排列组合问题经典题型解析含答案可编辑修改word版文档格式.docx
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(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有
444
A、1284种B、
1284种C、
443
1283种D、
444
CCC
1284
3
3种
6.全员分配问题分组法:
例6.
(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种?
(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为()
A、480种B、240种C、120种D、96种
7.名额分配问题隔板法:
例7:
10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?
8.限制条件的分配问题分类法:
例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同
学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?
9.多元问题分类法:
元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。
例9
(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有
A、210种B、300种C、464种D、600种
(2)从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?
(3)从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种?
10.交叉问题集合法:
某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式
n(A⋃B)=n(A)+n(B)-n(A⋂B)
例10.从6名运动员中选出4人参加4×
100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案?
11.定位问题优先法:
某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;
再排其它的元素。
例11.现1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?
12.多排问题单排法:
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。
例12.
(1)6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是()
A、36种B、120种C、720种D、1440种
(2)8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?
13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:
例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共
有()
A、140种B、80种C、70种D、35种
14.选排问题先取后排:
从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定的位置上,可用先取后排法.
例14.
(1)四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种?
(2)9名乒乓球运动员,其中男5名,女4名,现在要进行混合双打训练,有多少种不同的分组方
法?
15.部分合条件问题排除法:
在选取的总数中,只有一部分合条件,可以从总数中减去不符合条件数,即为所求.
例15.
(1)以正方体的顶点为顶点的四面体共有()
A、70种B、64种C、58种D、52种
(2)四面体的顶点和各棱中点共10点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有()
A、150种B、147种C、144种D、141种
16.圆排问题单排法:
把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列,顺序(例如按顺时钟)不同的排法才算不同的排列,而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的,它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分,下列n个普通排列:
a1,a2,a3,an;
a2,a3,a4,,an,;
an,a1,,an-1在圆排列中只算一种,因为旋转后可以重合,故认为相同,n
个元素的圆排列数有n!
种.因此可将某个元素固定展成单排,其它的n-1元素全排列.
n
例16.有5对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有多少种不同站法?
17.可重复的排列求幂法:
允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可逐一安排元素的位置,一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有mn种方法.
例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?
18.复杂排列组合问题构造模型法:
例18.马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏,也
不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?
19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:
例19.设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的盒子现将这5个球投入5个盒子要
求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同,问有多少种不同的方法?
20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:
例20.
(1)30030能被多少个不同偶数整除?
(2)正方体8个顶点可连成多少队异面直线?
21.利用对应思想转化法:
对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法,它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.
例21.
(1)圆周上有10点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个?
(2)某城市的街区有12个全等的矩形组成,其中实线表示马路,从A到B的最短路径有多少种?
22.全错位排列问题公式法:
全错位排列问题(贺卡问题,信封问题)记住公式即可
瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式:
用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封,a、b、c……表示n份相应的写好的信纸。
把错装的总数为记作f(n)。
假设把a错装进B里了,包含着这个错误的一切错装法分两类:
(1)b装入A里,这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关,应有f(n-2)种错装法。
(2)b装入A、B之外的一个信封,这时的装信工作实际是把(除a之外的)份信纸b、c……装入
(除B以外的)n-1个信封A、C……,显然这时装错的方法有f(n-1)种。
总之在a装入B的错误之下,共有错装法f(n-2)+f(n-1)种。
a装入C,装入D……的n-2种错误之下,同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法,因此:
得到一个递推公式:
f(n)=(n-1){f(n-1)+f(n-2)},分别带入n=2、3、4等可推得结果。
也可用迭代法推导出一般公式:
f(n)=n!
(1-1+1-1+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(-1)n1)
1!
2!
3!
n!
排列组合问题经典题型与通用方法解析版
4
解析:
把A,B视为一人,且B固定在A的右边,则本题相当于4人的全排列,A4=24种,
答案:
D.
除甲乙外,其余5个排列数为A5种,再用甲乙去插6个空位有A2种,不同的排法种数是A5A2=3600
5
种,选B.
656
例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(A,B可以不相邻)那么不同的排法有
B在A的右边与B在A的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即
1A5=60种,选B.
25
例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有()
先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;
第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×
3×
1=9种填法,选B.
例5.
(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是()
先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项任务,第三步从另外的7
1087
人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有C2C1C1=2520种,
选C.
(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有
A、1284种B、
1284种
C、1283种D、
A.
把四名学生分成3组有C2种方法,再把三组学生分配到三所学校有A3种,故共有C2A3=36种方
4343
法.
说明:
分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
A、480种B、240种C、120种D、96种答案:
B.
10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10
9
个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为C6=84
种.
因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:
8
①若甲乙都不参加,则有派遣方案A4种;
②若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余
学生有A3方法,所以共有3A3;
③若乙参加而甲不参加同理也有3A3种;
④若甲乙都参加,则先安排甲乙,
888
有7种方法,然后再安排其余8人到另外两个城市有A2种,共有7A2方法.所以共有不同的派遣方法总数
88
8888
为A4+3A3+3A3+7A2=4088种.
元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数,最后总计.
按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有A5个,A1A1A3,A1A1A3,A1A1A3,A1A3
543333323333
个,合并总计300个,选B
.
(2)从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法
(不计顺序)共有多少种?
被取的两个数中至少有一个能被7整除时,他们的乘积就能被7整除,将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做A={7,14,21,98}共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合
14
记做A={1,2,3,4,,100}共有86个元素;
由此可知,从A中任取2个元素的取法有C2,从A中任取
一个,又从A中任取一个共有C1C1
,两种情形共符合要求的取法有C2+C1C1
=1295种.
将I={1,2,3,100}分成四个不相交的子集,能被4整除的数集A={4,8,12,100};
能被4除余1的数集B={1,5,9,97},能被4除余2的数集C={2,6,,98},能被4除余3的数集
D={3,7,11,99},易见这四个集合中每一个有25个元素;
从A中任取两个数符合要;
从B,D中各取一个数也符合要求;
从C中任取两个数也符合要求;
此外其它取法都不符合要求;
所以符合要求的取法共
有C2+C1C1+C2种.
25252525
设全集={6人中任取4人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根据
求集合元素个数的公式得参赛方法共有:
6554
n(I)-n(A)-n(B)+n(A⋂B)=A4-A3-A3+A2=252种.
老师在中间三个位置上选一个有A1种,4名同学在其余4个位置上有A4种方法;
所以共有A1A4=72
种。
434
6
前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共A6=720种,选C.
(2)8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?
看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有A2种,某1个元素排在后半段的四个位
置中选一个有A1种,其余5个元素任排5个位置上有A5种,故共有A1A2A5=5760种排法.
45
445
例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有()
945
解析1:
逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,故不同的取法共有C3-C3-C3=70种,选.C
5454
解析2:
至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况:
甲型1台乙型2台;
甲型2台乙型1台;
故不同的取法有C2C1+C1C2=70台,选C.
先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有C2种,再排:
在四个盒中每次排3个有A3种,
44
故共有C2A3=144种.
(2)9名乒乓球运动员,其中男5名,女4名,现在要进行混合双打训练,有多少种不同的分组方法?
解析:
先取男女运动员各2名,有C2C2种,这四名运动员混和双打练习有A2中排法,故共有C2C2A2=120
542
542
正方体8个顶点从中每次取四点,理论上可构成C4四面体,但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体,所以四面体实际共有C4-12=58个.
10
10个点中任取4个点共有C4种,其中四点共面的有三种情况:
①在四面体的四个面上,每面内四
点共面的情况为C4,四个面共有4C4个;
②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个;
③过棱上三点
66
106
与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是C4-4C4-3-6=141种.
把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列,顺序(例如按顺时钟)不同的排法才算不同的排列,而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的,它与普通排列的区别在
于只计顺序而首位、末位之分,下列n个普通排列:
n!
个元素的圆排列数有种.因此可将某个元素固定展成单排,其它的n1元素全排列.
首先可让5位姐姐站成一圈,属圆排列有A4种,然后在让插入其间,每位均可插入其姐姐的左边和右边,有2种方式,故不同的安排方式24⨯25=768种不同站法.
从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有1Am种不同排法.
mn
完成此事共分6步,第一步;
将第一名实习生分配到车间有7种不同方案,第二步:
将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有76种不同方案.
例18.马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?
把此问题当作一个排对模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C3种方法,所以满足条件
的关灯方案有10种.
一些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型,排队模型,装盒模型可使问题容易解决.
例19.设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同,问有多少种不同的方法
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