统计学常用分布及其分位数Word格式文档下载.docx
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X〜N(0,1),丫〜(n),则Z=的分布称为自由度等于n的t分布,记作
Z〜t(n),它的分布密度
P(z)=。
请注意:
t分布的分布密度也是偶函数,且当n>
30时,t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。
这时,t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。
3.F分布若X与Y相互独立,且X〜(n),Y〜(m),
则Z=的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布,记
作Z〜F(n,m),它的分布密度
p(z)=
F分布也是非对称分布,它的分布密度与自由度的次序有关,当Z〜F(n,m)时,〜F(m,n)。
4.t分布与F分布的关系
若X〜t(n),则Y=X〜F(1,n)。
证:
X〜t(n),X的分布密度p(x)二。
Y=X的分布函数F(y)=P{Yvy}二P{X<
y}。
当y0时,F(y)=0,p(y)=0;
当y>
0时,F(y)=P{-<
X<
}
==2,
丫二X的分布密度p(y)二,
与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同,因此Y=X-F(1,n)。
为应用方便起见,以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。
但是,解应用问题时,通常是查分位数表。
有关分位数的概念如下:
4.常用分布的分位数
1)分位数的定义
分位数或临界值与随机变量的分布函数有关,根据应用的需要,有三种不同的称呼,即a分位数、上侧a分位数与双侧a分位数,它们的定义如下:
当随机变量X的分布函数为F(x),实数a满足0va<
1
时,a分位数是使P{X<
xa}=F(xa)=a的数xa,
上侧a分位数是使P{X>
入}=1-F(入)=a的数入,
双侧a分位数是使P{X<
入1}=F(入1)=0.5a的数入1、使
P{X>
入2}=1-F(入2)=0.5a的数入2。
因为1-F(入)=a,F(入)=1-a,所以上侧a分位数入就是1-a分位数X1-a;
F(入1)=0.5a,1-F(入2)=0.5a,所以双侧a分位数入1就是0.5a分位数X0.5a,双侧a分位数入2就是1-0.5a分位数X
1-0.5a。
2)标准正态分布的a分位数记作ua,0.5a分位数记作u0.5a,1-0.5a分位数记作u1-0.5a。
当X〜N(0,1)时,P{X<
Ua}=F0,1(ua)=a,
P{X<
u0.5a}=F0,1(u0.5a)=0.5a,
u1-0.5a}=F0,1(u1-0.5a)=1-0.5a。
根据标准正态分布密度曲线的对称性,
当a=0.5时,ua=0;
当a<
0.5时,ua<
0。
Ua=-U1-ao
如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数,则先查
出u1-a,然后得到ua=-u1-ao
论述如下:
当X〜N(0,1)时,P{X<
Ua}=F0,1(Ua)=a,
u1-a}=F0,1(u1-a)=1-a,
U1-a}=1-F0,1(U1-a)=a,
故根据标准正态分布密度曲线的对称性,Ua=-U1-ao
例如,U0.10=-U0.90=-1.282,
U0.05=-U0.95=-1.645,
U0.01=-U0.99=-2.326,
U0.025=-U0.975=-1.960,
U0.005=-U0.995=-2.576o
又因为P{|X|<
U1-0.5a}=1-a,所以标准正态分布的双侧a分位数分别是U1-0.5a和-U1-0.5ao
标准正态分布常用的上侧a分位数有:
a=0.10,u0.90=1.282;
a=0.05,u0.95=1.645;
a=0.01,u0.99=2.326;
a=0.025,u0.975=1.960;
a=0.005,u0.995=2.576。
3)卡平方分布的a分位数记作a(n)
a(n)>
0,当X〜(n)时,P{X<
a(n)}=a
例如,0.005(4)=0.21,0.025(4)=0.48,
0.05(4)=0.71,0.95(4)=9.49,
0.975(4)=11.1,0.995(4)=14.9。
4)t分布的a分位数记作ta(n)。
当X〜t(n)时,P{X<
ta(n)}=a,且与标准正态分布相类似,
根据t分布密度曲线的对称性,也有
ta(n)=-t1-a(n),论述同ua=-u1-a。
例如,t0.95(4)=2.132,t0.975(4)=2.776,
t0.995(4)=4.604,t0.005(4)=-4.604,
t0.025(4)=-2.776,t0.05(4)=-2.132。
另外,当n>
30时,在比较简略的表中查不到ta(n),可用ua作为ta(n)的近似值。
oXOX
xOX
5)F分布的a分位数记作Fa(n,m)。
Fa(n,m)>
0,当X~F(n,m)时,P{X<
Fa(n,m)}=a。
另外,当a较小时,在表中查不出Fa(n,m),须先查
F1-a(m,n),再求Fa(n,m)=。
当X〜F(m,n)时,P{X<
F1-a(m,n)}=1-a,
P{>
}=1-a,P{<
}=a,
又根据F分布的定义,〜F(n,m),P{<
Fa(n,m)}=a,因此Fa(n,m)=。
例如,F0.95(3,4)=6.59,F0.975(3,4)=9.98,
F0.99(3,4)=16.7,F0.95(4,3)=9.12,
F0.975(4,3)=15.1,F0.99(4,3)=28.7,
F0.01(3,4)=,F0.025(3,4)=,F0.05(3,4)=。
【课内练习】
1.求分位数①0.05(8),②0.95(12)。
2.求分位数①t0.05(8),②t0.95(12)
3.求分位数①F0.05(7,5),②F0.95(10,12)
4.由u0.975=1.960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。
5.由t0.95(4)=2.132写出有关的上侧分位数与双侧分位数。
6.若X〜(4),P{X<
0.711}=0.05,P{X<
9.49}=0.95,试写出有关的分位数。
7.若X〜F(5,3),P{X<
9.01}=0.95,Y〜F(3,5),{Y<
5.41}=
0.95,试写出有关的分位数。
8.设X、X、…、X相互独立且都服从N(0,0.09)分布,
试求P{>
1.44}。
习题答案:
1.①2.73,②21.0。
2.①-1.860,②1.782。
3.①,②3.37。
4.1.960为上侧0.025分位数,-1.960与1.960为双侧0.05分位数。
5.2.132为上侧0.05分位数,-2.132与2.132为双侧0.1分位数。
6.0.711为上侧0.95分位数,9.49为上侧0.05分位数,0.711与19.49为双侧0.1分位数。
为上侧0.05分位数,5.41为上侧0.05分位数,与5.41为双侧0.1分位数,与9.01为双侧0.1分位数。
8.0.1。
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- 关 键 词:
- 统计学 常用 分布 及其 位数