学年江西省赣州市五校协作体高二下学期期中联考数学理试题 Word版Word下载.docx
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3.已知命题p:
存在
,
,命题q:
对任意x∈R,
,下列命题为真命题的是( )
A.¬
qB.p且qC.p或(¬
q)D.(¬
p)且q
4.已知平面α内有一点M(1,-1,2),平面α的一个法向量=(2,-1,2),则下列点P在平面α内的是( )
A.4,B.0,C.3,D.
5.4种不同产品排成一排参加展览,要求甲、乙两种产品之间至少有1种其它产品,则不同排列方法的种数是
A.12B.10C.8D.6
6.直线
与曲线
在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ).
A.4B.
C.2D.
7.函数
的图象大致为()
A.
B.
C.
D.
8.已知
的两个极值点分别为
且
,则函数
()
A.B.
C.1D.与b有关
9.已知动圆经过点,且截轴所得的弦长为4,则圆心的轨迹是()
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
10.用数学归纳法证明不等式的过程中,从到时左边需增加的代数式是( )
A.B.C.D.
11.如图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有个点,相应的图案中总的点数记为,则等于()
12.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,抛物线的准线与双曲线交于两点,且的面积为(为原点),则双曲线的方程为()
第II卷
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分.
13.已知函数,则曲线在点处的切线方程为________.
14.某次考试结束,甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天.甲说:
“你们的成绩都没有我高”乙说:
“我的成绩一定比丙高”丙说:
“你们的成绩都比我高”成绩公布后,三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对,若将三人成绩从高到低排序,则甲排在第______名
15.设F是双曲线C:
的一个焦点,若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则双曲线C的离心率为________.
16.已知函数f(x)及其导数f′(x),若存在x0,使得f(x0)=f′(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”,则下列函数中有“巧值点”的是________.
①f(x)=x2;
②f(x)=e-x;
③f(x)=lnx;
④f(x)=tanx;
⑤
.
三、解答题:
本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题10分)
(1)设,用综合法证明:
;
(2)用分析法证明:
18.(本小题12分)如图,在边长为4的正方形中,点分别是的中点,点在上,且
,将分别沿折叠,使点重合于点,如图所示.
试判断与平面的位置关系,并给出证明;
求二面角的余弦值.
19.(本小题12分)已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)求在区间上的最大值和最小值.
20.(本小题12分)已知抛物线C:
过点
求抛物线C的方程;
设F为抛物线C的焦点,直线l:
与抛物线C交于A,B两点,求的面积.
21.(本小题12分)已知椭圆C过点,两个焦点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设直线l交椭圆C于A,B两点,且|AB|=6,求△AOB面积的最大值.
22.(本小题12分)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若函数在上有零点,求的取值范围。
高二数学理科试卷参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
B
D
C
13.14.2
15.16.①③⑤
17.
(1)
………………3分
而
………………5分
(2)要证,只需证,……6分
即证,………………7分
只需证,………………8分
即,………………9分
而显然成立,故原不等式得证.………………10分
18.与平面的位置关系是平面.………………1分
证明:
在图中,连结交于,交于,则……2分
在图中,连结交于,连结.………………3分
在中,有所以
又因为面,面,………………5分
故平面.………………6分
解法一:
在图中,连结交于,连结.………………7分
图中的,即图中的所以
又所以面
又,所以面.则为二面角的平面角.………………10分
易知,则在中,,则
在中,由余弦定理,得
所以二面角得余弦值为………………12分
解法二:
以为原点,分别以的方向为轴,轴,
轴的正方向,建立如图空间直角坐标系………………7分
则,………………8分
于是………………9分
分别设平面,平面法向量为,
由得于是取,………………10分
又由得于是可取.………………11分
因为
所以二面角的余弦值为………………12分
19.
(1)∵,
∴.………………1分
由,解得或;
………………3分
由,解得,………………5分
所以的递增区间为,递减区间为.………………6分
(2)由
(1)知是的极大值点,是的极小值点,………8分
所以极大值,极小值,………………10分
又,,………………11分
所以最大值,最小值.………………12分
20.
(1)因为抛物线:
过点,
所以,解得,………………3分
所以抛物线的方程为.………………4分
(2)由抛物线的方程可知,………………5分
直线与轴交于点,………………6分
联立直线与抛物线方程,………………8分
消去可得,………………9分
所以,………………10分
所以,
所以的面积为.………………12分
21.解:
(1)由题意,设椭圆方程为(a>b>0),
且c,………………1分
2a12,………………2分
则a=6,∴b2=a2﹣c2=12.………………3分
∴椭圆C的标准方程为;
………………4分
(2)当直线AB的斜率不存在时,设直线方程为x=m,
得|AB|,
由|AB|6,解得m=±
3,………………5分
此时;
………………6分
当直线AB的斜率存在时,设直线方程为y=kx+m,
联立,得(3k2+1)x2+6kmx+3m2﹣36=0.………………7分
△=36k2m2﹣4(3k2+1)(3m2﹣36)=432k2﹣12m2+144.………………8分
设A(,),B(,),
则,.
由|AB|6,………………10分
整理得:
,原点O到AB的距离d.………11分
∴
.
当时,△AOB面积有最大值为9.………………12分
综上,△AOB面积的最大值为9.
22.
(1)因为,所以.………………1分
①当时,因为,所以在上单调递增;
……2分
②当时,令,解得或.………………3分
令,解得,………………4分
则在,上单调递增;
在上单调递减.………………5分
(2)因为,所以,
在上有零点,等价于关于的方程在上有解,
即在上有解.………………6分
因为,所以.
令,则.………………7分
令,,解得;
令,,解得,
则上单调递减,在上单调递增,………………9分
因为,,………………10分
所以,
则,,
故的取值范围为.………………12分
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