《一元二次方程根的判别式》提高训练Word下载.docx
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三、解答题(本大题共5小题,共50.0分)
11.(10分)已知关于x的方程mx2﹣(m+3)x+3=0(m≠0).
(1)求证:
不论m为何值,方程总有实数根;
(2)当m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?
12.(10分)已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若m是正整数,求关于x的方程x2﹣2x+m﹣1=0的根.
13.(10分)已知关于x的方程x2﹣(k+2)x+2k=0
(1)若方程有一个根为3,求k的值;
(2)若k为任意实数,判断方程根的情况并说明理由.
14.(10分)已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1=0
(1)若这个方程有实数根,求m的取值范围;
(2)若此方程有一个根是1,请求出m的值.
15.(10分)关于x的方程x2﹣ax+1=0有两个相等的实数根,求代数式
﹣
的值.
参考答案与试题解析
【分析】分别计算四个方程的判别式的值,然后根据判别式的意义判断方程根的情况.
【解答】解:
A.x2+1=0中△=02﹣4×
1×
1=﹣4<0,没有实数根;
B.x2﹣2x+1=0中△=(﹣2)2﹣4×
1=0,有两个相等实数根;
C.x2+2x+4=0中△=22﹣4×
4=﹣12<0,没有实数根;
D.x2﹣x﹣3=0中△=(﹣1)2﹣4×
(﹣3)=13>0,有两个不相等的实数根;
故选:
B.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;
当△=0,方程有两个相等的实数根;
当△<0,方程没有实数根.
【分析】根据根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以判断下列方程有无实数解.
A.由kx2+3=0得x2=﹣
<0,没有实数根;
B.由(x+k)2+12=0得(x+k)2=﹣12<0,没有实数根;
C.kx2﹣4kx+1=0中△=(﹣4k)2﹣4k=16k2﹣4k,不一定有实数根;
D.
x2﹣x﹣k2=0中,△=(﹣1)2﹣4×
×
(﹣k2)=1+2k2>0,一定有实数根;
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且△=42﹣4k≥0,然后求出两不等式的公共部分即可.
根据题意得k≠0且△=42﹣4k≥0,
解得k≤4且k≠0.
【点评】本题考查了根的判别式:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:
当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;
当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;
当△<0时,方程无实数根.
【分析】根据根的判别式可以判断各个选项中的方程是否有实数根,从而可以解答本题.
A.x2+2x+1=0中△=22﹣4×
1=0,有两个相等的实数根;
B.2x2﹣2x﹣1=0中△=(﹣2)2﹣4×
2×
(﹣1)=12>0,有两个不相等的实数根;
C.x2+6=4x,即x2﹣4x+6=0中△=(﹣4)2﹣4×
6=﹣8<0,没有实数根;
D.(x+1)(x﹣4)=1,即x2﹣3x﹣5=0中,△=(﹣3)2﹣4×
(﹣5)=29>0,有两个不相等的实数根;
C.
【点评】本题考查根的判别式,解答本题的关键是利用根的判别式可以判断方程的根的情况.
【分析】分3为腰长及3为底边长两种情况考虑:
当3为腰长时,将x=3代入原方程可求出k的值,将k的值代入原方程可求出x的值,由三角形的三边关系可得出k=27舍去;
当3为等边长时,由根的判别式△=0,可求出k值.综上即可得出结论.
当3为腰长时,将x=3代入原方程得9﹣12×
3+k=0,
解得:
k=27,
∴原方程为x2﹣12x+27=0,
∴x1=3,x2=9,
∵3+3<9,
∴长度为3,3,9的三条边不能围成三角形
∴k=27舍去;
当3为等边长时,△=(﹣12)2﹣4k=0,
k=36.
【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、三角形三边关系以及等腰三角形的性质,分3为腰长及3为底边长两种情况找出k值是解题的关键.
6.(5分)关于x的一元二次方程(a+1)x2+2x=1有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 a<0且a≠﹣1 .
【分析】据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组,解之即可得出结论.
∵关于x的一元二次方程(a+1)x2+2x=1有两个不相等的实数根,
∴△=22﹣4×
(a+1)×
1=﹣4a>0,
a<0,
又a+1≠0,
∴a≠﹣1,
则a<0且a≠﹣1,
故答案为:
a<0且a≠﹣1.
当△<0,方程没有实数根,也考查了一元二次方程的定义.
7.(5分)请给出一元二次方程x2﹣3x+ 2(答案不唯一,小于
均可) =0的一个常数项,使这个方程有两个不相等的实数根(填在横线上,填一个答案即可).
【分析】设这个常数项为a,则这个一元二次方程为程x2﹣3x+a=0,根据方程有两个不相等的根,求出a的取值范围即可.
设这个常数项为a,则这个一元二次方程为程x2﹣3x+a=0,
∵此方程有两个不相等的实数根,
∴△>0,
∴(﹣3)2﹣4a>0,即a<
,
所以这个常数项为小于
的任意一个数即可,可为2,
2(答案不唯一,小于
均可).
【点评】本题主要考查了根的判别式的知识,解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个不相等根,则△>0,此题难度不大.
8.(5分)若关于x的一元二次方程(k﹣2)x2+2kx+k=0没有实数根,则k的取值范围是 k<0 .
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△<0,即可得出关于k的一元一次不等式组,解之即可得出k的取值范围.
∵关于x的一元二次方程(k﹣2)x2+2kx+k=0没有实数根,
∴
k<0.
【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式,根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0,列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键.
9.(5分)若关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2﹣1=0有实数根,则m的取值范围是 m≥﹣
.
【分析】先计算△,根据方程有实数根得关于m的不等式,求解即可.
△=(2m+1)2﹣4(m2﹣1)
=4m2+4m+1﹣4m2+4
=4m+5,
因为关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2﹣1=0有实数根,
所以4m+5≥0,
所以m≥﹣
.
m≥﹣
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式.解决本题的关键是根据解得情况列出不等式.
10.(5分)若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实根,则m的取值范围是 m<﹣1 .
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△<0,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围.
∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实根,
∴△=(﹣2)2﹣4×
(﹣m)<0,
m<﹣1,
m<﹣1.
【点评】本题考查了根的判别式,牢记“当△<0时,方程没有实数根”是解题的关键.
【分析】
(1)计算根的判别式△,证明△≥0;
(2)因式分解求出原方程的两个根,根据m为整数、两个不相等的正整数根得到m的值.
(1)∵△=[﹣(m+3)]2﹣4m×
3
=m2﹣6m+9
=(m﹣3)2,
∵(m﹣3)2≥0
即△≥0,
∴不论m为何值,方程总有实数根.
(2)(mx﹣3)(x﹣1)=0
x1=
,x2=1,
∵方程有两个不相等的正整数根,
∴m=1
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法.解决
(2)的关键是用因式分解法求出方程的两个根.
(1)根据方程有两个不相等的实数根知△>0,据此列出关于m的不等式,解之可得;
(2)由
(1)中m的范围且m为正整数得出m的值,代入方程,解之可得.
(1)根据题意得:
(﹣2)2﹣4(m﹣1)>0,
解不等式得:
m<2;
(2)由
(1)得:
m<2
∵m为正整数,
∴m=1,
把m=1代入原方程得:
x2﹣2x=0,
x1=0,x2=2.
【点评】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的解,熟练掌握根的判别式及一元二次方程的解的定义是解题的关键.
(1)将x=3代入方程得出关于k的方程,解之可得;
(2)利用一元二次方程根的判别式即可得出结论.
(1)当x=3时,9﹣3(k+2)+2k=0,
k=3;
(2)∵a=1,b=﹣(k+2),c=2k,
∴b2﹣4ac=[﹣(k+2)]2﹣4×
2k
=k2+4k+4﹣8k
=k2﹣4k+4
=(k﹣2)2≥0,
∴方程定有两个实数根.
(1)根据根的判别式判断即可;
(2)将x=1代入方程,解方程即可得m的值.
(1)根据题意知△=(﹣2m)2﹣4(m2﹣4m﹣1)≥0,
;
(2)将x=1代入方程得1﹣2m+m2﹣4m﹣1=0,
整理,得:
m2﹣6m=0,
m1=0,m2=6,
∵m≥﹣
∴m=0和m=6均符合题意,
故m=0或m=6.
【点评】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的解,熟练掌握根的判别式及一元二次方程的解的定义是解题的关键.
【分析】根据当△=0时,方程有两个相等的两个实数根求出a,代入计算即可.
△=a2﹣4,
∵方程x2﹣ax+1=0有两个相等的实数根,
∴a2﹣4=0,
解得,a=±
2,
∵a+2≠0,
∴a≠﹣2,
当a=2时,
=
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式,求代数式的值,掌握当△=0时,方程有两个相等的两个实数根是解题的关键.
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