高三复习提纲《平面向量》.docx
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高三复习提纲《平面向量》
高三复习提纲——《平面向量》
一、常用结论
(一)向量的几何运算
1、(M为AB中点)
2、数量积:
,在方向上的投影=
3、不等关系:
;
(二)平面向量的坐标运算
1、;2、;
3、;;
4、若,则
(1);
(2);(3);
(4);(5);
(6);(7);
二、对向量夹角的考查()
1、记号:
=;
2、范围:
,;
3、只有非零向量才有夹角概念;作角时两向量必须共起点;
4、.
5、为直角:
;
6、为锐角:
;
7、为钝角:
[范例解析]
1、已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c.
(1)求b和c;
(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m与向量n的夹角的大小.
2、已知a=(1,3),b=(1,1),c=a+λb,若a和c的夹角是锐角,则λ的取值范围是( )
A.B.C.{0}D.∪(0,+∞)
3、已知a=(1,0),b=(0,1),当k为整数时,向量m=ka+b与n=a+kb的夹角能否为60°?
证明你的结论.
三、对向量的模的考查:
1、;2、若,则;3、的含义
[范例解析]
4、已知均为单位向量,那么若,则_____________.
5、设为单位向量,非零向量,若的夹角为,则的最大值等
于________.
6、在△ABC中,若对任意k∈R,有|-k|≥||,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形
7、在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=45°,点P的斜坐标定义为“若=x0e1+y0e2(其中e1,e2分别为与斜坐标系的x轴,y轴同方向的单位向量),则点P的坐标为(x0,y0)”.若F1(-1,0),F2(1,0),且动点M(x,y)满足||=||,则点M在斜坐标系中的轨迹方程为( )
A.x-y=0B.x+y=0C.x-y=0D.x+y=0
8、已知向量=(λcosα,λsinα)(λ≠0),=(-sinβ,cosβ),其中O为坐标原点.
(1)若α-β=且λ=1,求向量与的夹角;
(2)若||≥2||对任意实数α,β都成立,求实数λ的取值范围.
四、对向量共线的考查
1、定理:
若,则存在唯一实数使得(符号代表方向,)
2、共线
[范例解析]
9、已知平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a·b=-6,则的值为( )
A.B.-C.D.-
10、设a、b是不共线的两个非零向量,
(1)若=2a-b,=3a+b,=a-3b,求证:
A、B、C三点共线;
(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值;
(3)设=ma,=nb,=αa+βb,其中m、n、α、β均为实数,m≠0,n≠0,
若M、P、N三点共线,求证:
+=1.
11、如图,平行四边形ABCD中,=b,=a,M为AB中点,N为BD靠近B的三等分点,求证:
M、N、C三点共线.
五、向量与三角形
1、角的定性:
;;
2、判定形状:
锐角(或直角、钝角),等腰,等边,等腰非等边,…
3、若三角形的三线(中线、高线、内角平分线)中有两线合一,则必为等腰三角形;
4、若三角形的四心(重心、垂心、内心、外心)中有两心合一,则必为等边三角形;
5、四心结论:
;;
;.
[范例解析]
12、在△ABC中,(+)·=||2,则三角形ABC的形状一定是( )
A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形
13、已知O为△ABC所在平面内一点,满足=,则O点是△ABC的()
A.垂心B.重心C.内心D.外心
14、已知A、B、C是平面上不共线的三点,O是三角形ABC的重心,动点P满足
=(++),则点P一定为三角形ABC的()
A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)
C.重心D.AB边的中点
六、解决向量问题的常用思路
1、基底法:
在图形中选择两条相交线段对应的向量作为基底,其余所有向量全部均可用唯一表示,利用加法、减法、共线及基底表示的唯一性等建立等量关系。
2、坐标法:
根据题意,建系设点,把向量的起点确定下来,利用坐标把几何问题转化为代数问题进行求解。
3、几何法:
利用向量中的几何特征,如夹角、距离(模、投影)、平行、垂直,利用三角形法则或平行四边形法则及共线、垂直等数形结合进行求解。
[范例解析]
15、在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为BC的中点,若F为该矩形内(含边界)任意一点,则·的最大值为________.
16、如图,O、A、B是平面上的三点,向量=a,=b,设P为线段AB的
垂直平分线上任意一点,向量=p.若|a|=4,|b|=2,则p·(a-b)等于( )
A.1B.3C.5D.6
七、平面向量与三角函数的交汇
三角函数与向量的结合,常常包括向量与三角函数化简、求值和证明的结合,向量与三角函数的图像与性质的结合等几个方面.
[范例解析]
17、设向量a、b的夹角是x,|a|=,|b|=3,m是b在a方向上的投影,求函数y=|a|m的最大值和最小值.
18、已知向量,且,求
(1)及;
(2)若的最小值是,求实数的值.
19、设a=(cosα,(λ-1)sinα),b=(cosβ,sinβ)是平面上的两个向量,
若向量a+b与a-b互相垂直.
(1)求实数λ的值;
(2)若a·b=,且tanβ=,求tanα的值.
复习提纲——《平面向量》
一、常用结论
(一)向量的几何运算
1、(M为AB中点)
2、数量积:
,在方向上的投影=
3、不等关系:
;
(二)平面向量的坐标运算
1、;2、;
3、;;
4、若,则
(1);
(2);(3);
(4);(5);
(6);(7);
二、对向量夹角的考查()
1、记号:
=;
2、范围:
,;
3、只有非零向量才有夹角概念;作角时两向量必须共起点;
4、.
5、为直角:
;
6、为锐角:
;
7、为钝角:
[范例解析]
1、已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c.
(1)求b和c;
(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m与向量n的夹角的大小.
[解析]
(1)∵a∥b,∴3x-36=0.∴x=12.
∵a⊥c,∴3×4+4y-0=0.∴y=-3.
∴b=(9,12),c=(4,-3).
(2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4),
n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1),
设m,n的夹角为θ,则cosθ=
===-.
∵θ∈[0,π],∴θ=,即m,n的夹角为.
2、已知a=(1,3),b=(1,1),c=a+λb,若a和c的夹角是锐角,则λ的取值范围是( D )
A.B.C.{0}D.∪(0,+∞)
[解析] 由条件得,c=(1+λ,3+λ),从而
⇒λ∈∪(0,+∞).
3、已知a=(1,0),b=(0,1),当k为整数时,向量m=ka+b与n=a+kb的夹角能否为60°?
证明你的结论.
[解析] 假设m、n的夹角能为60°,则cos60°=,∴m·n=|m||n|.①
又∵a=(1,0),b=(0,1),
∴|a|=|b|=1,且a·b=0.
∴m·n=ka2+a·b+k2a·b+kb2=2k,②
|m||n|=·=k2+1.③
由①②③,得2k=(k2+1).∴k2-4k+1=0.
∵该方程无整数解.∴m、n的夹角不能为60°.
三、对向量的模的考查
1、;2、若,则;3、的含义
[范例解析]
4、已知均为单位向量,那么若,则_____________.
答案:
由已知可得,故.
5、设为单位向量,非零向量,若的夹角为,则的最大值等
于________.
【解析】此题考查了向量中最常用的一个结论,即,很多问题中要求向量的模都是通过求向量的平方来求解的。
此题中利用求出,然后求出的表达式,最后利用函数最值的求法即可求出答案;即由已知得到:
,设的最大值为4,所以答案是2。
6、在△ABC中,若对任意k∈R,有|-k|≥||,则△ABC的形状是( B )
A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形
7、在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=45°,点P的斜坐标定义为“若=x0e1+y0e2(其中e1,e2分别为与斜坐标系的x轴,y轴同方向的单位向量),则点P的坐标为(x0,y0)”.若F1(-1,0),F2(1,0),且动点M(x,y)满足||=||,则点M在斜坐标系中的轨迹方程为( )
A.x-y=0B.x+y=0C.x-y=0D.x+y=0
解析:
选D 依题意,=(-1-x,-y)=(-1-x)e1-ye2,
=(1-x,-y)=(1-x)e1-ye2,由||=||,得2=2,
∴[(-1-x)e1-ye2]2=[(1-x)e1-ye2]2,∴4x+4ye1·e2=0.
∵∠xOy=45°,∴e1·e2=,故2x+y=0,即x+y=0.
8、已知向量=(λcosα,λsinα)(λ≠0),=(-sinβ,cosβ),其中O为坐标原点.
(1)若α-β=且λ=1,求向量与的夹角;
(2)若||≥2||对任意实数α,β都成立,求实数λ的取值范围.
解:
(1)当λ=1时,=(cosα,sinα),
故||==1,||==1.
·=cosα·(-sinβ)+sinαcosβ=sin(α-β)=sin=,
故cos〈,〉==.
又因为〈,〉∈[0,π],所以〈,〉=.
(2)=-=(-λcosα-sinβ,-λsinα+cosβ),
故||≥2||对任意实数α,β都成立,即(-λcosα-sinβ)2+(-λsinα+cosβ)2≥4
对任意实数α,β都成立,
整理得λ2+1+2λsin(β-α)≥4对任意实数α,β都成立.
因为-1≤sin(β-α)≤1,所以或
解得λ≥3或λ≤-3.
所以所求实数λ的取值范围为(-∞,-3]∪[3,+∞).
四、对向量共线的考查
1、定理:
若,则存在唯一实数使得(符号代表方向,)
2、共线
[范例解析]
9、已知平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a·b=-6,则的值为( )
A.B.-C.D.-
解析:
选B 由已知得,向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2)反向,3a+2b=0,
即3(x1,y1)+2(x2,y2)=(0,0),得x1=-x2,y1=-y2,故=-.
10、设a、b是不共线的两个非零向量,
(1)若=2a-b,=3a+b,=a-3b,求证:
A、B、C三点共线;
(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值;
(3)设=ma,=nb,=αa+βb,其中m、n、α、β均为实数,m≠0,n≠0,
若M、P、N三点共线,求证:
+=1.
解:
(1)证明:
∵=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,
而=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2,
∴与共线,且有公共端点B,∴A、B、C三点共线.
(2)∵8a+kb与ka+2b共线,∴存在实数λ,使得(8a+kb)=λ(ka+2b
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