常微分方程教程丁同仁第二版答案完整版文档格式.docx
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∂y∂x∂y∂x
则2exdx+[(yex+y2)dx+(ex+2xy)dy]=0,
(2+y)ex+xy2=C.
7.(y+x2)dx+(lnx-2y)dy=0
x
P(x,y)=y+x2Q(x,y)=lnx-2y,
∂P1∂Q1∂P∂Q
则∂y=x,
∂x=x,所以∂y=
则(ydx+lnxdy)+xx
x3
2dx-2ydy=0
3
ylnx-y
8.(ax2+by2)dx+cxydy=0(a,b和c为常数)
P(x,y)=ax2+by2,Q(x,y)=cxy,
则∂y=2by,∂x=cy,所以当∂y=∂x,即2b=c时,原方程为恰当方程
-2
则ax2dx+(by2dx+cxydy)=0
ax3
bxy2
而当2b≠c时原方程不是恰当方程.
2s-1
9.
ds+
s-s2
dt=0
tt2
P(t,s)=
Q(t,s)=
则∂P=
∂t
1-2s,∂Qt2∂s
=1-2st2
所以∂P
∂y
=∂Q
,即原方程为恰当方程,
t
=C.
10.xf(x2+y2)dx+yf(x2+y2)dy=0,其中f(⋅)是连续的可微函数.解:
P(x,y)=xf(x2+y2),Q(x,y)=yf(x2+y2),
则∂P=2xyf'
∂Q=2xyf'
所以∂P=∂Q,即原方程为恰当方程,
⎰f(x2+y2)dx=C,
即原方程的解为F(x2+y2)=C(其中F为f的原积分).
-3
习题2-2
1.求解下列微分方程,并指出这些方程在平面上的有意义的区域:
:
dyx2
(1)=
dxy
原方程即为:
ydy=x2dx
3y2-2x3=C,y≠0.
(2)
dy=x2
dxy(1+x3)
ydy=
1+x3dx
3y2-2ln1+x3=C,y≠0,x≠-1.
(3)dy+y2sinx=0
dx
当y≠0时
dy
原方程为:
y2
sinxdx=0
1+(c+cosx)y=0.
又y=0也是方程的解,包含在通解中,则方程的通解为
(4)dy=1+x+y2+xy2;
1+y2
=(1+x)dx
arctgy=x+x
c,
即y=tg(x+x
+c).
-4
(5)dy=(cosxcos2y)2
①当cos2y≠0时
(cos2y)2
=(cosx)2dx
2tg2y-2x-2sin2x=c.
②cos2y=0,即y=kπ+π也是方程的解.(k∈N)
24
1-y2
(6)xdy=
①当y≠±
1时
dy=dx
arcsiny-lnx=c.
②y=±
1也是方程的解.
(7).
dy=x-e-x
dxy+ey
解.原方程即为:
(y+ey)dy=(x-e-x)dx
ey
=x2
+e-x
原方程的解为:
y2-x2+2(ey-e-x)=c.
2.解下列微分方程的初值问题.
ππ
(1)sin2xdx+cos3ydy=0,y()=;
-
cos2x
23
+sin3y
=c,即2sin3y-3cos2x=c
因为y(π)=π
所以c=3.
-5
所以原方程满足初值问题的解为:
2sin3y-3cos2x=3.
(2).xdx+ye-xdy=0,y(0)=1;
解:
xexdx+ydy=0,
(x-1)e
xdx+
ydy=c,
1
因为y(0)=1,所以c=-,
2(x-1)exdx+y2dy+1=0.
(3).dr=r,r(0)=2;
dθ
dr
r
=dθ,两边积分得:
lnr-θ=c,
因为r(0)=2,所以c=ln2,
lnr-θ=ln2即r=2eθ.
lnx
(4).dy
=1+y2
y
(1)=0;
(1+y2)dy=lnxdx,
y
y++x-xlnx=c,
因为y
(1)=0,所以c=1,
所以原方程满足初值为:
y++x-xlnx=1
(5).
dy=xy3,y(0)=1;
1+x2
dy=xy3
dx,
-6
-1y-2=
因为y(0)=1,所以c=-3
,
2
+=3.
3.解下列微分方程,并作出相应积分曲线的简图.
(1).dy=cosxdx
y=sinx+c.积分曲线的简图如下:
(2).
=
ay,
(常数a≠0);
①当
y≠0时,
dyay
积分得:
a
ln
+c,
即
ceax
(c
>
0)
②y=0也是方程的解.积分曲线的简图如下:
-7
(3).dy=1-y2;
1+y
1-y
1时,
(1-y2)
=dx积分得:
ln
=2x+c,
即y=
ce2x-1
.
ce2x+1
1也是方程的解.积分曲线的简图如下:
(4).dy=yn,(n=1,1,2);
dx3
①当y≠0时,
ⅰ)n=
1dy
2时,原方程即为
=dx,
3yn
x+1y1-n=c.
n-1
ⅱ)n=1时,原方程即为
dy=dxy
lny
=x+c,即y=cex(c>
0).
-8
4.跟踪:
设某A从xoy平面上的原点出发,沿x轴正方向前进;
同时某B从点开始跟踪A,即B与A永远保持等距b.试求B的光滑运动轨迹.
设B的运动轨迹为y=y(x),由题意及导数的几何意义,则有
b2-y2
dy=-y
,所以求B的运动轨迹即是求此微分方程满足y(0)=b的解.
解之得:
x=
1bln
b+b2+y2
b-b2-y2
-b2-y2.
5.设微分方程dy=f(y)(2.27),其中f(y)在y=a的某邻域(例如,区间
y-a<
ε)
内连续,而且f(y)=0⇔y=a,则在直线y=a上的每一点,方程(2.27)的解局部唯一,
f(y)
⎰
a±
ε
当且仅当瑕积分a
证明:
(⇒)
首先经过域R1:
=∞(发散).
-∞<
x<
+∞,a-ε≤y<
a和域R2:
-∞<
+∞,
-9
a<
y≤a+ε内任一点(x0,y0)恰有方程(2.13)的一条积分曲线,它由下式确定
dy=x-x
.(*)
0f(y)
这些积分曲线彼此不相交.其次,域R1(R2)内的所有
dydy
积分曲线⎰f(y)=x+c都可由其中一条,比如⎰f(y)=x+c0沿着x轴的方向平移而得到。
因此只需详细考虑经过R1内某一点(x0,a-ε)的积分曲线,它由(*)式确定.
若⎰a-ε
收敛,即存在x=x1,使得⎰a-ε
=x1-x0,
即所讨论的积分曲线当x=x1时达到直线y=a上点(x1,a).由(*)式易看出,所论积分曲线在(x1,a)处与y=a相切,在这种情形下,经过此直线上的
(⇐)一点就不只有一条积分曲线,与局部唯一矛盾,所以⎰a-ε
发散.
若积分⎰a-ε发散,此时由(*)式易看出,所论的经过(x0,a-ε)的积分
曲线,不可能达到直线y=a上,而以直线y=a为渐近线,又注意到y=a也是(2.13)的积分曲线,所以(2.13)过(x0,a-ε)的解是唯一的.
注:
对于R2内某点(x0,a+ε)完全可类似地证明.
6.作出下列微分方程积分曲线族的大致图形.
(1).dy=;
-10
dy⎧ylny
y≠0
(2).=⎨
⎩0
y=0
-11
习题2-3
1.求解微分方程:
(1)dy+2y=xe-x;
p(x)=2,q(x)=xe-x,
由公式得:
y=e-2x(c+⎰xe-xe2xdx)=ce-2x+xe-x-e-x,原方程的解为:
y=ce-2x+xe-x-e-x.
(2)dy+ytgx=sin2x;
p(x)=tgx,q(x)=sin2x,
sinxd(cosx)
⎰p(x)dx=⎰tgxdx=⎰cosxdx=⎰-
y=elncosx(c+⎰sin2xe-lncosxdx)
cosx
dx=-lncosx+c,则有
=cosx(c+sin2xdx)=cosx(c-2cosx)=ccosx-2cos2x
y=ccosx-2cos2x.
(3)xdy+2y=sinx,y(π)=1;
dxπ
dy2sinx2sinx
+y=
dxx
,则p(x)=
q(x)=,
xx
⎰p(x)dx=⎰2dx=lnx2+c,则有
y=e-lnx2(c+sinxelnx2)
=1(c+xsinxdx)
x2⎰
=1(c-xcosx+sinx)x2
因为y(π)=π,所以c=0.
原方程满足初值问题的解为:
y=-1
cosx+
1sinx.
(4)dy-
1-x2
y=1+x,y(0)=1;
xx2
-12
x-12
x+1
p(x)=1-x2,q(x)=1+x,⎰p(x)dx=ln
11
lnx-12lnx+12
则y=e
x+1
(c+⎰(1+x)e
x-1dx)
⎧x+1(c+
⎪x-1
⎨
x2-1dx)
x>
1
⎪x+1(c+1-x2dx)
⎪⎩1-x
x<
要求满足初值问题y(0)=1的解
1-x
⎧
只需求⎨
⎩
(c+⎰1-x2dx)
=x+1(c+1arcsinx+1x1-x2)1-x22
代入初值得c=1
所以满足初值问题的解为y=
(1+arcsinx+x).
2.将下列方程化为线性微分方程:
dyx2+y2
(1)=;
dx2y
令y2=z,则原方程化为:
dz=z+x2.
(2)dy=y;
dxx+y2
dxx+y2dx1
由原方程得:
,=
即=
ydy
x+y.
(3)3xy2dy+y3+x3=0;
令y3=z,则原方程化为:
dz=-1z-x2.
-13
(4)dy=1+xtgy;
dxcosy
dy1siny
cosydy
cosy
dz
即=1+xsiny.令z=siny,则
dxdx
=xz+1.
3.设y=φ(x)满足微分不等式y'
+a(x)y≤0,(x≥0).求证:
φ(x)≤φ(0)e-⎰0a(s)ds,
(x≥0)
将y'
+a(x)y≤0两边同乘e⎰0a(s)ds则有
e⎰0a(s)ds
y'
+e⎰0a(s)dsa(x)y≤0
d(e⎰0a(s)dsφ(x))
≤0从0到x积分得:
e⎰0a(s)dsφ(x)≤φ(0),得证.
4.用常数变易法求解非齐次线性方程dy+p(x)y=q(x).
设方程有形如y=c(x)e-⎰p(x)dx的解,将其代入方程则有解:
设方程有形如y=c(x)e-⎰p(x)dx的解,将其代入方程则有
dc(x)e-⎰p(x)dx-c(x)p(x)e-⎰p(x)dx+c(x)p(x)e-⎰p(x)dx=q(x)dx
即dc(x)e-⎰p(x)dx=q(x),则c(x)=q(x)e⎰p(x)dx+c,
所以方程的解为y=e-⎰p(x)dx(⎰q(x)e⎰p(x)dx+c).
5.考虑方程dy+p(x)y=q(x),其中p(x)和q(x)都是以ω>
0为周期的连续函数.
试证:
(1)若q(x)=0,则方程的任一非零解以ω为周期⇔p(x)的平均值
1ω
p=ω⎰0
p(x)dx=0.
(2)若q(x)≠0,则方程的有唯一的ω周期解⇔p≠0.试求出此解.
-14
(1)设y=φ(x)是方程的任一非零解
xx+w
则y=ce
-⎰x
p(x)dx,且y=ce-⎰x
p(x+w)dx
也是解
⎰⎰
-p(x)dx-
w)dx-⎰xp(x)dx-⎰x+w
⇔ex0
=ex0
p(x
=ex0
p(x)dx
e
⇔e⎰=1⇔⎰p(x)dx=0
ω
0p(x)dxω
(2)
方程的通解为y=ce-⎰0p(x)dx+xq(s)e-⎰sp(t)dt
选择常数c使y(x)成为ω周期函数,即y(x+w)=y(x)(*)
我们先来证明,要使(*)对所有x成立,其实只需对某一特定x
(例如x=0)成立,即只需y(ω)=y(0).事实上,由于y(x)是方程的解,且p(x+w)=p(x)q(x+w)=q(x),所以y(x+w)也是解.
因此,函数u(x)=y(x+w)-y(x)是相应齐次方程y'
+p(x)y=0满足初始条件y(0)=0的解。
又因为此齐次方程的解或者恒等于0,或者恒不
等于0,所以u(x)=0,从而y(w)=y(0),由x的任意性,则有y(x+w)=y(x)。
wwx
即ce-⎰0p(x)dx+wq(s)e-⎰0p(t)dtds=c.
w
所以c=
1-e-⎰0p(x)dx
wq(x)e0p(x)dxdx.
6.连续函数f(x)在区间-∞<
+∞上有界,证明:
方程y'
+y=f(x)在区间
-∞<
+∞有并且只有一个有界解.试求出这个解.并进而证明:
当f(x)还是以ω为周期函数时,这个解也是以ω为周期的周期函数.
显然方程为一阶线性微分微分方程,由一阶线性微分微分方程解的求解公式得其解表达式为:
=⎰+yce
-1dx
f(s)e⎰ds
x-1dx
s
0,
=ce-x+xf(s)e(s-x)ds
因为f(x)有界,所以要使y有界,当且仅当c=⎰-∞f(s)eds.从而原方
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