高中数学苏教版选修22教学案第2章 21 213 推理案例赏析.docx
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高中数学苏教版选修22教学案第2章21213推理案例赏析
2.1.3推理案例赏析
2.1.4
归纳推理的应用
[例1] 观察如图所示的“三角数阵”:
记第n行的第2个数为an(n≥2,n∈N*),请仔细观察上述“三角数阵”的特征,完成下列各题:
(1)第6行的6个数依次为__________、__________、______________、______________、______________、______________;
(2)依次写出a2、a3、a4、a5;
(3)归纳出an+1与an的关系式.
[思路点拨]
(1)观察数阵,总结规律:
除首末两数外,每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和,得出
(1)的结果.
(2)由数阵可直接写出答案.
(3)写出a3-a2,a4-a3,a5-a4,从而归纳出(3)的结论.
[精解详析]
(1)由数阵可看出,除首末两数外,每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和,且每一行的首末两数都等于行数.
[答案] 6,16,25,25,16,6
(2)a2=2,a3=4,a4=7,a5=11
(3)∵a3=a2+2,a4=a3+3,a5=a4+4,
∴由此归纳:
an+1=an+n.
[一点通] 对于数阵问题的解决方法,既要清楚每行、每列数的特征,又要对上、下行,左、右列间的关系进行研究,找到规律,问题即可迎刃而解了.
1.设[x]表示不超过x的最大整数,如[]=2,[π]=3,[k]=k(k∈N*).
我的发现:
[]+[]+[]=3;
[]+[]+[]+[]+[]=10;
[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=21;
…
通过归纳推理,写出一般性结论_____________________________________________
__________________________________________________________(用含n的式子表示).
解析:
第n行右边第一个数是[],往后是[],[],…,最后一个是[].等号右边是n(2n+1).
答案:
[]+[]+[]+…+[]=n(2n+1)
2.
(1)如图(a)、(b)、(c)、(d)所示为四个平面图形,数一数,每个平面图形各有多少个顶点?
多少条边?
它们将平面围成了多少个区域?
顶点数
边数
区域数
(a)
(b)
(c)
(d)
(2)观察上表,推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系?
(3)现已知某个平面图形有999个顶点,且围成了999个区域,试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边?
解:
(1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为
顶点数
边数
区域数
(a)
3
3
2
(b)
8
12
6
(c)
6
9
5
(d)
10
15
7
(2)观察:
3+2-3=2;8+6-12=2;6+5-9=2;10+7-15=2,
通过观察发现,它们的顶点数V,边数E,区域数F之间的关系为V+F-E=2.
(3)由已知V=999,F=999,代入上述关系式得E=1996,故这个平面图形有1996条边.
类比推理的应用
[例2] 通过计算可得下列等式:
23-13=3×12+3×1+1;
33-23=3×22+3×2+1;
43-33=3×32+3×3+1;
…
(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1.
将以上各等式两边分别相加,得
(n+1)3-13=3(12+22+…+n2)+3(1+2+3+…+n)+n,
即12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1).
类比上述求法,请你求出13+23+33+…+n3的值.
[思路点拨] 类比上面的求法;可分别求出24-14,34-24,44-34,…(n+1)4-n4,然后将各式相加求解.
[精解详析] ∵24-14=4×13+6×12+4×1+1,
34-24=4×23+6×22+4×2+1,
44-34=4×33+6×32+4×3+1,
…
(n+1)4-n4=4×n3+6×n2+4×n+1.
将以上各式两边分别相加,
得(n+1)4-14=4×(13+23+…+n3)+6×(12+22+…+n2)+4×(1+2+…+n)+n
∴13+23+…+n3=·=n2(n+1)2.
[一点通]
(1)解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比,从而产生解题方法的迁移,这是数学学习中很高的境界,需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法.
(2)类比推理的步骤与方法
第一步:
弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别.
第二步:
把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来,也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚.
3.二维空间中圆的一维侧度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,观察发现S′=l;三维空间中球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=πr3,观察发现V′=S.则四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3,猜想其四维测度W=________.
解析:
(2πr4)′=8πr3.
答案:
2πr4
4.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下一个直角三角形,按图所标边长,由勾股定理有:
c2=a2+b2.设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN,如果用S1,S2,S3表示三个侧面的面积,S4表示截面的面积,那么你类比得到的结论是________.
解析:
由于平面图形中的边长应与空间几何体中的面积类比,因此所得到的结论为:
S=S+S+S.
答案:
S=S+S+S
演绎推理的应用
[例3] 已知{an}为等差数列,首项a1>1,公差d>0,n>1且n∈N*.
求证:
lgan+1lgan-1<(lgan)2.
[思路点拨] 对数之积不能直接运算,可由基本不等式转化为对数之和进行运算.
[精解详析] ∵{an}为等差数列,
∴an+1+an-1=2an.
∵d>0,
∴an-1an+1=(an-d)(an+d)=a-d2 ∵a1>1,d>0,∴an=a1+(n-1)d>1. ∴lgan>0. ∴lgan+1·lgan-1≤2 =2<2=(lgan)2, 即lgan+1·lgan-1<(lgan)2. [一点通] 三段论推理的根据,从集合的观点来讲,就是: 若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的子集,那么S中所有元素都具有性质P. 5.如图,棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,B1C⊥A1B. (1)证明: 平面AB1C⊥平面A1BC1; (2)设D是A1C1上的点,且A1B∥平面B1CD,求A1D∶DC1的值. 要求: 写出每一个三段论的大前提、小前提、结论. 解: (1)因为菱形的对角线互相垂直(大前提),侧面BCC1B1是菱形(小前提), 所以B1C⊥BC1(结论). 又线面垂直的判定定理(大前提), B1C⊥A1B,且A1B∩BC1=B(小前提), 所以B1C⊥平面A1BC1(结论). 又面面垂直的判定定理(大前提), B1C⊂平面AB1C,B1C⊥平面A1BC(小前提), 所以平面AB1C⊥平面A1BC1(结论). (2)设BC1交B1C于点E,连接DE,则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线. 根据线面平行的性质定理(大前提),因为A1B∥平面B1CD(小前提),所以A1B∥DE(结论). 又E是BC1的中点,所以D为A1C1的中点,即A1D∶DC1=1∶1. 6.求证: 函数y=是奇函数,且在定义域上是增函数. 证明: y=f(x)==1-, 所以f(x)的定义域为x∈R. f(-x)+f(x)=+ =2- =2- =2- =2-2=0, 即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数. 任取x1,x2∈R,且x1 则f(x1)-f(x2)=- =2 =2·. 因为x1 所以f(x1) 1.通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理,数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理常为我们提供证明的思路和方向. 2.在数学推理活动中常常利用归纳和类比去发现结论,再想办法去证明或否定发现的结论. 一、填空题 1.设k棱柱有f(k)个对角面,则k+1棱柱对角面的个数为f(k+1)=f(k)+________. 解析: k棱柱增加一条侧棱时,则这条侧棱和与之不相邻的k-2条侧棱可构成k-2个对角面,而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面. 所以f(k+1)=f(k)+k-2+1=f(k)+k-1. 答案: k-1 2.如果一个凸多面体是n棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有____条.这些直线中共有f(n)对异面直线,则f(4)=______;f(n)=______.(答案用数字或含n的式子表示) 解析: 所有顶点确定的直线共有: 棱数+底边数+对角线数,即n+n+=. f(4)=4×2+×2=12, f(n)=n(n-2)+×(n-2)=. 答案: 12 3.(陕西高考)已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N*,则f2014(x)的表达式为________. 解析: 由f1(x)=⇒f2(x)=f==;又可得f3(x)=f(f2(x))==,故可猜想f2014(x)=. 答案: 4.对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”: 23= 33= 43= …. 仿此,若m3的“分裂数”中有一个是2015,则m=________. 解析: 根据分裂特点,设最小数为a1, 则ma1+×2=m3, ∴a1=m2-m+1. ∵a1为奇数,又452=2025, ∴猜想m=45. 验证453=91125=. 答案: 45 5.观察以下等式 sin230°+cos290°+sin30°·cos90°=; sin225°+cos285°+sin25°·cos85°=; sin210°+cos270°+sin10°·cos70°=. 推测出反映一般规律的等式: ____________________. 解析: ∵90°-30°=60°,85°-25°=60°,70°-10°=60°, ∴其一般规律为sin2α+cos2(60°+α)+sinαcos(60°+α)=. 答案: sin2α+cos2(60°+α)+sinαcos(60°+α)= 二、解答题 6.试将下列演绎推理写成三段论的形式: (1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,海王星是太阳系中的大行星,所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行; (2)所有导体通电时发热,铁是导体,所以铁通电时发热; (3)一次函数是单调函数,函数y=2x-1是一次函数,所以y=2x-1是单调函数; (4)等差数列的通项公式具有形式an=pn+q(p,q是常数),数列1,2,3…,n是等差数列,所以数列1,2,3,…,n的通项具有an=pn+q的形式. 解: (1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,(大前提) 海王星是太阳系中的大行星,(小前提) 海王星以椭圆形轨道绕太阳运行.(结论) (2)所有导体通电时发热,(大前提) 铁是导体,(小前提) 铁通电时发热.(结论) (3)一次
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