求数列通项公式的解题思路Word下载.docx
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此题型主要通过让学生观察、试验、归纳推理等活动,且在此基础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本质,从而培养学生的思维能力。
二、已知数列的前n项和sn
已知数列的前n项和sn,求通项公式an,主要通过an与sn的关系转化,即an-{s1(n=1)sn-sn——1(n≥2)
例2、已知数列{an}的前n项和sn=2n+3,求an
sn=a1+a2+……+an——1+an
sn——1=a1+a2+……+an——1
上两式相减得sn-sn——1=an
解:
当n=1时,a1=s1=5
当n≥2时,an=sn-sn——1=2n+3-(2n——1+3)=2n——1
∵n=1不适合上式
∴an={5(n=1)2n——1(n≥2)
三、已知an与sn关系
已知数列的第n项an与前n项和sn间的关系:
sn=f(an),求an。
一般的思路是先将sn与an的关系转化为an与an——1的关系,再根据与的关系特征分为如下几种类型。
不同的类型,要用不同的方法解决。
(1)an=an——1+k。
数列属等差数列,直接代公式可求通项公式。
例3、已知数列{an},满足a1=3,an=an——1+8,求an。
由已知条件可知数列是以3为首项,8为公差的等差数列,直接代公式可求得an=8n-5。
(2)an=kan——1(k为常数)。
数列属等比数列,直接代公式可求通项公式。
例4、数列{an}的前n项和sn,a1=1,an+1=2sn+1(n∈n+)
求数列{an}的通项公式。
根据an与sn的关系,将an+1=2sn+1转化为an与an+1的关系。
由an+1=2sn+1
得an=2sn-1+1(n≥2)
两式相减,得an+1-an=2an
∴an+1=3an(n≥2)
∵a2=2sn+1=3
∴a2=3a1
∴{an}是以1为首项,3为公比的等比数列
∴an=3n-1
(3)an+1=an+f(n),用叠加法
思路:
令n=1,2,3,……,n-1
得a2=a1+f
(1)
a3=a2+f
(2)
a4=a3+f(3)
……
+)an=an——1+f(n-1)
an=a1+f
(1)+f
(2)+…+f(n-1)
例5、若数列{an}满足a1=2,an+1=an+2n
则{an}的通项公式=()
∵an+1=an+2n
∴a2=a1+2×
1
a3=a2+2×
2
a4=a3+2×
3
+)an=an——1+2(n-1)
an=a1+2(1+2+3+…+n-1)
=2+2×
(1+n-1)(n-1)
=n2-n+2
(4)an+1=f(n)an,用累积法
得a2=f
(1)a1a3=f
(2)a2a4=f(3)a3
×
)an=f(n-1)an-1
an=a1·
f
(1)·
f
(2)·
f(3)……f(n-1)
例6、若数列{an}满足a1=1,an+1=2n+an,则an=()
∵an+1=2nan∴a2=21a1
a3=22a2a4=23a3
)an=2n——1·
an——1
an=2·
22·
23·
……·
2n-1a1=2n(n-1)/2
(5)an=pan——1+q,an=pan——1+f(n)
an+1=an+p·
qn(pq≠0),
an=p(an——1)q,an+1=ran/pan+q=(pr≠0,q≠r)
(p、q、r为常数)
这些类型均可用构造法或迭代法。
①an=pan——1+q(p、q为常数)
构造法:
将原数列的各项均加上一个常数,构成一个等比数列,然后,求出该等比数列的通项公式,再还原为所求数列的通项公式。
将关系式两边都加上x
得an+x=pan——1+q+x
=p(an——1+q+x/p)
令x=q+x/p,得x=q/p-1
∴an+q/p-1=p(an——1+q/p-1)
∴{an+q/p-1}是以a1+q/p-1为首项,p为公比的等比数列。
∴an+q/p-1=(a1+q/p-1)pn-1
∴an=(a1+q/p-1)pn-1-q/p-1
迭代法:
an=p(an——1+q)=p(pan-2+q)+q
=p2((pan-3+q)+pq+q……
例7、数列{an}的前n项和为sn,且sn=2an-n(n∈n+)求an
解析:
由sn=2an-n得sn-1=2an-1-(n-1)(n≥2,n∈n+)
两式相减得an=2an-1+1
两边加1得an+1=2(an-1+1)(n≥2,n∈n+)
构造成以2为公比的等比数列{an+1}
②an=pan-1+f(n)
例8、数列{an}中,a1为常数,且an=-2an-1+3n-1(≥2,n∈n)
证明:
an=(-2)n-1a1+3n+(-1)n·
3·
2n-1/5
这道题是证明题,最简单的方法当然是数学归纳法,现用构造法和迭代法来证明。
方法一:
构造公比为-2的等比数列{an+λ·
3n}
用比较系数法可求得λ=-1/5
方法二:
构造等差型数列{an/(-2)n}。
由已知两边同以(-2)n,得an/(-2)n=an-1/(-2)n=1/3·
(-3/2)n,用叠加法处理。
方法三:
迭代法。
an=-2an-1+3n-1=-2(-2an-2+3n-2)+3n-1
=(-2)2an-2+(-2)·
3n-2+3n-1
=(-2)2(-2an-3+3n-3)+(-2)·
=(-2)3an-3+(-2)·
3n-3+(-2)·
=(-2)n-1a1+(-2)n-1·
3+(-2)n-3·
+32+……+(-2)·
=(-2)n-1a1+3n+(-1)n-2·
③an+1=λan+p·
qn(pq≠0)
(ⅰ)当λ=qn+1时,等式两边同除以,就可构造出一个等差数列{an/qn}。
例9、在数列{an}中,a1=4,an+1+2n+1,求an。
在an+1=2an+2n+1两边同除以2n+1,得an+1/2n+1=an/2n+1
∴{an/2n}是以a1/2=2为首项,1为公差的等差数列。
(ⅱ)当λ≠q时,等式两边同除以qn+1,令bn=an/qn,得bn+1=λ/qbn+p,再构造成等比数列求bn,从而求出an。
例10、已知a1=1,an=3an-1+2n-1,求an
从an=3an-1+2n-1两边都除以2n,
得an/2n=3/2an-1/2n-1+1/2
令an/2n=bn
则bn=3/2bn-1+1/2
④an=p(an——1)q(p、q为常数)
例11、已知an=1/aan——12,首项a1,求an。
将已知两边取对数
得lgan=2lgan——1-lga
令bn=lgan
得bn=2bn-1-lga,再构造成等比数列求bn,从而求出an。
迭代法
an=1/aa2n——1=1/a(1/aa2n——2)2=1/a3a4n——2
=1/a3(1/aa2n——3)4=1/a7·
an——38=a·
(an——3/a)23
=……=a·
(a1/a)2n——1
⑤an+1=ran/pan+q(p、q、r为常数,pr≠0,q≠r)
将等式两边取倒数,得1/an+1=q/r·
1/an+p/r,再构造成等比数列求an。
例12、在{an}中,a1=1,an+1=an/an+2,求an
∵an+1=an/an+2
∴1/an+1=2·
1/an+1
两边加上1,得1/an+1+1=2(1/an+1)
∴{1/an+1}是以1/an+1=2为首项,2为公比的等比数列
∴1/an+1=2×
2n-1=2n
∴an=1/2n-1
以上罗列出求数列通项公式的解题思路虽然很清晰,但是一般考生对第三项中的5种类型题用构选法和迭代法都比较困难的。
遇到此情况,可转化为第一种类型解决,即从an与sn的关系式求出数列的前几项,用观察法求an。
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