154.如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3,侧棱AA1=D是CB延长线上一点,且BD=BC.
(Ⅰ)求证:
直线BC1//平面AB1D;
(Ⅱ)求二面角B1—AD—B的大小;
(Ⅲ)求三棱锥C1—ABB1的体积.
(Ⅰ)证明:
CD//C1B1,又BD=BC=B1C1,∴四边形BDB1C1是平行四边形,∴BC1//DB1.
又DB1平面AB1D,BC1平面AB1D,∴直线BC1//平面AB1D....................5分
(Ⅱ)解:
过B作BE⊥AD于E,连结EB1,∵B1B⊥平面ABD,∴B1E⊥AD,
∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角,∵BD=BC=AB,∴E是AD的中点,
在Rt△B1BE中,∴∠B1EB=60°。
即二面角B1—AD—B的大小为60°…………10分
(Ⅲ)解法一:
过A作AF⊥BC于F,∵B1B⊥平面ABC,∴平面ABC⊥平面BB1C1C,
∴AF⊥平面BB1C1C,且AF=
即三棱锥C1—ABB1的体积为…………15分
解法二:
在三棱柱ABC—A1B1C1中,
即为三棱锥C1—ABB1的体积.
155.已知空间四边形ABCD的边长都是1,又BD=,当三棱锥A—BCD的体积最大时,求二面角B—AC—D的余弦值.
解析:
如图,取AC中点E,BD中点F,由题设条件知道
(1)BED即二面角B—AC—D的平面角............................3分
(2)当AF面BCD时,VA—BCD达到最大.............................6分
这时ED2=AD2-AE2=1-AE2=1-=1-
=1-,
又BE2=ED2,
∴cos..................................12分
A
E
B F D
C
156.有一矩形纸片ABCD,AB=5,BC=2,E,F分别是AB,CD上的点,且BE=CF=1,把纸片沿EF折成直二面角.
(1)求BD的距离;
(2)求证AC,BD交于一点且被这点平分.
解析:
将平面BF折起后所补形成长方体AEFD-A1BCD1,则BD恰好是长方体的一条对角线.
(1)解:
因为AE,EF,EB两两垂直,
所以BD恰好是以AE,EF,EB为长、宽、高的长方体的对角线,
................6分
(2)证明:
因为ADEF,EFBC,所以ADBC.
所以ACBD在同一平面内,
且四边形ABCD为平行四边形.
所以AC、BD交于一点且被这点平分
157.已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,
∠ADB=60°,E、F分别是AC、AD上的动点,且
(Ⅰ)求证:
不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;
(Ⅱ)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD?
证明:
(Ⅰ)∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD,
∵CD⊥BC且AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.………………………………3分
又
∴不论λ为何值,恒有EF∥CD,∴EF⊥平面ABC,EF平面BEF,
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,BE⊥EF,又平面BEF⊥平面ACD,
∴BE⊥平面ACD,∴BE⊥AC.………………8分
∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,
∴
由AB2=AE·AC得
故当时,平面BEF⊥平面ACD.………………………………………………12分
158.设△ABC内接于⊙O,其中AB为⊙O的直径,PA⊥平面ABC。
如图求直线PB和平面PAC所成角的大小
159.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,已知P,Q,R,S分别为棱A1D1,A1B1,AB,BB1的中点,求证:
平面PQS⊥平面B1RC.(12分)
证明:
连结BC1交B1C于O,则O为BC1的中点
连结RO,AC1,∵R是AB的中点∴RO∥AC1
∵P,Q分别为A1D1,A1B1的中点,易知A1C1⊥PQ
∴AC1⊥PQ(三垂线定理)
160.把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角B—AC—D,E、F分别为AD、BC的中点,O为正方形的中心,求折起后∠EOF的大小
证明:
过F作FM⊥AC于M,过E作EN⊥AC于N,则M,N分别为OC、AO的中点
解析:
161.如图,正方体AC1中,已知O为AC与BD的交点,M为DD1的中点。
(1)求异面直线B1O与AM所成角的大小。
(2)求二面角B1—MA—C的正切值。
(14分)
解析:
方法二:
取AD中点N,连结A1N,则A1N是B1O在侧面ADD1A1上的射影.
易证AM⊥A1N
∴AM⊥B1O(三垂线定理)
(2)连结MB1,AB1,MC,过O作OH⊥AM于H点,连结B1H,
∵B1O平面MAC,∴∠B1HO就是所求二面角B1—MA—C的平面角.
162.在正方体AC1中,E为BC中点
(1)求证:
BD1∥平面C1DE;
(2)在棱CC1上求一点P,使平面A1B1P⊥平面C1DE;
(3)求二面角B—C1D—E的余弦值。
(14分)
解析:
163.如图,立体图形V-ABCD中,底面是正方形ABCD,其他四个侧面都是全等的正三角形,画出二面角V-AB-C的平面角,并求它的度数.
解:
设底面边长为a,则侧面三角形的边长也为a.
取AB的中点E,DC中点F,连VE、EF.
∵ 侧面△VAB是正三角形,
∴ VE⊥AB.
又EF∥BC,BC⊥AB,∴ EF⊥AB.
∠VEF就是V-AB-C的平面角.
cos∠VEF=.
164.已知二面角α-l-β是45°角,点P在半平面α内,点P到半平面β的距离是h,求点P到棱l的距离.
解:
经P作PB⊥β于B,
经P在平面α内作PA⊥l于A.
连AB,则AB⊥l.
∠PAB就是二面角的平面角,∠PAB=45°.
那么在Rt△PAB中,PB=h,PA=h.
165.自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线,求证:
它们所成的角与这个二面角的平面角互补.
证明:
如图PQ⊥β,PQ⊥AB,
PR⊥α,PR⊥AB,
则AB⊥面PQR.
经PQR的平面交α、β于SR、SQ,
那么AB⊥SR,AB⊥SQ.
∠QSR就是二面角的平面角.
因四边形SRPQ中,∠PQS=∠PRS=90°,
因此∠P+∠QSR=180°.
166.一张菱形硬纸板ABCD的中心是点O,沿它的一条对角线AC对折,使BO⊥DO,这时二面角B-AC-D是多少度?
要使二面角B-AC-D为60°,点B和D间的距离应是线段BO的几倍?
解:
因ABCD是菱形,故AC⊥BD.
沿对角线AC折为空间图形后BO⊥AC,DO⊥AC.
∠BOD就是二面角B-AC-D的平面角.
因BO⊥OD,故∠BOD=90°,
即二面角B-AC-D是90°.
要使二面角B-AC-D为60°.
因BO=OD,故△BOD是等边三角形,
此时BD=BO.
167.四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,PB垂直面ABCD,证明无论四棱锥的高怎样变化,面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°.
解析:
:
注意到题目中所给的二面角,面PAD与面PCD的棱为PD,围绕PD而考虑问题解决途径.
证法一:
利用定义法
经A在PDA平面内作AE⊥PD于E,连CE.
因底是正方形,故CD=DA.
△CED≌△AED,AE=EC,∠CED=∠AED=90°,
则CE⊥PD.
故∠CEA是面PAD与面PCD所成二面角的平面角.
设AC与BD交于O,连EO,则EO⊥AC.
因OA=×=a,AE<AD<a.
cos∠AEC==<0.
所以面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°.
证法二:
运用三垂线法
∵ PB⊥面ABCD,则PB⊥AD,又AD⊥AB,
∴ AD⊥面PAB,即面PAB⊥面PAD.
过B作BE⊥PA,则BE⊥面PAD.
在面PBC内作PGBC,连GD.
经C作CF⊥面PAD于F,
那么连结EF,有EFAD.
经F作FH⊥PD于H,连CH,
则∠FHC是所求二面角平面角的补角.
因CF⊥FH,故∠FHC是锐角.
则面PAD与面PCD所成二面角大于90°.
此结论证明过程中与棱锥高无关.
证法三:
利用垂面法找平面角.
在证法一所给图形中
连AC、BD,因AC⊥BD,PB⊥面ABCD,
∴ AC⊥PD.
经A作AE⊥PD于E,那么有PD⊥面AEC,连CE,
即PD⊥CE.
故PD与平面AEC垂直后,面AEC与面ADC及面ADP的交线EA、EC构成角∠CEA就是二面角的平面角.
以下同证法一.
168.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱AA1的中点,求平面EB1C和平面ABCD所成二面角的大小.
解:
△EB1C在底面ABCD内的射影三角形为Rt△ABC.
因E点射影为A,B1点射影为B.
设正方体棱长为a,
则S△ABC=a2.
又在△EB1C中,
B1E=a,B1C=a,EC=a,
故cos∠B1EC=.
∴ sin∠B1EC=.
∴ S=×a·a·=a2.
设面EB1C和面ABCD所成的二面角为θ,
则cosθ==.
那么所求二面角的大小为arccos.
评述:
此题属无棱二面角问题,图中没有二面角的棱,我们也可以去找到棱来解决,但这里通过射影而直接求角更方便.S′=S△ABC,S=.
169.一个平面将空间分成几部分?
二个平面将空间分成几部分?
三个平面将空间分成几部分?
解析:
2部分,3或4部分,4或6或7或8部分
170.如图:
已知直线l与平行直线a、b、c都相交,
求证:
l与a、b、c共面。
设L∩a=A,
l∩b=A,L∩c=C,∵a∥b,∴a、b可确定一个平面α,∵A∈a,B∈b,∴A∈α,B∈α,∴ABα,即Lα.∵b∥c,∴b、c可确定一个平面β,
同理lβ.∵α、β均过相交直线b、l,∴α、β重合,∴a、b、c、l