对教师教学用书上一道路径最短应用题的研究.docx
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对教师教学用书上一道路径最短应用题的研究
对教师教学用书上一道“路径最短”应用题的研究
新人教版数学八(上)教师教学用书《轴对称》一章的最后两面,有这样一道题及参考答案:
原题 某班举行文艺晚会,桌子摆成两直条(如图1中的AO,BO),AO桌面上摆满了桔子,BO桌面上摆满了糖果,坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果,然后回到座位.请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?
(尺规作图,并写出作法)
【参考答案】分两种情况讨论:
若∠AOB小于,如图2,行走路线为C→E→F→C;若∠AOB等于,从C点沿直线走到O处,再直线返回C处.
分析 笔者认为,此题不需分类,因为题目已给出图形,显然∠AOB是锐角,答案应是唯一的。
若非要分类,显然参考答案遗漏了∠AOB为钝角的情形,也正是参考答案这个分类的提醒,促使笔者曾经对∠AOB为钝角的情形进行了研究,可是未果,后来一直搁浅。
一个偶然的机会,笔者看到《中小学数学》2009年第3期宛平生老师对这个问题的研究成果,使笔者眼前一亮,宛老师方法很新颖,但是笔者细细品味他的证明方法,觉得有不足之处(就图4而言,宛老师的方法需要延长与线段EF相交,但是图4显示的延长线与线段EF有不相交的情况)。
下面,笔者将自己的研究结果展示给读者。
一、当∠AOB为锐角时(如图2)
作法:
①分别作点C关于AO、BO的对称点、.
②连接,交AO、BO分别于点E、F.
③连接CE、CF.
根据轴对称的性质可知,.
∴.
可见线段的长度即为路线C→E→F→C的总长.
如果分别在OA、OB再任取一点、(图略),也可转化为,即为两点间的折线段的长。
根据“两点之间,线段最短”知,线段最短。
∴C→E→F→C即为所求最短的路线,即路线CE+EF+CF最短
二、当∠AOB为直角时(如图3)
作法:
①分别作点C关于AO、BO的对称点、.
②连接,交AO、BO于点O处.
下面,我们有必要证明一下,当时,必过O点.
证明:
由轴对称的性质可知∠1=∠2,∠3=∠4
∴
∴三点在一条直线上,即当时,必过O点.
我们还可以这样理解,图2中的E、O、F三点此时在图3中重合于点O处。
∴当时,从点C沿直线走到O处,再直线返回C处,即从C→O→C即为所求最短的路线.
三、当∠AOB为钝角时(如图4、图6、图7)
如图4,当时,分别作C点关于AO、BO的对称点、.连接,显然与钝角的两边没有交点,可见利用上述两种情形的作图方法在为钝角时不再适用。
看来,直接作图受到了阻隔,那么笔者不妨大胆的猜测一下,当时,其行走路线仍然是C→O→C最短.当然这个猜测结果并不是凭空想象的,而是在前面两种情形的基础上得出的,同时这也符合我们研究数学问题的思想。
研究数学问题,需要大胆猜想,更需要小心验证。
经笔者研究,需要分三种情况证明(在图4、图6、图7中,先连接OC):
(一)当(或)时
证明 如图4,以为例,在OA、OB边上分别任取一点E、F(且都不与O重合),前面我们已分别作C点关于OA、OB的对称点、,连接、、.
由轴对称的性质可知,,,.
当时,即
在中,.
又∵点E是OA边上任意一点.
∴当三点在一条直线上时,有
∴
又∵,
∴
下面,笔者欲证,为了使图4简洁,我们先把这个问题暂放,先来看一看另一个问题:
如图5,P是ΔABC内任意一点,求证:
AB+AC>PB+PC
证明:
延长BP交AC于点E
在ΔABE中,AB+AE>BE,即AB+AE>PB+PE
在ΔPEC中,PE+EC>PC
∴AB+AE+PE+EC>PB+PE+PC
即AB+AC>PB+PC
现在,我们再把视线转移到图4上,把O看作内的任意一点(注:
也正是当时,即,才把O点控制在内),所以同理有
又∵,
∴
∴当时,从点C沿直线走到O处,再直线返回C处,即从C→O→C即为所求最短的路线.
(二)当(或)时
证明 如图6,以为例,在OA、OB边上分别任取一点E、F(且都不与O重合),分别作C点关于OA、OB的对称点、,连接、、.
由轴对称的性质可知,,,
当时,即
∴三点在一条直线上,此时O点在的边上
在中,,即.
又∵,
∴
又∵在中,
∴
又∵
∴.
∴当时,从C→O→C即为所求最短的路线.
(三)当(或)时
证明 如图7,以为例,在OA、OB边上分别任取一点E、F(且都不与O重合),分别作了C点关于OA、OB的对称点、,连接、、.
由轴对称的性质可知,,,
当时,即.
∴此时O点在外,但O在内.
在中,把O看作内的任意一点,利用图5对应题目的结论,同理有
又∵,
∴
又∵在中,
∴
又∵
∴.
∴当时,从C→O→C即为所求最短的路线.
另外,当E、F其中任意一点与O重合,上述结论更容易证明。
请读者验证.
【变式应用】请读者试一试
1.如图,已知牧马营地在P处,每天牧马人要赶着马群先到河边饮水,再带到草地吃草,然后回到营地,请你替牧马人设计出最短的放牧路线.
2.探究:
如图,公路OA、OB呈交叉形状,小镇P处有一个邮局;每天邮递员要到公路OA、OB上取信,
邮箱设在公路旁何处时,邮递员来回一趟所行的路程最短?
为什么?
3.如图:
A为马厩,B为帐篷牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,
再到河边饮马,然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.
4.在锐角∠AOB内有一定点P,试在OA、OB上确定两点C、D,使△PCD的周长最短.
参考文献:
《中小学数学》2009年第3期《不应这样分类》
引文:
《中小学数学》2009年第3期《不应这样分类》
个人简介:
男,39岁,中学一级教师,任教初中数学多年,有一定的教学经验。
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- 关 键 词:
- 教师 教学 书上 一道 路径 应用题 研究