建模论文公交线路的论文Word格式.docx
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所有站点间距之和最大程度接近路线总长;
先对每一个区间长度进行计算;
其次,要使所有乘客花费的总时间最少,只要每一个乘客所花费的时间最少即可,故又将整个路线划分为n+1个时间段,令同一个时间段内的每一个乘客所花费的时间相等,接着对每一个时间段的所有乘客所花费的时间ti(i=1,2…n+1).进行计算,即在区间内采用连续模型;
最后,将所有乘客所花费的时间求和。
本文通过对问题合理的假设、严密的逻辑分析、精确的计算,基于条件:
(1)所有站点间距之和最大程度接近路线总长;
(2)乘客所花时间最少。
对于题目所给的参数,计算得到设置5个站点较为合理。
此时平均每个乘客花费时间0.67小时(大约42分钟)。
总的花费时间为76.8小时,相邻站点之间的距离从L1=0.5公里依次递增。
二、问题提出
2008年8月8日第29届奥林匹克运动会在北京开幕,这使得北京在奥运会期间成为全球最大的旅游城市.旅游人数的骤然增多无疑给城市的交通造成很大的压力,为了解决这一实际问题,交通管理部门决定临时增开一些直达(无需转车)奥运比赛场地的公交线路以缓解对交通造成的压力.
就某一条临时增开的公交线路而言,为了节约每一位乘客的乘车时间,加之每辆公交车的容量有限,公交车并非在线路的原来每一个站点都停车,这就要求对站点设置做合理的规划。
要求:
对所给数据(见下表)进行计算,使所有乘客花费的总时间达到最少,并计算此时每相邻两个站点之间的距离
。
参数名称
每公里乘客密度
线路的总
长度为
站点停
车时间
公交车行
驶时速
乘客的步
行时速
参数值
5人
23公里
2分钟
35公里
8公里
二、问题的分析
该问题的目的是寻找公交站点的最优选址,使得沿线所有乘客花费的乘车时间最少。
要使所有乘客花费的总时间最少,只要沿线每一个乘客花费的时间最少,则所有乘客所花费的总时间就能达到最少。
规定沿途均匀分布的乘客同时向最近站点走,总时间从所有的乘客向最近站点行进时计起。
如下图,当区间[0,
L1)内所有乘客都到达位置0时,第一班车出发。
假设所有乘客都能在其最近站点赶上第一班公交车,由于公交车的容量有限且不能超载,所以在乘客到达其最近站点时,有可能乘不上该班车,此时,站点的乘客就要花时间等下一班车。
处于区间[L1+L2+…+Ln+
Ln+1,L]内的乘客步行到终点,其花费的时间暂时不计入乘车的乘客所花费的总时间之内。
另外,每一班公交车无论是否乘客坐满,均按规定在每一个站点停车2分钟。
四、模型假设与符号说明
1、模型假设:
(1)公交车行驶速度和乘客的步行速度均匀速;
(2)每班公交车的时间间隔相等;
(3)每个站点的乘客同时上车;
(4)乘客步行到最近的站点去乘车;
(5)每班公交车容量固定且相同;
(6)沿线乘客均匀分布且在同一时刻向最近站点出发,乘客所花费的时间从此时开始计时;
2、符号说明:
符号
单位
每公里乘客人数
P
人/公里
路线的总长度
L
公里
站点停车时间
T0
分钟
公交车行驶时速
V车
公里/小时
乘客的步行时速
V人
班次间隔时间
Tc
第i站与第i+1站间距
Li(i=1,2,…,n+1)
所有乘客花费的总时间
T
小时
五、模型的建立
使相同时间段的乘客花费时间最短,则满足条件:
。
同一时间段乘客所花费的时间模型依次为:
故总花费时间为:
六、模型的简化与求解
对于上述条件的化简可得差分方程:
其中
,
对于差分方程的求解需要给出初值L1(搜集数据表明0.5≤L1≤0.8),依次求得:
Li(i=2,3,….,n+1)并且满足条件:
完整程序(采用C++语言编程计算,并且在visualC++6.0环境下调试成功)和结果参见附录。
求解部分结果及解释(单位是:
公里)
当L1=0.5时L2=1.2619L3=2.37211L4=3.98983L5=6.34709L6=9.78195
对应站点数为5;
所有乘客花费的时间为76.8035小时;
平均每个人花费的时间为0.667856小时;
七、结果分析与检验
由于L1的取值范围是0.5≤L1≤0.7,所以对L1的不同取值,Li有不同的结果:
L1
L2
L3
L4
L5
L6
0.5
1.2619
2.37211
3.98983
6.34709
9.78195
0.55
1.33476
2.47827
4.14453
6.57251
10.1104
0.6
1.40762
2.58444
4.29922
6.79792
10.4389
0.65
1.48048
2.6906
4.45392
7.02333
10.7673
0.7
1.55333
2.79676
4.60861
7.24874
11.0958
当L1=0.5时,
当L1=0.55时
当L1=0.60时
当L1=0.65时
当L1=0.7时
(单位:
根据题目所给数据,路线的总长度L=23公里,可知当L1=0.5公里,所设站点数为5时,最为合理。
八、模型的优缺点和改进方向
对于公交车站点的最优选址的问题,本文采用离散模型,嵌套连续模型,在求解相邻站点之间的距离时,运用求解差分方程的知识;
在求解总时间时,运用数学分析里的级数求和方法。
模型的优点:
(1)本模型假设合理,接近现实生活。
(2)用差分方程表示出相邻间距的关系,再利用递推求解,整个模型的建立都没用到很复杂的算法,通俗易懂。
(4)在差分方程求解中,采用C++语言编程,在VisualC++6.0环境下调试运行,计算结果较为准确。
(5).问题分析透彻,使得建立的模型容易理解。
建立的模型简洁、明了。
模型存在的不足:
(1)避免了一些实际问题,比如公交车行驶速度和乘客的步行速度均匀速。
(2)考虑到时间最少,致使最后站点之间的距离比较大,较不符合实际。
(3)本模型采用间接的方法,没有直接找出总时间T与站点n的关系.
改进方向:
基于模型的上述不足,在计算公交车和乘客所花费的时间时,应当运用运动学的方程进行计算,这样将使模型的更加复杂化,本文为了简化模型,提出了匀速的假设。
其次,在寻找最小站点n时,应建立总的时间T与n的函数关系,进而找到使T最小的n,但本文并没有这么做,而是采用间接的计算方法找到n的值。
最后,可根据实际情况,通过对相邻站点之间距离和站点的数量的进行适当调整,使得相邻站点之间的距离不至过大。
九、参考文献
[1]
[2]谢兆鸿,范正森,王艮远数学建模技术北京中国水利水电出版社2003
[3]蔡锁章,数学建模原理与方法海洋出版社2000版
十、附录
程序1:
计算Li(i=1,2,…,n+1)的值
#include<
iostream>
usingnamespacestd;
intmain()
{
intp=5,c=45;
doubleL[47],len[47],t[47],T[47];
//L[47]是46个站点;
且L[1]不用。
len[k]是前k个站的长度
L[0]=0;
len[0]=0;
t[0]=0;
T[0]=0;
doublevr=8,vc=35,Length=23;
//
doubleTc=10.0/60,T0=2.0/60;
cout<
<
"
inputL[1]"
endl;
cin>
>
L[1];
len[1]=L[1];
doubleA=(2*vr/vc)+1,B=2*vr*T0;
for(intn=2;
n<
47;
n++)
{
L[n]=A*L[n-1]+B;
len[n]=len[n-1]+L[n];
cout<
L[n]<
"
;
}
for(inti=0;
i<
i++)
t[i]=L[i+1]/(2*vr)+(Length-len[i])/vc+(n-i)*T0+((int)(((len[i]-L[i]*0.5)*p/c)))*Tc;
T[i]=t[i]*(0.5*(L[i]+L[i+1]));
doubleresult=0;
for(intj=0;
j<
7;
j++)
result=result+T[j];
result=result/115.0;
&
result<
return0;
}
程序2:
测试数据
doubleL[11];
doublevr=8,vc=35;
doubleT0=2.0/60;
for(L[1]=0.5;
L[1]<
0.85;
L[1]=L[1]+0.05)
\n***************************\n"
for(intn=2;
11;
n++)//n<
6,7,8…..11分别测试
{
L[n]=A*L[n-1]+B;
cout<
}
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- 建模 论文 公交线路