函数的定义域教案Word文档格式.docx
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数复合而成?
解析:
(1)自变量x需满足3-2x-x20得-3x1
∴函数的定义域为(-3,1)
(2)自变量x需满足2x-10即(2x-1)(x-3)03-x
解得1x3∴函数的定义域为(1,3)22
(3)自变量x需满足3-x≥0且3x+7≠0解不等式组得函数定义域为(-∞,-7)(-7,3)33
七、总结标杆题
如果没有标明定义域,则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围;
求复合函数的定义域时,首先应观察函数是由哪些初等函数复合而成的,然后将复合函数分解为一些初等函数,根据初等函数求定义域的方法,列出使函数有意义的不等式(组),其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集。
注意:
结果务必写成集合或区间形式。
八、类比训练
(1)y=x+1x-3
(2)y=x-3+lg(x-5)
通过学生的探究,找出与标杆题的异同及其解题方法与规律
九、巩固练习
1、y=x-2)
x2、y=x+-x
十、提升练习:
求函数y=(x-2)0
-x+2x+32+lgx的定义域
十一、课堂小结
函数的定义域是研究函数及应用函数解决问题的基础,处理函数问题时必须树立定义域优先的原则,若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集。
求定义域的基本步骤应熟练掌握。
十二、作业
十三、教学反思
【篇二:
函数定义域求法教案】
函数定义教案
一,函数定义
1.函数的概念:
设a、b是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
a→b为从集合a到集合b的一个函数。
记作:
y=f(x),x∈a。
其中,x叫做自变量,x的取值范围a叫做函数的定义域;
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈a}叫做函数的值域。
注意:
(1)“y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”;
(2)函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值,一个数,而不是f乘x
2.构成函数的三要素:
定义域、对应关系和值域
(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式:
①自然型:
指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如:
分式函数的分母不为零,偶次根式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数,等等);
②限制型:
指命题的条件或人为对自变量x的限制,这是函数学习中重点,往往也是难点,因为有时这种限制比较隐蔽,容易犯错误;
③实际型:
解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量x的实际意义。
(2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题
①配方法(将函数转化为二次函数);
②判别式法(将函数转化为二次方程);
③不等式法(运用不等式的各种性质);
④函数法(运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、函数图象等)。
3.两个函数的相等:
函数的定义含有三个要素,即定义域a、值域c和对应法则f。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定。
因此,定义域和对应法则为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数。
4.区间
(1)区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间;
(2)无穷区间;
(3)区间的数轴表示
5.映射的概念
一般地,设a、b是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合a中的任意一个元素x,在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
a?
b为从集合a到集合b的一个映射。
记作“f:
b”。
函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种的对应就叫映射。
(1)这两个集合有先后顺序,a到b的射与b到a的映射是截然不同的.其中f表示具体的对应法则,可以用汉字叙述。
(2)“都有唯一”什么意思?
包含两层意思:
一是必有一个;
二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思
1
6.常用的函数表示法
(1)解析法:
就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式;
(2)列表法:
就是列出表格来表示两个变量的函数关系;
(3)图象法:
就是用函数图象表示两个变量之间的关系
7.分段函数
若一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的解析式不同,这种函数又称分段函数;
8.复合函数
若y=f(u),u=g(x),x?
(a,b),u?
(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数,u称为中间变量,它的取值范围是g(x)的值域
二.典例解析
题型1:
函数概念
?
x2?
4x?
6,x?
0例1.设函数f(x)?
?
则不等式f(x)?
f
(1)的解集是()x?
0?
a.(?
3,1)?
(3,?
)
c.(?
1,1)?
b.(?
(2,?
)d.(?
?
3)?
(1,3)
3x,x?
1,变式题:
1已知函数f(x)?
若f(x)?
2,则x?
.
x,x?
1,
例2.
(1)函数f?
x?
对于任意实数x满足条件f?
2?
1,若f?
1?
5,则fxf?
f?
5?
__________;
题型二:
判断两个函数是否相同
例3.试判断以下各组函数是否表示同一函数?
(1)f(x)=x2,g(x)=x3;
(2)f(x)=x?
0,?
1|x|,g(x)=?
1x?
0;
2
(3)f(x)=2nx2n?
1,g(x)=(2nx)2n1(n∈n*);
-
(4)f(x)=x
(5)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1。
三,求函数的定义域的类型:
一、含分式的函数
在求含分式的函数的定义域时,要注意两点:
(1)分式的分母一定不能为0;
(2)绝对不能先化简后求函数定义域。
x?
1,g(x)=x2?
x;
x2?
1例1求函数f(x)=的定义域.x?
1
二、含偶次根式的函数
注意
(1)求含偶次根式的函数的定义域时,注意偶次根式的被开方数不小于0,通过求不等式来求其定义域;
(2)在研究函数时,常常用到区间的概念,它是数学中常用的术语和符号,注意区间的开闭情况.
例1求函数y=ax?
3(a为不等于0的常数)的定义域.
三、复合型函数
注意函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的,则它的定义域是各基本函数定义域的交集,通过列不等式组来实现.
例1求函数y=3x?
2+
练习:
1.求下列函数的定义域
(1)y?
1;
2(x?
3)02x?
3的定义域.
(2)y?
2;
4
3
(3)y?
|x|
(4
)y;
2(6
)y?
(a为常数).(5
)y1;
|x|?
3
2.
(1)已知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(x2)的定义域.
(2)已知函数f(2x+1)的定义域为(0,1),求f(x)的定义域.
(3)已知函数f(x+1)的定义域为[–2,3],求f(2x2–2)的定义域.
抽象函数
例1.设函数
(1)函数
(2)函数
练习
1已知f(x)的定义域为[1,3],求f(x-1)的定义域.
2已知函数f(x)的定义域为(0,1),则函数f(x?
1)的定义域是________。
2x3设函数y?
f(x)的定义域为a?
[4,?
),给出下列函数:
y?
f(2x?
4),y?
f),4
16y?
f(x),y?
f(),其定义域仍是a的有()x
a.1个b.2个c.3个d.4个的定义域,求的定义域为的定义域。
的定义域为的定义域,,则中,从中解得的取值,则的定义域为________。
的定义域为__________。
12
4.(江西卷3)若函数y?
f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)?
f(2x)的定义域是bx?
a.[0,1]b.[0,1)c.[d.(0,1)0,1)(1,4]
(二)、已知的定义域,求的定义域。
4
其解法是:
若定义域。
例2.已知函数的定义域为,则的定义域为________。
的定义域为,则由确定的范围即为的练习
1已知函数f(2,则函数f(x)的定义域是________。
4)的定义域为(0,1)
2,已知f(2x-1)的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域
(三)、已知其解法是:
可先由定义域。
例3.函数定义域是,则的定义域是()的定义域,求定义域求得的定义域。
的定义域,再由的定义域求得的
a.
b.
c.
d.
1函数f(2x-1)的定义域为[1,3],求函数f(x2+1)的定义域.
2已知f(2x-1)定义域为[0,1],求f(3x)的定义域
5
【篇三:
教案函数定义域和值域】
函数定义域和值域解法归纳
一、教学目标
1、通过不同的生活实例帮助学生建立函数概念的背景,理解函数是描述两个变量之间的依
赖关系的重要数学模型,从而正确理解函数的概念。
2、能用集合与对应的语言来刻画函数,了解构成函数的三个要素。
3、通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动,培养抽象概括能力。
4、通过创设实际例子的情景,让学生接近现实生活,关注社会实际;
培养学生的语言表达能力,团结协作精神。
二、教学重难点
重点:
体会函数是描述两个变量之间的依赖关系的重要数学模型,从集合的观点正确理解函数的概念。
难点:
函数概念及对符号y=f(x)意义的理解。
三、基础知识
1、函数的定义域和值域:
(1)概念:
略
(2)函数的定义域的常用求法:
①分式的分母不等于零;
②偶次方根的被开方数大于等于零;
③对数的真数大于零;
④指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;
中;
⑥如果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义确定其取
值范围。
2、求函数的解析式的常用求法:
(1)、定义法;
(2)、换元法;
(3)、待定系数法;
(4)、函数方程法;
(5)、参数法;
(6)、配方法
3、求函数值域的常用方法:
(1)、换元法;
(2)、配方法;
(3)、判别式法;
(4)、几何法;
(5)、不等式法;
(6)、单调性法;
7、直接法4、求函数最值得常用方法:
(1)、配方法;
(3)、不等式法;
(5)、单调性法5、函数单调性的常用结论:
(1)、若f(x),g(x)均为某区间上的增(减)函数,则f(x)+g(x)在这个区间上也为增(减)函数
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(k∈z);
余切函数y=cotx
(2)、若f(x)为增(减)函数,则-f(x)为减(增)函数
(3)、若f(x)与g(x)的单调性相同,则y=f[g(x)]是增函数;
若f(x)与g(x)的单调性不同,则y=f[g(x)]是减函数。
(4)、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。
(5)、常用函数的单调性解答:
比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。
6、函数奇偶性的常用结论:
(1)、如果一个奇函数在x=0处有定义,则f(0)=0,如果一个函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数,则f(x)=0(反之不成立)
(2)、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;
之积(商)为偶函数。
(3)、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。
(4)、两个函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函数就是偶函数;
当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。
(5)、若函数f(x)的定义域关于原点对称,则f(x)可以表示为
11
f(x)=[f(x)+f(-x)]+[f(x)-f(-x)],该式的特点是:
右端为一个奇函数
22
和一个偶函数的和。
四、典型例题
(一)、一种特殊的对应:
映射
(1)
(2)(3)(4)
1.对于集合a中的每一个元素,在集合b中都有一个(或几个)元素与此相对应。
2.对应的形式:
一对多(如①)、多对一(如③)、一对一(如②、④)
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3.映射的概念(定义):
强调:
两个“一”即“任一”、“唯一”。
4.注意映射是有方向性的。
5.符号:
f:
aa到集合b的映射。
6.讲解:
象与原象定义。
再举例:
a={1,2,3,4}b={3,4,5,6,7,8,9}法则:
乘2加1是映射2?
a=nb={0,1}法则:
b中的元素x除以2得的余数是映射3?
a=zb=n
*
+
法则:
求绝对值不是映射(a中没有象)
4?
a={0,1,2,4}b={0,1,4,9,64}法则:
aa-1)是映射
一一映射
观察上面的例图
(2)得出两个特点:
1?
对于集合a中的不同元素,在集合b中有不同的象(单射)2?
集合b中的每一个元素都是集合a中的每一个元素的象(满射)即集合b中的每一个元素都有原象。
从映射的观点定义函数(近代定义):
函数实际上就是集合a到集合b的一个映射f:
abb非空。
2?
a:
定义域,原象的集合
b:
值域,象的集合(c)其中c?
bf:
对应法则x∈ay∈b
3?
函数符号:
y=f(x)——y是x的函数,简记f(x)
函数的三要素:
对应法则、定义域、值域
只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数。
例:
判断下列各组中的两个函数是否是同一函数?
为什么?
1.y1=
(x+3)(x-5)
x+3
y2=x-5解:
不是同一函数,定义域不同
2。
y1=x+1x-1y2=(x+1)(x-1)解:
3。
f(x)=xg(x)=
x2
解:
不是同一函数,值域不同
4.f(x)=xf(x)=x3
是同一函数
5.f1(x)=(2x-5)2f2(x)=2x-5解:
不是同一函数,定义域、值域都不同
(二)、关于复合函数
设f(x)=2x-3g(x)=x+2则称f[g(x)](或g[f(x)])为复合函数。
f[g(x)]=2(x+2)-3=2x+1g[f(x)]=(2x-3)+2=4x-12x+11例:
已知:
f(x)=x-x+3求:
f(解:
f(
)f(x+1)x
112122
)=()-+3f(x+1)=(x+1)-(x+1)+3=x+x+3xxx
(三)函数定义域、值域、解析式的求解方法1.函数定义域的求法
一、函数的定义域
1.函数定义域的求解方法
求函数的定义域主要是通过解不等式(组)或方程来获得.一般地,我们约定:
如果不加说明,所谓函数的定义域就是自变量使函数解析式有意义的实数的集合.
(1)若f(x)是整式,则定义域为全体实数.
(2)若f(x)是分式,则定义域为使分母不为零的全体实数.(3)若f(x)是偶次根式,则定义域为使被开方式为非负的全体实数.
(4)若f(x)为复合函数,则定义域由复合的各基本的定义域所组成的不等式组确定.如:
f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出.
(5)由实际问题确定的函数,其定义域由自变量的实际意义确定.
1.复合函数的定义域。
如:
已知函数f(x)的定义域为(1,3),则函数f(x)=f(x-1)+f(2-x)的定义域。
x-1∈(1,3)?
2-x∈(1,3)
2.函数f(x)的定义域为(a,b),函数g(x)的定义域为(m,n),
g(x)∈(a,b)?
x∈(m,n),解不等式,最后结果才是f[g(x)]则函数的定义域为?
3.这里最容易犯错的地方在这里:
已知函数f(x-1)的定义域为(1,3),求函数f(x)的定义域;
或者说,已知函数f(x-1)
的定义域为(3,4),
则函数f(2x-1)的定义域为______?
2.函数值域的求法
函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,
对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧.
(1)、直接观察法对于一些比较简单的函数,如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。
y=
例求函数
x∈[1,2]x的值域
(2)、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
y=x-2x+5,x∈r的值域。
例、求函数
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