形式;
坡面与水平面的夹角叫作坡角,记作α.坡度越大,坡角越大,坡面就越陡.
1.已知,如图,D是△ABC中BC边的中点,∠BAD=90°
,tanB=2/3,求sin∠DAC.
2.计算:
tan230°
+cos230°
-sin245°
tan45°
3.如图所示,菱形ABCD的周长为20cm,DE⊥AB,垂足为E,sinA=3/5,则下列结论正确的个数为()
①DE=3cm;
②BE=1cm;
③菱形的面积为15cm2;
④BD=2
cm.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
4.如图所示,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°
方向,与灯塔P的距离为80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°
方向上的B处,求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离(结果保留根号).
四、复习训练,巩固提高
1.如图,△ABC是等边三角形,P是∠ABC的平分线BD上一点,PE⊥AB于点E,线段BP的垂直平分线交BC于点F,垂足为点Q.若BF=2,则PE的长为()
A.2B.2
C.3D.3【答案】C
2.如图,为了测量某山AB的高度,小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°
,然后沿坡角为30°
的斜坡走100米到达D点,在D点测得山顶A的仰角为30°
,求山AB的高度.(参考数据:
≈1.73)
3.如图,小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度,在C处测得∠ADG=30°
,在E处测得∠AFG=60°
,CE=8米,仪器高度CD=1.5米,求这棵树AB的高度(结果保留两位有效数字,3≈1.732).
五、师生互动,课堂小结
师生共同总结,对于本章的知识.你掌握了多少?
还存在哪些疑惑?
同学之间可以相互交流.
教材“复习题4”中第1、3、6、8、1
- 配套讲稿:
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- 特殊限制:
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- 第4章 锐角三角函数 副本 锐角三角 函数
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