3.(2015·北京改编)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是__________________.
答案 (x-1)2+(y-1)2=2
解析 ∵圆的半径r==,
∴圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
4.(教材改编)圆C的圆心在x轴上,并且过点A(-1,1)和B(1,3),则圆C的方程为______________.
答案 (x-2)2+y2=10
解析 设圆心坐标为C(a,0),
∵点A(-1,1)和B(1,3)在圆C上,∴CA=CB,
即=,
解得a=2,∴圆心为C(2,0),
半径CA==,
∴圆C的方程为(x-2)2+y2=10.
5.(2015·湖北)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且AB=2.
(1)圆C的标准方程为__________________;
(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________.
答案
(1)(x-1)2+(y-)2=2
(2)--1
解析
(1)由题意,设圆心C(1,r)(r为圆C的半径),则r2=2+12=2,解得r=.
所以圆C的方程为(x-1)2+(y-)2=2.
(2)方法一 令x=0,得y=±1,所以点B(0,+1).又点C(1,),所以直线BC的斜率为kBC=-1,所以过点B的切线方程为y-(+1)=x-0,即y=x+(+1).
令y=0,得切线在x轴上的截距为--1.
方法二 令x=0,得y=±1,所以点B(0,+1).又点C(1,),设过点B的切线方程为y-(+1)=kx,即kx-y+(+1)=0.由题意,圆心C(1,)到直线kx-y+(+1)=0的距离d==r=,解得k=1.故切线方程为x-y+(+1)=0.令y=0,得切线在x轴上的截距为--1.
题型一 求圆的方程
例1 根据下列条件,求圆的方程.
(1)经过P(-2,4)、Q(3,-1)两点,并且在x轴上截得的弦长等于6;
(2)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:
x+y-1=0相切于点P(3,-2).
解
(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
将P、Q两点的坐标分别代入得
又令y=0,得x2+Dx+F=0.③
设x1,x2是方程③的两根,
由|x1-x2|=6有D2-4F=36,④
由①②④解得D=-2,E=-4,F=-8,或D=-6,E=-8,F=0.
故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0,或x2+y2-6x-8y=0.
(2)方法一 如图,设圆心(x0,-4x0),依题意得=1,
∴x0=1,即圆心坐标为(1,-4),半径r=2,
故圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.
方法二 设所求方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,
根据已知条件得
解得
因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.
思维升华
(1)直接法:
根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;
②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D、E、F的方程组,进而求出D、E、F的值.
(1)(2014·陕西)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为____________.
(2)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为________________.
答案
(1)x2+(y-1)2=1
(2)(x-3)2+y2=2
解析
(1)由题意知圆C的圆心为(0,1),半径为1,所以圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1.
(2)由已知kAB=0,
所以AB的中垂线方程为x=3.①
过B点且垂直于直线x-y-1=0的直线方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0,②
联立①②,
解得
所以圆心坐标为(3,0),
半径r==,
所以圆C的方程为(x-3)2+y2=2.
题型二 与圆有关的最值问题
命题点1 斜率型最值问题
例2 已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0,则的最大值为________,最小值为________.
答案 -
解析 如图,方程x2+y2-4x+1=0表示以点(2,0)为圆心,以为半径的圆.
设=k,即y=kx,
则圆心(2,0)到直线y=kx的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值.
由=,解得k2=3,
∴kmax=,kmin=-.
(也可由平面几何知识,得OC=2,CP=,∠POC=60°,直线OP的倾斜角为60°,直线OP′的倾斜角为120°)
命题点2 截距型最值问题
例3 在例2条件下,求y-x的最小值和最大值.
解 设y-x=b,则y=x+b,仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时,截距b取最小值,由点到直线的距离公式,得=,即b=-2±,
故(y-x)min=-2-,
(y-x)max=-2+.
命题点3 距离型最值问题
例4 在例2条件下,求x2+y2的最大值和最小值.
解 x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图).
又因为圆心到原点的距离为=2,
所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4,
x2+y2的最小值为(2-)2=7-4.
思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解.
(2)与圆上点(x,y)有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如u=型的最值问题,可转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题;②形如t=ax+by型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;③形如(x-a)2+(y-b)2型的最值问题,可转化为动点到定点(a,b)的距离平方的最值问题.
(1)设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则PQ的最小值为________.
答案 4
解析 PQ的最小值为圆心到直线的距离减去半径.因为圆的圆心为(3,-1),半径为2,所以PQ的最小值d=3-(-3)-2=4.
(2)已知M为圆C:
x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).
①求MQ的最大值和最小值;
②若M(m,n),求的最大值和最小值.
解 ①由圆C:
x2+y2-4x-14y+45=0,
可得(x-2)2+(y-7)2=8,
所以圆心C的坐标为(2,7),半径r=2.
又QC==4.
所以MQmax=4+2=6,
MQmin=4-2=2.
②可知表示直线MQ的斜率,
设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0,则=k.
由直线MQ与圆C有交点,
所以≤2,
可得2-≤k≤2+,
所以的最大值为2+,最小值为2-.
题型三 与圆有关的轨迹问题
例5 设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM、ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.
解 如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为,线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分,
故=,=.从而
又N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4.
因此所求轨迹为圆:
(x+3)2+(y-4)2=4,
但应除去两点和(点P在直线OM上的情况).
思维升华 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:
①直接法:
直接根据题目提供的条件列出方程.
②定义法:
根据圆、直线等定义列方程.
③几何法:
利用圆的几何性质列方程.
④代入法:
找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.
已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.
解
(1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y).
因为P点在圆x2+y2=4上,
所以(2x-2)2+(2y)2=4,
故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
(2)设PQ的中点为N(x,y),连结BN.
在Rt△PBQ中,PN=BN.
设O为坐标原点,连结ON,则ON⊥PQ,
所以OP2=ON2+PN2=ON2+BN2,
所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
19.利用几何性质巧设方程求半径
典例 在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上,求圆C的方程.
思维点拨 本题可采用两种方法解答,即代数法和几何法.
规范解答
解 一般解法 (代数法)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0),(3-2,0),设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
则有解得
故圆的方程是x2+y2-6x-2y+1=0.
巧妙解