概率论与数理统计试题及答案要点.docx
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概率论与数理统计试题及答案要点
四、(6分)从1,1,2,3,3,3,4,4,5,6这10个数中随机取6个数,求取到的最大数是4的概率.
解:
设A表示事件“12名中国人彼此不同属相”,每个人的属相有12种可能,把观察每个人的属相看作一次试验,由乘法原理,这12个属相的所有可能排列数为1212,而事件A所包含的形式有种,则=0.000054。
五、(6分)3人独立地去破译一个密码,他们能破译的概率分别为若让他们共同破译的概率是多少?
解:
设Ai表示“第i人能译出密码”,i=1,2,3,A1,A2,A3相互独立,A表示“密码译出”,则
∴P(A)=1–P(
六、(10分)已知一批产品的次品率为4%,今有一种简化的检验方法,检验时正品被误认为是次品的概率为0.02,而次品被误认为是正品的概率为0.05,求通过这种检验认为是正品的一个产品确实是正品的概率.
解:
设A表示通过检验认为该产品为正品,B表示该产品确为正品
依题意有
七、(10分)假设有3箱同种型号零件,里面分别装有50件,30件和40件,而一等品分别有20件,12件及24件.现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回),试求先取出的零件是一等品的概率;并计算两次都取出一等品的概率.
解:
设B1、B2、B3分别表示选出的其中装有一等品为20,12,24件的箱子,A1、A2分别表示第一、二次选出的为一等品,依题意,有
P(A1)=P(B1)P(|B1)+P(B2)P(A1|B2)+P(B3)P(A1|B3)
==0.467
P()==0.220
八、(10分)设.
1.若,求;2.若,求;3.若,求.
解:
1.P(B)=P(B)–P(AB)因为A,B互斥,故P(AB)=0,而由已知P(B)=
∴P(B)=P(B)=
2.∵P(A)=,由AB知:
P(AB)=P(A)=
∴P(B)=P(B)–P(AB)=–=
3.P(AB)=∴P(B)=P(B)–P(AB)=–=
九、(10分)一批产品10件,出厂时经两道检验,第一道检验质量,随机取2件进行测试,若合格,则进入第二道检验,否则认为这批产品不合格,不准出厂;第二道检验包装,随机取1件,若合格,则认为包装合格,准予出厂.两道检验中,1件合格品被认为不合格的概率为0.05,一件不合格品被认为合格的概率为0.01,已知这批产品中质量和包装均有2件不合格,求这批产品能出厂的概率.
解:
设表示报名表是第i个地区考生的(i=1,2,3),Aj表示第j次抽到的报名表是男生表(j=1,2),则
P(H1)=P(H2)=P(H3)=
P(A|)=;P(A|H)=;P(A1|H3)=
(1)=P()=
(2)由全概率公式得P(A2|H1)=,P(A2|H2)=,P(A2|H3)=
P(A2|H1)=,P(A|H2)=,P(A2|H3)=
P(A2)=
P(A2)=
因此,
十、(8分)设,试证事件与相互独立.
证明:
∵0
∴P(A|B)=
又∵P(A|B)+P=1
∴
化简,得:
P(AB)=P(A)P(B)
∴事件A、B相互独立
三、(12分)随机变量的概率密度为,试求
(1)系数;
(2)的分布函数;(3)落在内的概率.
解
(1)∵=1,即=1
∴
(2)当x<-时,F(x)=0
当|x|≤时,
当x≥时,=1
∴
(3)
四、(12分)假设一设备开机后无故障工作的时间服从参数为的指数分布.设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障的情况下工作2h便关机,试求设备每次开机无故障工作的时间的分布函数.
解:
(1)∵X可能的取值为0,1,2,3
设Ai={第i个元件出故障)i=1,2,3
∴
=(1-0.2)(1-0.3)(1-0.5)=0.28
=
=0.2×0.7×0.5+0.8×0.3×0.5+0.8×0.7×0.5=0.47
同理P(X=2)=P(=0.22
=0.03
∴X的分布律:
X
0
1
2
3
P
0.28
0.47
0.22
0.03
(2)由
(1)及分布函数的定义知
当x<0时,F(x)=0
当0≤x<1时,F(x)=P(X=0)=0.28
当1≤x<2时,F(x)=P(X=0)+P(X=1)=0.75
当2≤x<3时,F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0.97
当x≥3时,F(x)=P(X=0)+P(X=1)+PX=2)+P(X=3)=1
∴其图为
五、(10分)随机变量的概率密度为;求的概率密度.
、解:
分别记X,Y的分布函数为FX(x),FY(y)
由于y=x2≥0,故当y≤0时,FY(y)=0
当y=x2>0时,有FY(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)=P(-≤X≤)
=
将FY(y)关于y求导数,即得y的概率密度为
∴
六、(12分)随机变量和均服从区间[0,1]上的均匀分布且相互独立.
1.写出二维随机变量()的边缘概率密度和联合概率密度.2.求.
解:
(1)由题意得:
又∵X,Y相互独立
∴f(x,y)=fX(x)fY(y)=
(2)
==
七、(12分)已知随机变量的分布律为:
-1
0
1
1/4
1/2
1/4
0
1
1/2
1/2
且已知.
(1)求()的联合分布律;
(2)是否相互独立?
为什么?
解:
(1)由P(XY=0)=1,可见
P{X=-1,Y=1}=P{X=1,Y=1}=0
易见
=0
于是,得X和Y的联合分布:
X
Y
-1
0
1
0
0
1
0
0
(2)∵P(X=0,Y=0)=0而P(X=0)P(Y=0)=
∴P(X=0)P(Y=0)≠P(X=0,Y≠0)
∴X,Y不独立
八、(12分)设是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为:
求随机变量的概率密度函数.
设Z的密度函数为fZ(z),则由卷积公式得
a)当z<0时,f(t)=0,∴f(z)=0
b)当0≤z<1时,z-1<0,z≥0
c)当z≥1时,z-1≥0
综述:
四、(10分)设随机变量()的概率密度为:
求数学期望及,方差及,协方差及相关系数.
、解:
E(X)=
;
E(Y)=
;
∵E(X2)=
,
∴D(X)=E(X2)–[E(X)]2=;
又∵E(Y2)=
=
∴D(Y)=E(Y2)–[E(Y)]2=;
又∵E(XY)=
,
∴cov(X,Y)=E(XY)–E(X)·E(Y)=;
。
五、(10分)设有甲、乙两种投资证券,其收益分别为随机变量,已知均值分别为,风险分别为,相关系数为,现有资金总额为(设为1个单位).怎样组合资金才可使风险最小?
解:
E(X)=
=…=;
∵E(X2)=
=
=(m+2)(m+1)
∴D(X)=E(X2)–[E(X)]2=(m+2)(m+1)–(m+1)2=m+1。
六、(10分)设随机变量的分布密度为,求和.
解:
由
得:
a=6;这时,f(x)=,
E(X)=;
D(X)=E(X2)–[E(X)]2=;
=。
七、(10分)设随机变量与相互独立,且均服从密度为,的分布,求
(1)+的分布密度;
(2)求.
解:
由于X与Y相互独立,
(1)应用卷积公式,有Z=X+Y的分布密度
fZ(z)=
考虑到fX(x)仅在x>0时有非零值,fY(z–x)仅在z–x>0,即x
f(z)=,
即f(z)=。
(2)E(XY)=E(X)·E(Y)=1×1=1(∵X、Y均服从=1的指数分布)。
八、(10分)设随机变量服从泊松分布,,证明:
.
证明:
∵X~(),且E(X)=6=,则D(X)==6
根据切比雪夫不等式,有
P{3 九、(10分)为连续型随机变量,概率密度满足: 当时,,证明: . 证明: ∵a≤x≤b, ∴a=a 。 容易证明D(X)≤E{(x–c)2},取c= ∴D(X)≤ ≤=。 三、计算题(满分60分) 1.某商店拥有某产品共计12件,其中4件次品,已经售出2件,现从剩下的10件产品中任取一件,求这件是正品的概率。 2.设某种电子元件的寿命服从正态分布N(40,100),随机地取5个元件,求恰有两个元件寿命小于50的概率。 (,) 令,则.因此. 3.在区间(0,1)中随机地取两个数,求事件“两数之和小于”的概率。 所以故. 4.一台设备由三个部件构成,在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.2,0.3,0.4,各部件的状态相互独立,求需要调整的部件数X的期望EX和方差DX。 .,. 5.从一正态总体中抽取容量为10的样本,假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上,求总体的标准差。 ( ,而,故 ,,,. 6.设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分? 并给出检验过程。 (,) ,设,则 ,故拒绝域为,即. 由于不在拒绝域内,故接受,即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分. 四、证明题 1.设A,B是两个随机事件,0 A与B相互独立。 , 所以. 2.设总体X服从参数为的泊松分布,是X的简单随机样本,试证: 是的无偏估计。 ,,故,因此是的无偏估计. 五、(10分)设随机变量具有密度函数,<x<,求X的数学期望和方差. 解,(因为被积函数为奇函数)--------------------------4分 ----------------------------------------10分 六、(15分)某保险公司多年的资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%,以表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数,求. x00.511.522.53 Ф(x)0.5000.6910.8410.9330.9770.9940.999 解X~b(k;100,0.20),EX=100×0.2=20,DX=100×0.2×0.8=16.----5分 ---------------------------10分 =0.994+0.933--1 .--------------------------------------------------15分 七、(15分)设是来自几何分布: 的样本,试求未知参数的极大似然估计. 解----------5分 --------------------------------10分 解似然方程, 得的极大似然估计。 --------------------------------------------------------------------15分 . 三、(7分)已知一批产品中90%是合格品,检查时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.05,一个次品被误认为是合格品的概率为0.02,求 (1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率; (2)
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