山东省青岛市届高三下学期第一次模拟考试数学理试题含答案.docx
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山东省青岛市届高三下学期第一次模拟考试数学理试题含答案
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数学(理科)
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上。
2.第I卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上。
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题共50分)
一、选择题:
本大题共10小题。
每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集,集合,则
A.B.C.D.
2.已知数据(单位:
公斤),其中是某班50个学生的体重,设这50个学生体重的平均数为x,中位数为y,则这51个数据的平均数、中位数分别与比较,下列说法正确的是
A.平均数增大,中位数一定变大
B.平均数增大,中位数可能不变
C.平均数可能不变,中位数可能不变
D.平均数可能不变,中位数可能变小
3.设随机变量服从正态分布,则函数不存在零点的概率为
A.B.C.D.
4.已知,则“”是“恒成立”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.定义,则由函数的图象与x轴、直线所围成的封闭图形的面积为
A.B.C.D.
6.已知点为双曲线的左,右焦点,点P在双曲线C的右支上,且满足,则双曲线的离心率为
A.B.C.D.
7.如图所示的程序框图,输出S的值为
A.
B.
C.
D.
8.已知,且满足则的最大值为
A.10B.8C.6D.3
9.如图,四棱锥的底面ABCD为平行四边形,,则三棱锥与三棱锥的体积比为
A.1:
2B.1:
8
C.1:
6D.1:
3
10.已知抛物线,直线(k为常数)与抛物线交于A,B两个不同点,若在抛物线上存在一点P(不与A,B重合),满足,则实数k的取值范围为
A.B.C.D.
第II卷(非选择题共100分)
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.已知i是虚数单位,,且,则的共轭复数为_______;
12.在二项式的展开式中,常数项等于________(用数字作答);
13.已知函数是偶函数,它的部分图象如图所示.M是函数图象上的点,K,L是函数的图象与x轴的交点,且为等腰直角三角形,则___________;
14.若,则的最小值是___________;
15.定义在区间上的函数的图象为C,M是C上任意一点,O为坐标原点,设向量,且实数满足,此时向量.若恒成立,则称函数在区间上可在标准K下线性近似,其中K是一个确定的实数.已知函数在区间上可在标准K下线性近似,那么K的最小值是________.
三、解答题:
本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知函数(为常数且),函数的图象关于直线对称.
(I)求函数的最小正周期;
(II)在中,角A,B,C的对边分别为,若,求面积的最大值.
17.(本小题满分12分)
为迎接2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是:
滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为;两人滑雪时间都不会超过3小时.
(I)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;
(II)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量,求的分布列与数学期望.
18.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,平面ABCD,,,E为PA的中点.
(I)设面面,求证:
;
(II)求二面角的余弦值.
19.(本小题满分12分)
已知等差数列的公差d=2,其前n项和为,数列的首项,其前n项和为,满足.
(I)求数列、的通项公式;
(II)求数列的前n项和.
20.(本小题满分13分)
已知椭圆,A、B分别是椭圆E的左、右顶点,动点M在射线上运动,MA交椭圆E于点P,MB交椭圆E于点Q.
(I)若垂心的纵坐标为,求点P的坐标;
(II)试问:
直线PQ是否过定点?
若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
21.(本小题满分14分)
已知函数.
(I)对于恒成立,求实数a的取值范围;
(II)当时,令,求的最大值;
(III)求证:
.
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