江苏专用版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用32导数的应用第2课时导数与函数的极值最值教师用书文Word格式文档下载.docx
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(2)因为f(x)在(-∞,-1)上单调递减,
且当x→-∞时,f(x)→+∞;
又f(x)在(1,+∞)上单调递减,
且当x→+∞时,f(x)→-∞;
而a+2>
a-2,即函数的极大值大于极小值,
所以当极大值等于0时,有极小值小于0,
此时曲线f(x)与x轴恰好有两个交点,
即方程f(x)=0恰好有两个实数根,
所以a+2=0,a=-2,如图1.当极小值等于0时,有极大值大于0,此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点,即方程f(x)=0恰好有两个实数根,所以a-2=0,a=2.如图2.
综上,当a=2或a=-2时方程恰好有两个实数根.
命题点3 已知极值求参数
例3
(1)若函数f(x)=在x=1处取极值,则a=________.
(2)(2016·
南京学情调研)已知函数f(x)=x3+x2-2ax+1,若函数f(x)在(1,2)上有极值,则实数a的取值范围为________.
答案
(1)3
(2)(,4)
解析
(1)∵f′(x)=()′
==,
又∵函数f(x)在x=1处取极值,
∴f′
(1)=0.
∴1+2×
1-a=0,
∴a=3.验证知a=3符合题意.
(2)方法一 令f′(x)=x2+2x-2a=0,
得x1=-1-,x2=-1+,
因为x1∉(1,2),因此则需1<
x2<
2,
即1<
-1+<
即4<
1+2a<
9,所以<
a<
4,
故实数a的取值范围为(,4).
方法二 f′(x)=x2+2x-2a的图象是开口向上的抛物线,且对称轴为x=-1,则f′(x)在(1,2)上是单调递增函数,因此解得<
思维升华
(1)求函数f(x)极值的步骤:
①确定函数的定义域;
②求导数f′(x);
③解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根;
④列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值.
(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值.
(1)函数f(x)=(x2-1)2+2的极值点是______________.
(2)函数y=2x-的极大值是________.
答案
(1)x=1或-1或0
(2)-3
解析
(1)∵f(x)=x4-2x2+3,
∴由f′(x)=4x3-4x=4x(x+1)(x-1)=0,得
x=0或x=1或x=-1.
又当x<
-1时,f′(x)<
0,
当-1<
0时,f′(x)>
当0<
1时,f′(x)>
∴x=0,1,-1都是f(x)的极值点.
(2)y′=2+,令y′=0,得x=-1.
0或x<
-1时,y′>
0时,y′<
∴当x=-1时,y取极大值-3.
题型二 用导数求函数的最值
例4 已知a∈R,函数f(x)=+lnx-1.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程;
(2)求f(x)在区间(0,e]上的最小值.
解
(1)当a=1时,f(x)=+lnx-1,x∈(0,+∞),
所以f′(x)=-+=,x∈(0,+∞).
因此f′
(2)=,即曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线斜率为.
又f
(2)=ln2-,
所以曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程为y-(ln2-)=(x-2),即x-4y+4ln2-4=0.
(2)因为f(x)=+lnx-1,
所以f′(x)=-+=,x∈(0,e].
令f′(x)=0,得x=a.
①若a≤0,则f′(x)>
0,f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时函数f(x)无最小值.
②若0<
e,则当x∈(0,a)时,f′(x)<
0,函数f(x)在区间(0,a)上单调递减;
当x∈(a,e]时,f′(x)>
0,函数f(x)在区间(a,e]上单调递增,
所以当x=a时,函数f(x)取得最小值lna.
③若a≥e,则当x∈(0,e]时,f′(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,
所以当x=e时,函数f(x)取得最小值.
综上可知,当a≤0时,函数f(x)在区间(0,e]上无最小值;
e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为lna;
当a≥e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为.
思维升华 求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a,b)内的极值;
(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b);
(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
设函数f(x)=x3--2x+5,若对任意的x∈[-1,2],都有f(x)>
a,则实数a的取值范围是________________.
答案 (-∞,)
解析 由题意知,f′(x)=3x2-x-2,
令f′(x)=0,得3x2-x-2=0,
解得x=1或x=-,
又f
(1)=,f(-)=,
f(-1)=,f
(2)=7,
故f(x)min=,∴a<
.
题型三 函数极值和最值的综合问题
例5 已知函数f(x)=(a>
0)的导函数y=f′(x)的两个零点为-3和0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值.
解
(1)f′(x)=
=.
令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,
因为ex>
0,所以y=f′(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点且f′(x)与g(x)符号相同.
又因为a>
0,所以当-3<
0时,g(x)>
0,即f′(x)>
当x<
-3或x>
0时,g(x)<
0,即f′(x)<
所以f(x)的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3),(0,+∞).
(2)由
(1)知,x=-3是f(x)的极小值点,
所以有
解得a=1,b=5,c=5,
所以f(x)=.
因为f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞),
所以f(0)=5为函数f(x)的极大值,
故f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值取f(-5)和f(0)中的最大者,而f(-5)==5e5>
5=f(0),
所以函数f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值是5e5.
思维升华 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时,方法是不同的.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.
若函数f(x)=x3+x2-在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数a的取值范围是________.
答案 [-3,0)
解析 由题意,得f′(x)=x2+2x=x(x+2),
故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函数,
在(-2,0)上是减函数,作出其图象如图所示,
令x3+x2-=-,得x=0或x=-3,
则结合图象可知,解得a∈[-3,0).
3.利用导数求函数的最值
典例 (16分)已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a>
0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
思维点拨
(1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求f′(x)>
0,f′(x)<
0的解区间,并注意定义域.
(2)先研究f(x)在[1,2]上的单调性,再确定最值是端点值还是极值.(3)两小问中,由于解析式中含有参数a,要对参数a进行分类讨论.
规范解答
解
(1)f′(x)=-a(x>
0),
①当a≤0时,f′(x)=-a>
0,即函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).[2分]
②当a>
0时,令f′(x)=-a=0,可得x=,
时,f′(x)=>
时,f′(x)=<
故函数f(x)的单调递增区间为,
单调递减区间为.[6分]
综上可知,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
当a>
0时,函数f(x)的单调递增区间为,
单调递减区间为.[7分]
(2)①当≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以f(x)的最小值是f
(2)=ln2-2a.[9分]
②当≥2,即0<
a≤时,函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,所以f(x)的最小值是f
(1)=-a.
[11分]
③当1<
<
2,即<
1时,函数f(x)在上是增函数,在上是减函数.又f
(2)-f
(1)=ln2-a,
所以当<
ln2时,最小值是f
(1)=-a;
当ln2≤a<
1时,最小值为f
(2)=ln2-2a.[14分]
综上可知,
ln2时,函数f(x)的最小值是-a;
当a≥ln2时,函数f(x)的最小值是ln2-2a.[16分]
用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题
第一步:
(求导数)求函数f(x)的导数f′(x);
第二步:
(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值;
第三步:
(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值;
第四步:
(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较,确定f(x)的最大值与最小值;
第五步:
(反思)反思回顾,查看关键点,易错点和解题规范.
1.函数f(x)=x3-4x+4的极大值为________.
答案
解析 f′(x)=x2-4=(x+2)(x-2),
f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,2)上单调递减,
在(2,+∞)上单调递增,所以f(x)的极大值为f(-2)=.
2.(2016·
四川改编)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=________.
答案 2
解析 ∵f(x)=x3-12x,∴f′(x)=3x2-12,
令f′(x)=0,得x1=-2,x2=2.
当x∈(-∞,-2),(2,+∞)时,f′(x)>
0,则f(x)单调递增;
当x∈(-2,2)时,f′(x)<
0,则f(x)单调递减,
∴f(x)的极小值点为a=2.
3.若函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为________.
答案 -71
解析 f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).
由f′(x)=0,得x=3或x=-1.
又f(-4)=k-76,f(3)=k-27,
f(-1)=k+5,f(4)=k-20.
由f(x)max=k+5=10,得k=5,
∴f(x)min=k-76=-71.
4.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是________________.
答案 (-∞,-3)∪(6,+∞)
解析 ∵f′(x)=3x2+2ax+(a+6),
由已知可得f′(x)=0有两个不相等的实根.
∴Δ=4a2-4×
3(a+6)>
0,即a2-3a-18>
∴a>
6或a<
-3.
5.设函数f(x)满足x2f′(x)+2xf(x)=,f
(2)=,则下面关于当x>
0时,f(x)的极值说法正确的是________.
①有极大值,无极小值;
②有极小值,无极大值;
③既有极大值又有极小值;
④既无极大值也无极小值.
答案 ④
解析 由题意知[x2f(x)]′=,
令g(x)=x2f(x),则g′(x)=且f(x)=,
因此f′(x)==.
令h(x)=ex-2g(x),
则h′(x)=ex-2g′(x)=ex-=,
所以当x>
2时,h′(x)>
2时,h′(x)<
从而有h(x)≥h
(2)=0,即f′(x)≥0,
0时,f(x)是单调递增的,
故f(x)既无极大值也无极小值.
6.(2016·
南京模拟)已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax(a>
),当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a=________.
答案 1
解析 由题意知,当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1.
令f′(x)=-a=0,得x=,
时,f′(x)>
时,f′(x)<
∴f(x)max=f()=-lna-1=-1,
解得a=1.
7.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则f
(2)=________.
答案 18
解析 ∵函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,f′(x)=3x2+2ax+b,
∴f
(1)=10,且f′
(1)=0,
即解得或
而当时,函数在x=1处无极值,故舍去.
∴f(x)=x3+4x2-11x+16,∴f
(2)=18.
8.函数f(x)=x3-3a2x+a(a>
0)的极大值是正数,极小值是负数,则a的取值范围是________.
答案 (,+∞)
解析 f′(x)=3x2-3a2=3(x+a)(x-a),
由f′(x)=0得x=±
a,
当-a<
a时,f′(x)<
0,函数递减;
a或x<
-a时,f′(x)>
0,函数递增.
∴f(-a)=-a3+3a3+a>
0且f(a)=a3-3a3+a<
解得a>
.∴a的取值范围是(,+∞).
9.(2016·
徐州模拟)已知函数f(x)=x3-x2-x+m在[0,1]上的最小值为,则实数m的值为________.
解析 由f(x)=x3-x2-x+m,
可得f′(x)=x2-2x-1,
令x2-2x-1=0,可得x=1±
当x∈(1-,1+)时,f′(x)<
即函数f(x)在(1-,1+)上是减函数,
即f(x)在[0,1]上的最小值为f
(1),
所以-1-1+m=,解得m=2.
10.(2016·
南京模拟)已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m∈[-1,1],则f(m)的最小值为________.
答案 -4
解析 f′(x)=-3x2+2ax,由f(x)在x=2处取得极值知f′
(2)=0.
即-3×
4+2a×
2=0,故a=3.
由此可得f(x)=-x3+3x2-4.
f′(x)=-3x2+6x,由此可得f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,
∴对m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.
11.已知函数f(x)=xlnx.若对于任意x∈[,e],不等式2f(x)≤-x2+ax-3恒成立,则实数a的取值范围为__________________.
答案 [-2++3e,+∞)
解析 由题意知,2xlnx≤-x2+ax-3,则a≥2lnx+x+.设h(x)=2lnx+x+(x>0),则h′(x)=+1-=.当x∈[,1)时,h′(x)<
0,h(x)单调递减;
当x∈(1,e]时,h′(x)>
0,h(x)单调递增.由h()=-2++3e,h(e)=2+e+,h()-h(e)=2e--4>
0,可得h()>
h(e).所以当x∈[,e]时,h(x)的最大值为h()=-2++3e.故a≥-2++3e.
12.设f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).
(1)确定a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
解
(1)因为f(x)=a(x-5)2+6lnx,
所以f′(x)=2a(x-5)+.
令x=1,得f
(1)=16a,f′
(1)=6-8a,
所以曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为
y-16a=(6-8a)(x-1),
由点(0,6)在切线上,可得6-16a=8a-6,故a=.
(2)由
(1)知,f(x)=(x-5)2+6lnx(x>
f′(x)=x-5+=.
令f′(x)=0,解得x=2或3.
2或x>
3时,f′(x)>
故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数;
当2<
3时,f′(x)<
0,故f(x)在(2,3)上为减函数.
由此可知f(x)在x=2处取得极大值f
(2)=+6ln2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln3.
综上,f(x)的单调递增区间为(0,2),(3,+∞),单调递减区间为(2,3),f(x)的极大值为+6ln2,极小值为2+6ln3.
13.已知函数f(x)=ax2+bx-lnx(a>
0,b∈R).
(1)设a=1,b=-1,求f(x)的单调区间;
(2)若对任意的x>
0,f(x)≥f
(1),试比较lna与-2b的大小.
解
(1)由f(x)=ax2+bx-lnx,x∈(0,+∞),
得f′(x)=.
∵a=1,b=-1,
∴f′(x)==(x>
0).
令f′(x)=0,得x=1.
0,f(x)单调递减;
0,f(x)单调递增.
∴f(x)的单调递减区间是(0,1);
单调递增区间是(1,+∞).
(2)由题意可知,f(x)在x=1处取得最小值,
即x=1是f(x)的极值点,
∴f′
(1)=0,∴2a+b=1,即b=1-2a.
令g(x)=2-4x+lnx(x>
0),则g′(x)=.
令g′(x)=0,得x=.
时,g′(x)>
0,g(x)单调递增,
时,g′(x)<
0,g(x)单调递减,
∴g(x)≤g()=1+ln
=1-ln4<
∴g(a)<
0,即2-4a+lna=2b+lna<
故lna<
-2b.
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