鲁教版七年级上册数学第一章《三角形》导学案Word下载.docx
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例5如图,已知
000
A60,B30,C20,求BOC的度数。
O
CB
如图在锐角三角形ABC中,BE、CD分别垂直AC、AB,若
A40,求BHC的度数。
D
HE
C
B
第2页共27页
拓展:
1、如图所示,求ABCDE的度数。
ED
H
2、如图在△ABC中,已知A1,2B,ABCACB,求ACB的度数。
2
1
回顾小结:
1、三角形的三个内角的和等于180°
;
2、三角形按角分为三类:
(1)锐角三角形
(2)直角三角形(3)钝角三角形
3、直角三角形的两个锐角互余
第3页共27页
1.2认识三角形
(2)
一、学习目标:
1、通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发掌空间观念、推理能力和
有条理地表达能力;
2、结合具体实例,进一步认识三角形的概念及其基本要素,掌握三角形三边关系:
“三角
形任意两边之和大于第三边;
三角形任意两边之差小于第三边”。
二、学习重点:
三角形三边关系:
“三角形任意两边之和大于第三边;
三角形任意两边之差小
于第三边”。
三、学习难点:
灵活运用三角形三边关系解决一些实际问题。
四、学习设计
(一)预习准备
(1)预习书7-9页
(2)思考①什么叫三角形?
②三角形的基本构造③三角形的三边关系
(3)预习作业:
如图,已知AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,点F是AE的中点,则图
F
中有个三角形,个直角三角形,个锐角三角形,
E
个钝角三角形;
以B为内角的三角形有个,它们分别
是;
以BE为一边的三角形
是。
(二)学习过程
DC
1、三角形的有关概念
(1)三角形的定义:
由不在上的三条线段首尾相连所组成的图形。
(2)三角形的基本构造:
①组成三角形的三条线段叫做三角形的
②两条边相接的点叫做三角形的
③相邻两边组成的角叫做三角形的
2、三角形的三边关系:
(1)三角形任意两边之和第三边
(2)三角形任意两边之差第三边
FG
例1图中共有几个三角形?
并把它们用符号表示出来。
E
例2下面各组数分别表示三条线段的长度,试判断以它们为边是否能组成三角形。
(1)1;
4;
5
(2)3;
3;
5
(3)3x;
5x;
7x(x为正数)(4)三条线段长度之比为4:
7:
6
有下列长度的三条线段能否构成三角形?
为什么?
(1)3;
8
(2)5;
6;
11(3)5;
7;
10
(4)4;
9(5)5;
5;
例3小明要制作一个三角形铁丝架,已知有两根铁丝长度分别是3cm,5cm
(1)他该如何选择第三根铁丝?
你能帮助小明确定它的长度或范围吗?
(2)如果要求第三根铁丝的长度是整数,那么小明有几种选择?
第4页共27页
1、已知两条线段的长为5cm和8cm,要订成一个三角形,试求:
(1)第三条线段的长度范围;
(2)若第三条线段的长度为奇数,求此时三角形的周长。
2、已知等腰三角形中,有两边长为3和7,求此等腰三角形的底边和腰长
例4如图所示,在小河的同侧有A,B,C三个村庄,图中的线段表示道路,某邮递员从A村送信到B村,
总是走经过C村的道路,不走经过D村的道路,这是为什么呢?
请利用你所学的数学知识加以证明。
1、若设a,b,c是△ABC的三边,则abcabc=
2、已知a,b,c是△ABC的三边,a2,b5,且三角形的周长是偶数,
(1)求c的值;
(2)判断△ABC
的形状。
掌握三角形三边关系:
“三角形任意两边之和大于第三边;
第5页共27页
1.3认识三角形(3)
1、通过观察、想象、推理、交流等活动,发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力;
2、了解三角形的角平分线、中线、高线,并能在具体的三角形中作出高线。
学习重点:
1、角平分线的概念
2、三角形的中线、高线。
学习难点:
高线的画法以及三个定义做计算
(1)预习书10-13
(2)思考:
什么是三角形的角平分线?
中线?
高线?
(3)预习作业
画出下图三角形的三条高
1、在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做
2、在三角形中,的线段,叫做这个三角形的中线。
3、从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,之间的线段叫做三角形的高。
例1
(1)如图1,D为S△ABC的变BC边的中点,若S
△ADC=15,那么S△ABC=
(2)如图2,已知AD、BE分别是△ABC中BC、AC边上的高,若
C70,120,那么2
AA
BDCBC
图1图2
如图在△ABC中,BD平分
ABC,C66,ABD24,那么A=
第6页共27页
例2如图,已知在△ABC中,ABC与ACB的平分线交于点O,
试说明:
(1)
01
BOC180(ABCACB)
(2)
01
BOC90A
2
BC
如图在△ABC中,已知I是△ABC三个内角平分线的交点,
I
BIC130,则BAC为()
A、40°
B、50°
C、65°
D、80°
例3如图,已知在△ABC中,CF、BE分别是AB、AC边上的中线,若AE=2,AF=3,且△ABC的
周长为15,求BC的长。
如图,在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD把三角形的周长分为12和15两部分,
求△ABC各边的长。
第7页共27页
1、
(1)如图,若AD为△ABC底边BC的中线,则
S==
ABD
;
(2)两个等底(同底)三角形面积之比等于它们的之比;
两个等高(同高)三角形面积之比等于它
们的之比;
(3)如图,在四边形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,DF=FC,CE=2EB。
已知,四边形(其中n>
m),则SABCD
SmSn
四边形=
SDFAECF
2、如图1在△ABC中,AD⊥BC于点D,AE平分BAC(CB)
(1)试探究EAD与C,B的关系;
EDC
图1
(2)若F是AE上一动点
①若F移动到AE之间的位置时,FD⊥BD,如图2所示,此时EFD与C与B的关系如何?
②当F继续移动到AE延长线上时,如图3所示FD⊥BC,①中的结论是否还成立,如果成立说明理
由,如果不成立,写出新的结论。
A
图2
F图3
(1)三角形的角平分线、中线、高线的定义;
(2)三角形的角平分线、中线、高线是线段.
第8页共27页
1.4图形的全等
1.了解全等图形、全等多边形、全等三角形.
2.平移、旋转、翻折等图形基本运动对全等图形的影响.
3.掌握全等多边形性质与识别方法,全等三角形的性质.
4.简单应用全等多边形性质、全等三角形的性质解决实际问题.
二、学习重点:
全等多边形的性质与识别方法;
全等三角形的性质应用.
三、学习难点:
平移、旋转、翻折等图形基本运动对全等图形的影响.
四、学习设计:
(一)引入
观察教材P15图1-23几组图形。
(二)学习过程
阅读课本P16-17填空:
_________________两个图形就是全等图形。
全等图形的________和______
都相同。
下面,我们看看图形的运动对全等图形有何影响?
活动请同学们在方格纸中任意画一个多边形,先将这个多边形沿某一方向平移一定距离(与原图形无
重叠);
再将原多边形绕形外一点顺时针(或逆时针)旋转一定角度(与原图形无重叠);
然后将原图形沿形
外某格线对称;
最后将这些图形剪下来,将其叠合.你能发现什么?
通过这个活动过程,说明了什么问题?
说明图形经过平移、旋转、翻折的图形运动,位置发生了变化,但形状和大小却没有改变,图形运动
前后的两个图形是全等的;
反过来,也就是说,两个全等的图形经过图形运动一定能重合.
请你说说什么是全等多边形?
什么是全等多边形的对应顶点、对应角、对应边?
你认为全等多边形有何
特征?
全等多边形对应边、对应角分别相等.
如图1,四边形ABCD与四边形EFGH全等,可记为
四边形ABCD≌四边形EFGH,请指出对应顶点、对应角、
对应边.
全等多边形的识别方法:
如果两个多边形对应边、
对应角分别相等,那么这两个多边形全等.
三角形是特殊的多边形,所以,全等三角形的对应边、对应角分别相等;
如果两个三角形的___________、__________分别相等,那么这两个三角形全等.
例1如图2,已知将△ABC绕其顶点A顺时针方向旋转
20°
后得到△ADE.
(1)△ABC与△ADE的关系如何?
(2)求∠BAD的度数.
分析:
将△ABC绕其顶点A旋转得到△ADE,故△ADE是由△ABC
旋转得到的,若将△ADE逆时针方向旋转20°
,则能与△ABC重合,
所以△ABC与△ADE是全等的.由学生自主思考、分析解答.
探索:
请同学们将两张纸叠起来,剪下两个全等三角形,然后
将叠合的两个三角形纸片放在桌面上,从平移、旋转、对称几个方面进行摆放,看看两个三角形有一些怎
样的特殊位置关系?
并画出这些位置关系的代表性图形.
第9页共27页
1.5探索三角形全等的条件
(1)
1.经历探索三角形全等的“边边边”的条件的过程.
2.了解三角形的稳定性.
3.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、?
归纳获得数学结论的过程.
三角形全等的条件.
寻求三角形全等的条件
四、学习设计:
(一)、预习准备
(1)回忆前面研究过的全等三角形.
(2)预习课本P19-21
(二)、学习过程
已知△ABC≌△A′B′C′,找出其中相等的边与角.
A'
B'
C'
图中相等的边是:
AB=A′B、BC=B′C′、AC=A′C.
相等的角是:
∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′.
(1)提出问题:
你能画一个三角形与它全等吗?
怎样画?
(提示:
可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数,再作出一个三角形使它的边、角分别和已
知的三角形纸片的对应边、对应角相等.这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等).
这是利用了全等三角形的定义来作图.那么是否一定需要六个条件呢?
条件能否尽可能少呢?
现在我
们就来探究这个问题.
(2)小明家衣橱上两块全等的三角形玻璃装饰物,其中一块被打碎了,妈妈让小明快速配一块回来,
如果只有一把尺子,小明该怎么办?
讨论下面几种情况:
1.给一个条件:
只给定一条边时:
只给定一个角时:
第10页共27页
2.给出两个条件可能是:
①一边一内角;
②两内角;
③两边.
①
30
30
3cm
3cm
②30503050
4cm4cm③
6cm
6cm
可以发现按这些条件画出的三角形都_______________保证一定全等.给出三个条件画三角形,你能
说出有几种可能的情况吗?
归纳:
有四种可能.即:
三内角、三条___、两边一内角、两_____一边.
在刚才的探索过程中,我们已经发现三内角不能保证三角形全等.下面我们就来逐一探索其余的三种情况.
已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm.你能画出这个三角形吗?
把你画的三角形剪下与
同伴画的三角形进行比较,它们全等吗?
1.作图方法:
先画一线段AB,使得AB=6cm,再分别以A、B为圆心,8cm、10cm为半径画弧,?
两弧交点记作C,连
结线段AC、BC,就可以得到三角形ABC,使得它们的边长分别为AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm.
2.以小组为单位,把剪下的三角形重叠在一起,发现都能够重合.?
这说明这些三角形都是全等的.
这反映了一个规律:
_______________的两个三角形全等,简写为_________或_________.
用三根木条钉成三角形框架,它的大小和形状是固定不变的,?
而用四根木条钉成的框架,它的形状
是可以改变的.三角形的这个性质叫做三角形的__________.
[例1]如图,1、如图,△ABC中AB=AC,D为BC中点
求证:
①△ABD≌△ACD.
②∠BAD=∠CAD
BDC
③AD⊥BC
证明:
第11页共27页
如图,已知AC=FE、BC=DE,点A、D、B、F在一条直线上,AD=FB.要用“边边边”证明△ABC≌△FDE,
除了已知中的AC=FE,BC=DE以外,还应该有什么条件?
怎样才能得到这个条件?
AC
EF
例2、如图,已知AB=CD,AC=BD,求证:
∠A=∠D
拓展延伸
1、如图,AC与BD交于点O,AD=CB,E、F是BD上两点,且AE=CF,DE=BF.请推导下列结论:
⑴∠D=∠B;
⑵AE∥CF.
第12页共27页
2、已知如图,A、E、F、C四点共线,BF=DE,AB=CD.
⑴请你添加一个条件,使△DEC≌△BFA;
⑵在⑴的基础上,求证:
DE∥BF.
3、已知:
AB=AC,D为△ABC内部一点,且BD=CD,
连接AD并延长,交BC于点E.试找出图中的一对全等的三角形,并证明你的结论。
BEC
小结:
1、证明三角形全等的一般步骤:
①把非直接条件(公共边、公共角、对顶角,平行线,平行四边形等图形中的隐含条件)转化为直
接条件(三角形中的对应相等的边或角)
②在△与△中∵∴△≌△
2、证明不在同一个三角形中的边与角相等时,不要忘记证它们所在的三角形全等
第13页共27页
1.6探索三角形全等的条件
(2)
一、学习目标
1、探索出三角形全等的条件“ASA”和“AAS”并能应用它们来判定两个三角形是否全等。
2、体会利用转化的数学思想和方法解决问题的过程。
3、能够有条理的思考和理解简单的推理过程,并运用数学语言说明问题。
4、敢于面对数学活动中的困难,并能通过合作交流解决遇到的问题。
二、学习重点
掌握三角形全等条件“ASA”和“AAS”,并能应用它们来判定两个三角形是否全等。
三、学习难点
探索“AAS”的条件
5.温故而知新
如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,△ABD和△ACD全等吗?
你能说明理由吗?
2、创设情景,引入新课
A提问:
一张三角形的纸片,被斯成三部分,究竟用那部分可画出原图一样的三角形?
探究练习1.
两角和它们的夹边
将学生分组小组分工合作完成下列问题:
画一个△ABC使它满足以下条件:
第一组:
∠A=90°
∠B=30°
AB=10cm
第二组:
∠A=60°
∠B=45°
AB=9cm
学生动手操作,完成问题后,小组交流比较,看看能得到什么结论?
学生表述,老师板书:
________________________对应相等的两个三角形全等;
(简写为_____________或者______________)
探究练习2.
如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边,比如三角形的两个内角分别是60°
和45°
,一条边长
为10cm,情况会怎样呢?
(1)如果角60°
所对的边为10cm,你能画出这个三角形吗?
(2)如果角45°
所对的边为10cm,那么按这个条件画出的三角形都全等吗?
结论___________________________对应相等的两个三角形全等
简写为________________________________
思考:
若两个三角形具备两角和其中一个角的对边分别相等,哪么这两个三角形全等,你认为对吗?
能举
例说明吗?
AB
3.举例应用:
o
例1.如图,已知AO=DO,∠AOB与∠DOC是对顶角,还需补充条件
______________=_______________,就可根据“ASA”说明△AOB≌△DOC;
或
者补充条件_______________=_______________,就可根据“AAS”,说明△CD
AOB≌△DOC。
(若把“AO=DO”去掉,答案又会有怎样的变化呢?
)
第14页共27页
如图:
已知BD=CE,∠B=∠C,△ABD与△ACE全等吗?
例2、如图,OP是∠MON的角平分线,C是OP上一点,CA⊥OM,CB⊥ON,垂足分别为A、B,△AOC≌△BOC
吗?
M
AP
N
B
已知:
如图,AB=DC,∠A=∠D.试说明:
∠1=∠2.
AD
O
12
如图,ΔABC中,D是AC上一点,BE∥AC,BE=AD,AE分别交BD、BC于点F、G.
⑴图中有全等三角形吗?
请找出来,并证明你的结论.
⑵若连结DE,则DE与AB有什么关系?
并说明理由.
GE
第15页共27页
1.7探索三角形全等的条件(3)
1、明确SAS公理的内容,能用SAS证明两个三角形全等。
2、通过SAS公理的运用提高学生的逻辑思维能力,通过观察几何图形培养学生识图能力和应用数学知识
解决实际问题的能力。
通过动手操作得出“SAS”可以判定两个三角形全等.
通过操作发现“两边及其一边的对角对应相等”不能成为三角形全等的条件.
一.回顾引入:
师:
到目前为止,你能用哪些方法来判定三角形全等?
生:
_____________________________________
ASA,AAS同是两角一边,有什么区别?
请看下面的图形,已知1=3,BE=CF你能只添加一个条件证出△ABC≌△DEF吗?
D
4
213
二.学习过程:
提出问题:
据前面的探索过程可知,至少需要三个条件,除上述三种情况外还有哪种情况?
两边与一角对应相等,可以分几种关系?
1、两边及其夹角对应相等;
2、两边及其中一边的对角对应相等。
我们可以通过什么途径来验证以上条件能否得出全等结论?
实践探索1:
两边及其夹角对应相等
请同学们画一个三角形,两边分别为20cm、16cm,且夹角为40度。
小组比较交流图形能否重合。
思考:
若改变图中的角度和边长也能重合吗?
明晰:
________________________的两个三角形全等。
(或___________)
例1:
小明不小心打翻了墨水,将自己所画的三角形涂黑了,你能帮小明想想办法,画一个与原来完全
一样的三角形吗?
说说怎么做?
第16页共27页
D变式训练:
小明做了一个如图所示的风筝
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- 三角形 鲁教版七 年级 上册 数学 第一章 导学案