高中数学人教A版选修21 第二章 圆锥曲线与方程 单元测试9.docx
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高中数学人教A版选修21第二章圆锥曲线与方程单元测试9
第二章测试
(时间:
120分钟,满分:
150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)
1.方程+=1所表示的曲线是( )
A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆
C.焦点在x轴上的双曲线D.焦点在y轴上的双曲线
解析 ∵sinθ-1<0,2sinθ+3>0,∴方程表示焦点在y轴上的双曲线.
答案 D
2.双曲线3mx2-my2=3的一个焦点是(0,2),则m的值是( )
A.-1B.1C.-D.
解析 把方程化为标准形式-+=1,则a2=-,b2=-,∴c2=a2+b2=-=4,∴m=-1.
答案 A
3.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是( )
A.(1,+∞)B.(1,2)C.(,1)D.(0,1)
解析 把方程x2+ky2=2化为标准形式+=1,依题意有>2,∴0 答案 D 4.直线y=kx+2与抛物线y2=8x只有一个公共点,则k的值为( ) A.1B.0C.1或0D.1或3 解析 验证知,当k=0时,有⇒适合题意. 当k=1时,有解得也适合题意, ∴k=0或1. 答案 C 5.已知曲线+=1和直线ax+by+1=0(a,b为非零实数)在同一坐标系中,它们的图象可能为( ) A. B. C. D. 解析 直线ax+by+1=0中,与x轴的交点为P(-,0),与y轴的交点为(0,-),在图A,B中,曲线表示椭圆,则a>b>0,直线与坐标轴负半轴相交,图形不符合. 在图C中,a>0,b<0,曲线为双曲线,直线与x轴负半轴相交,与y轴正半轴相交,适合. 答案 C 6.已知F是抛物线y=x2的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF中点的轨迹方程是( ) A.x2=y-B.x2=2y- C.x2=2y-1D.x2=2y-2 解析 由y=x2⇒x2=4y,焦点F(0,1),设PF中点为Q(x,y),P(x0,y0),则 ∴又P(x0,y0)在抛物线上, ∴(2x)2=4(2y-1),即x2=2y-1. 答案 C 7.“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 将方程mx2+ny2=1变形为+=1,它表示焦点在y轴上的椭圆的充要条件是 ⇔⇔m>n>0. 答案 C 8.如图正方体A1B1C1D1-ABCD的侧面AB1内有动点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等,则动点P所在的曲线的形状为( ) 解析 点P到B1的距离等于到AB的距离,符合抛物线的定义.∵点P在正方形ABB1A1内运动,当P在BB1的中点适合,当点P与A1重合时,也适合,因此选C. 答案 C 9.动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过点( ) A.(4,0)B.(2,0) C.(0,2)D.(0,-2) 解析 直线x+2=0是抛物线的准线,又动圆圆心在抛物线上,由抛物线的定义知,动圆必过抛物线的焦点(2,0). 答案 B 10.设F1和F2是双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积为( ) A.1B. C.2D. 解析 由题设知 ②-①2得|PF1|·|PF2|=2. ∴△F1PF2的面积S=|PF1|·|PF2|=1. 答案 A 11.从椭圆+=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是( ) A.B. C.D. 解析 由已知,点P(-c,y)在椭圆上,代入椭圆方程得P.∵AB∥OP,∴kAB=kOP.即-=-,∴b=c.又a2=b2+c2=2c2,∴e2==,e=. 答案 C 12.O为坐标原点,F为抛物线C: y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为( ) A.2B.2 C.2D.4 解析 由y2=4x知,抛物线的焦点F(,0),准线x=-,如图. 由抛物线的定义知|PF|=|PM|, 又|PF|=4,∴xP=3. 代入y2=4x,求得yP=2. ∴S△POF=·|OF|·yP=××2=2. 答案 C 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分,把答案填在题中横线上) 13.已知双曲线C: -=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为________________. 解析 ∵e2===1+=, ∴=,=. ∴双曲线的渐近线方程为y=±x. 答案 y=±x 14.设中心在原点的椭圆与双曲线2x2-2y2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程为________. 解析 双曲线-=1的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).离心率e=.设椭圆的方程为+=1,依题意得∴a2=2,b2=1. 故椭圆方程为+y2=1. 答案 +y2=1 15.设F1,F2是双曲线C: -=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为________. 解析 依题意及双曲线的对称性,不妨设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,点P在双曲线的右支上,由双曲线的定义得 |PF1|-|PF2|=2a, 又|PF1|+|PF2|=6a, 解得|PF1|=4a,|PF2|=2a. 而|F1F2|=2c.∠PF1F2=30°, ∴在△PF1F2中,由余弦定理,得|PF2|2= |PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2, 即4a2=16a2+4c2-2×4a×2c×, 即3a2-2ac+c2=0. 又e=,得e2-2e+3=0, ∴e=. 答案 16.过抛物线y2=4x的焦点,作倾斜角为的直线交抛物线于P,Q两点,O为坐标原点,则△POQ的面积等于__________. 解析 设P(x1,y1),Q(x2,y2),F为抛物线焦点,由得y2+4y-4=0, ∴|y1-y2|= ==4. ∴S△POQ=|OF||y1-y2|=2. 答案 2 三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)求与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距,且离心率为的椭圆的标准方程. 解 把方程4x2+9y2=36写成+=1,则其焦距2c=2,∴c=. 又e==,∴a=5. b2=a2-c2=52-5=20, 故所求椭圆的方程为+=1,或+=1. 18.(12分)已知直线x+y-1=0与椭圆x2+by2=相交于两个不同点,求实数b的取值范围. 解 由得(4b+4)y2-8y+1=0. 因为直线与椭圆相交于不同的两点, 所以,解得b<3,且b≠-1. 又方程x2+by2=表示椭圆,所以b>0,且b≠1. 综上,实数b的取值范围是{b|0<b<3且b≠1}. 19.(12分)已知双曲线中心在原点,且一个焦点为(,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,MN的中点的横坐标为-,求此双曲线的方程. 解 设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),依题意c=,∴方程可以化为-=1, 由得 (7-2a2)x2+2a2x-8a2+a4=0. 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=, ∵=-, ∴=-,解得a2=2. ∴双曲线的方程为-=1. 20.(12分)如图线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0),端点A,B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A,O,B三点作抛物线. (1)求抛物线方程; (2)若·=-1,求m的值. 解 (1)设直线AB为y=k(x-m),抛物线方程为y2=2px. 由消去x,得 ky2-2py-2pkm=0. ∴y1·y2=-2pm. 又∵y1·y2=-2m,∴p=1, ∴抛物线方程为y2=2x. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 则=(x1,y1),=(x2,y2). 则·=x1x2+y1y2=+y1y2=m2-2m. 又·=-1, ∴m2-2m=-1,解得m=1. 21.(12分)已知双曲线x2-y2=4,直线l: y=k(x-1),试讨论实数k的取值范围,使: (1)直线l与双曲线有两个公共点; (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点; (3)直线l与双曲线没有公共点. 解 由消去y得x2-k2(x-1)2=4, 即(1-k2)x2+2k2x-4-k2=0.(*) 当1-k2≠0时,Δ=16-12k2=4(4-3k2). (1)当即-<k<,且k≠±1时,方程(*)有两个不同的实数解; (2)当即k=±时,方程(*)有两个相同的实数解; (3)当即k<-,或k>时,方程(*)无实数解. 而当k=±1时,方程(*)变形为2x-5=0,x=,方程(*)也只有一解. ∴当-<k<-1,或-1<k<1,或1<k<时,直线与双曲线有两个公共点; 当k=±1,或k=±时,直线与双曲线有且只有一个公共点; 当k<-,或k>时,直线与双曲线没有公共点. 22.(12分)如图,在以点O为圆心,|AB|=4为直径的半圆ADB中,OD⊥AB,P是半圆弧上一点,∠POB=30°.曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹,且曲线C过点P. (1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程; (2)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E,F.若△OEF的面积不小于2,求直线l斜率的取值范围. 解 (1)以O为原点,AB,OD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0),D(0,2),P(,1),依题意得 ||MA|-|MB|| =|PA|-|PB| =- =2<|AB|=4, ∴曲线C是以原点为中心,A,B为焦点的双曲线. 设实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c, 则c=2,2a=2, ∴a2=2,b2=c2-a2=2. ∴曲线C的方程为-=1. (2)依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理得(1-k2)x2-4kx-6=0.① ∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E,F, ∴⇒ ∴k∈(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).② 设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得 x1+x2=,x1x2=-,于是 |EF|= = =· =·. 而原点O到直线l的距离d=, ∴S△OEF=d·|EF| =··· =. 若△OEF面积不小于2,即S△OEF≥2,则有 ≥2⇔k4-k2-2≤0, 解得-≤k≤.③ 综合②③知,直线l的斜率的取值范围为 [-,-1)∪(-1,1)∪(1,].
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