高中数学题库之函数部分部分百题尖子生高考数学分类汇编Word格式.docx
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③当时,
则函数在区间上的零点个数为
15.设,若函数在区间上有三个零点,则实数的取值范围是
16.设是定义在上的恒不为零的函数,对任意实数,都有,若,,则数列的前项和的取值范围是
17.已知函数,则的值为
18.已知函数,则的值为
19.设是定义在上的偶函数,对任意,都有,且当时,,若在区间内关于的方程恰有个不同的实数根,则的取值范围是
20.已知函数函数.若函数恰好有个不同零点,则实数的取值范围是
21.已知函数的定义域为,若存在常数,对任意,有,则称为函数.给出下列函数:
①;
②;
③;
④;
⑤是定义在上的奇函数,且满足对一切实数均有.其中是函数的序号为
A.①②④B.②③④C.①④⑤D.①②⑤
22.已知函数,点,是函数图象上不同两点,则(为坐标原点)的取值范围是
23.已知函数(且)在上单调递增,且,则的取值范围为
24.已知是定义在上的函数的导函数,若方程无解,且,,设,,,则,,的大小关系是
25.已知函数(,且)在上单调递减,且关于的方程恰好有两个不相等的实数解,则的取值范围是
26.已知,都是定义在上的函数,且满足以下条件:
①(,且);
③.若,则等于
A.B.C.D.或
27.函数在上有定义,若对任意,有,则称在上具有性质.设在上具有性质,现给出如下命题:
①在上的图象是连续不断的;
②在上具有性质;
③若在处取得最大值,则,;
④对任意,有.
其中真命题的序号是
A.①②B.①③C.②④D.③④
28.设函数(,为自然对数的底数),若曲线上存在点使得,则的取值范围是
29.设函数是奇函数的导函数,,当时,,则使得成立的的取值范围是
30.过双曲线的一个焦点作平行于渐近线的两直线,与双曲线分别交于两点,若,则双曲线离心率的值所在区间是
二、填空题(共30小题;
31.把下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题:
若函数的图象与的图象关于
对称,则函数
(填上你认为可以成为真命题的一种情形即可,不必考虑所有可能的情形).
32.已知函数若函数有两个不同的零点,则实数的取值范围是
.
33.已知函数,其中.若存在实数,使得关于的方程有三个不同的根,则的取值范围是
34.已知,若函数有三个不同的零点,,,则的取值范围是
35.在平面直角坐标系中,把位于直线与直线(,均为常数,且)之间的点所组成的区域(含直线,直线)称为“型带状区域”,设为二次函数,三点,,均位于“型带状区域”,如果点位于“型带状区域”,那么,函数的最大值为
36.已知函数在区间上有零点,则的最大值是
37.已知函数,则不等式的解集为
38.已知函数在区间内有两个零点,则的取值范围是
39.若实数,,且,则当的最小值为时,函数的零点个数为
40.如图,已知正方形的边长为,平行于轴,顶点,和分别在函数,和的图象上,则实数的值为
41.定义在上的函数满足,,则等于
42.函数是定义在上的偶函数,且满足.当时,.若在区间上方程恰有四个不相等的实数根,则实数的取值范围是
43.设各项均为正数的数列的前项之积为,若,则数列中最小项的序号
44.已知点,,且平行四边形的四个顶点都在函数的图象上,则四边形的面积为
45.函数的定义域为实数集,,对于任意都有,若在区间内函数恰有三个不同的零点,则实数的取值范围是
46.已知函数,当时,关于的方程的所有解的和为
47.函数.
①.当时,函数的零点个数是
;
②.若函数有两个不同的零点,则的取值范围是
48.已知是有序数对集合上的一个映射,正整数数对在映射下的象为实数,记作.对于任意的正整数,映射由下表给出:
则
,使不等式成立的的集合是
49.对于函数,若存在区间,使得,则称函数具有性质,给出下列个函数:
③
其中具有性质的函数是
(填入所有满足条件函数的序号).
50.在平面直角坐标系中,若直线与曲线有四个公共点,则实数的取值范围是
51.已知函数,若函数有三个不同的零点,,,且,则的取值范围是
52.定义,设,,则的最小值为
,当取到最小值时,
,
53.已知函数由下表给出
其中等于在中所出现的次数.则
54.已知是定义在上的函数,且,则函数在区间上的零点的个数为
55.已知函数的定义域是,关于函数给出下列命题:
①对于任意,函数是上的减函数;
②对于任意,函数存在最小值;
③存在,使得对于任意的,都有成立;
④存在,使得函数有两个零点.
其中正确命题的序号是
.(写出所有正确命题的序号).
56.已知正数满足:
,,则的取值范围是
57.若是偶函数,则
58.若函数对任意实数,在闭区间上总存在两实数,,使得成立,则实数的最小值为
59.对于实数和,定义运算"
"
:
设,且关于的方程恰有三个互不相等的实数根,,,则的取值范围是
60.已知,是非零不共线的向量,设,定义点集.当时,若对于任意的,不等式恒成立,则实数的最小值为
三、解答题(共40小题;
共520分)
61.已知函数.
(1)证明:
函数是奇函数;
(2)求的单调区间.
62.已知二次函数为偶函数,,.关于的方程有且仅有一根.
(1)求,,的值;
(2)若对任意的,恒成立,求实数的取值范围;
(3)令,若存在使得,求实数的取值范围.
63.已知.
(1)当时,求的值域;
(2)设,当时,对任意,,总有成立,求的取值范围.
64.已知是定义在上的单调递增函数.对于任意的正数、满足;
对于满足.
(1)求;
(2)若,解不等式;
(3)求证:
65.已知平面内一动点与两定点和连线的斜率之积等于.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)设直线与轨迹交于,两点,线段的垂直平分线交轴于点,当变化时,求面积的最大值.
66.已知椭圆经过点,离心率为,点为椭圆的右顶点,直线与椭圆相交于不同于点的两个点,.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当时,求面积的最大值;
(3)若,求证:
为定值.
67.已知椭圆经过点,离心率为,点为椭圆的右顶点,直线与椭圆相交于不同于点的两个点,.
(3)若直线的斜率为,求证:
的外接圆恒过一个异于点的定点.
68.已知双曲线的焦距为,其中一条渐近线的方程为.以双曲线的实轴为长轴,虚轴为短轴的椭圆记为,过原点的动直线与椭圆交于,两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点为椭圆的左顶点,,求的取值范围;
(3)若点满足,求证为定值.
69.已知椭圆:
的离心率为,其右焦点为.
(2)若,,,四点都在椭圆上,已知与共线,与共线,且,求四边形的面积的最小值和最大值.
70.已知函数,对任意实数,都有成立.
(1)求函数所有零点之和;
(2)对任意实数,函数恒成立,求实数的取值范围.
71.已知函数(是常数,).
(1)若是函数的极值点,求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,方程在上有两解,求实数的取值范围;
,.
72.已知函数和.
(1)当时,求方程的实根;
(2)若对于任意的,恒成立,求的取值范围;
73.已知椭圆经过点,左右焦点分别为,,圆与直线相交所得弦长为.
(2)设是椭圆上不在轴上的一个动点,为坐标原点,过点作的平行线交椭圆于,两个不同的点,求的取值范围.
74.已知椭圆,,分别是其左、右焦点,以为直径的圆与椭圆有且仅有两个交点.
(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于,两点,线段的垂直平分线与轴交于点,点横坐标的取值范围是,求线段长的取值范围.
75.如图,已知圆,是圆上的点,点在线段上,且有点和上的点,满足,.
(1)当在圆上运动时,求点的轨迹方程;
(2)若斜率为的直线与()中所求的轨迹交于不同两点,,又点,求面积最大时对应的直线的方程.
76.已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线与以椭圆的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
(2)过点的直线与椭圆相交于不同的两点和,若椭圆上存在点满足(其中为坐标原点),求实数的取值范围.
77.已知是公差为的等差数列,是公比为的等比数列,,正整数组.
(1)若,求的值;
(2)若数组中的三个数构成公差大于的等差数列,且,求的最大值;
(3)若,,试写出满足条件的一个数组和对应的通项公式.(注:
本小问不必写出解答过程)
78.设函数.
(1)若函数是奇函数,求实数的值;
(2)若对任意的实数,函数(,为实常数)的图象与函数的图象总相切于一个定点.
①求与的值;
②对上的任意实数,,都有,求实数的取值范围.
79.如图,半圆是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图,半径的长为百米.为了保护景点,基地管理部门从道路上选取一点,修建参观线路,且,,均与半圆相切,四边形是等腰梯形,设百米,记修建每百米参观线路的费用为万元,经测算.
(1)用表示线段的长;
(2)求修建参观线路的最低费用.
80.对于定义域为的函数,如果同时满足:
①对任意的,总有;
③若,,,都有成立,则称函数为理想函数.
(1)若函数为理想函数,证明:
(2)试判断函数,,是否是理想函数.
81.已知函数.曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为.
(1)求的值;
(2)证明:
当时,曲线与直线只有一个交点.
82.设函数.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)若函数在区间上存在唯一零点,求的取值范围.
83.已知函数,.
(1)当时,解不等式;
(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围.
84.已知椭的离心率为,,是椭圆的两个焦点,是椭圆上任意一点,且的周长是.
(2)设圆,过椭圆的上顶点作圆的两条切线交椭圆于,两点,当圆心在轴上移动且时,求的斜率的取值范围.
85.已知.
(1)若,当时,求的最大值;
(2)对于任意的实数,都有一个最大的正数,使得当时,恒成立,求的最大值及相应的.
86.设,是的反函数.
(1)设关于的方程在区间上有实数解,求的取值范围;
(2)当(为自然对数的底数)时,证明:
(3)当时,试比较与的大小,并说明理由.
87.设函数,.
(1)当(为自然对数的底数)时,求的极小值;
(2)讨论函数零点的个数;
(3)若对任意,恒成立,求的取值范围.
88.已知函数,.
(参考数据,,取,,)
(1)若函数在上单调递减,求实数的取值范围;
(2)若有两个不同的零点,,试比较与的大小.
89.已知函数,.若对任意的恒成立.数列满足,.
(1)确定的解析式;
(3)设为数列的前项和,求证:
90.设二次函数,其图象过点,且与直线有交点.
(1)求证:
(2)若直线与函数的图象从左到右依次交于,,,四点,若线段,,能构成钝角三角形,求的取值范围.
91.已知定义在上的偶函数,当时,.
(1)当时,求过原点与函数图象相切的直线的方程;
(2)求最大的整数,使得存在,只要,就有.
92.对于函数,若时,恒有成立,则称函数是上的函数.
(1)当函数是定义域上的函数时,求的取值范围;
(2)若函数为上的函数,①试比较与的大小;
②求证:
对于任意大于的实数,,,,,均有.
93.对于数对序列,记,
,其中为不超过的最大整数.(注:
表示当取时,中的最大数)
已知数对序列,回答下列问题:
(1)写出的值
(2)求的值,以及此时的的值;
(3)求得的值时,得到,,,试写出的取值范围.(只需写出结论,不用说明理由)
94.已知函数,(其中,且为常数.)
(1)若对于任意的,都有成立,求的取值范围;
(2)在1的条件下,若方程在上有且只有一个实根,求的取值范围.
95.已知函数.
(1)若直线与的反函数的图象相切,求实数的值;
(2)设,讨论曲线与曲线公共点的个数;
(3)设,比较与的大小,并说明理由.
96.已知函数,.
(1)当为何值时,轴为曲线的切线;
(2)用表示,中的最小值,设函数,讨论零点的个数.
97.已知常数,数列满足,.
(1)若,,①求的值;
②求数列的前项和;
(2)若数列中存在三项,,(,)依次成等差数列,求的取值范围.
98.考查函数在其定义域内的单调性情况:
若在内呈先减再增,则称为“型”函数;
若在内呈减-增-减-增,则称为“型”函数.给定函数.
(1)试写出这样的一个实数对,使函数为上的"
型"
函数,且为上的"
函数.(写出你认为正确的一个即可,不必证明)
(2)若为上的“型”函数,若存在实数,使与能同时成立,求实数的取值范围.
99.已知函数,,其中.设.
(1)若在处取得极值,且,求函数的单调区间;
(2)若时,函数有两个不同的零点,.
①求的取值范围;
②求证:
100.已知函数,其中且.
(1)讨论的单调性;
(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)若方程存在两个异号实根,,求证:
答案
第一部分
1.B【解析】画出函数的图象,如图所示.
若方程有两个不相等的实根,则函数,有两个交点,此时,直线只有夹在两条虚线之间才有两交点.故,且.
2.C【解析】方法一:
由图象可得,所以等价于或
当时,,则所以.
当时,令,,则由,得.
结合函数的单调性(该函数在定义域上单调递减)知.
综上,原不等式的解集为.
方法二:
令,作出的图象,如图.
当时,,又,所以由,得.
3.A【解析】,它是奇函数,可排除B、D;
考察函数与的图象,它们有个交点,可排除C.
4.A【解析】设年平均增长率为,则第年到第年,有,所以,当的比值越大时,年平均增长率最高,由图可知,从第一年到第三年的年平均增长率最高.
5.C
【解析】对于任意,总存在,
使得成立,
即函数的值域是函数值域的子集,,
令,则函数单调递增,
所以,
于是有;
单调递增,
所以;
即
解得.
6.D【解析】.
由,得,解得.
由在内没有零点,得,
解得,
因此,.
7.C【解析】1)当时,,此时,成立.
2)当时,.
当,即时,,成立.
当,即时,,此时,所以不满足题意.
综上,的取值范围是.
8.D9.B10.C
【解析】当时,
函数的图象为开口向下的抛物线,所以在时,不恒成立.
函数当时,.
所以不满足题意.
当时,,,不满足题意.
当时,
需在时恒成立,
所以令或
即或
解得或.综合得:
11.D【解析】作出函数的图象,如图,
要使成立,则必有.当时,,则与相等时,满足条件.
由,
,
所以.
12.A【解析】由题意,,因为是开口朝上的二次函数,所以,得由此可画出可行域,如图,
表示可行域内的点和点连线的斜率,显然的斜率最小,的斜率最大.
13.B【解析】函数的对称轴为,且在区间上是减函数,得,对任意的,总有恒成立,即,又,当时,,,所以,又,所以的取值范围是.
14.A【解析】由得函数的图象关于点对称,由得函数的图象关于直线对称,作出函数在区间上的图象,再由对称性作出函数在区间上的图象,并在同一坐标系内作出函数的图象,由图象可知函数在区间上有个零点.
15.D
【解析】函数在区间上有三个零点即函数与在区间上有三个交点.画图如下.
当时,显然,不合乎题意,当时,由图知,当时,存在一个交点,当时,,可得,,若,可得,为减函数,若,可得,为增函数,此时与必须在上有两个交点,即在上有两个零点,所以解得,故函数在区间上有三个零点时
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