最新北师大版学年数学九年级上册《一元二次方程》单元测试题1及答案解析精品试题Word格式.docx
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11.若
+|n﹣2|=0,且关于x的一元二次方程ax2+mx+n=0有实数根,则a的取值范围是( )
A.a≥8B.a<8且a≠0C.a≤8D.a≤8且a≠0
12.下列方程没有实数根的是( )
A.x2+4x=10B.3x2+8x﹣3=0C.x2﹣2x+3=0D.(x﹣2)(x﹣3)=12
13.一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根,则m应满足的条件是( )
A.m>1B.m=1C.m<1D.m≤1
14.若a满足不等式组
,则关于x的方程(a﹣2)x2﹣(2a﹣1)x+a+
=0的根的情况是( )
C.没有实数根D.以上三种情况都有可能
15.一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是( )
C.没有实数根D.无法确定
16.下列一元二次方程中,有两个相等实数根的是( )
A.x2﹣8=0B.2x2﹣4x+3=0C.9x2+6x+1=0D.5x+2=3x2
17.下列一元二次方程有两个相等实数根的是( )
A.x2﹣2x+1=0B.2x2﹣x+1=0C.4x2﹣2x﹣3=0D.x2﹣6x=0
18.下列方程中,没有实数根的是( )
A.x2﹣4x+4=0B.x2﹣2x+5=0C.x2﹣2x=0D.x2﹣2x﹣3=0
二、填空题(共8小题)
19.已知k>0,且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根,那么k的值等于 .
20.关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根,则m的取值范围是 .
21.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根,则m的取值范围是 .
22.关于x的一元二次方程ax2+bx+
=0有两个相等的实数根,写出一组满足条件的实数a,b的值:
a= ,b= .
23.已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根,则实数a的取值范围是 .
24.若一元二次方程(m﹣1)x2﹣4x﹣5=0没有实数根,则m的取值范围是 .
25.关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根,则实数a的取值范围是 .
26.已知关于x的一元二次方程x2﹣2
x﹣k=0有两个相等的实数根,则k值为 .
三、解答题(共4小题)
27.已知关于x的一元二次方程(x﹣1)(x﹣4)=p2,p为实数.
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)p为何值时,方程有整数解.(直接写出三个,不需说明理由)
28.已知关于x的方程(k﹣1)x2﹣(k﹣1)x+
=0有两个相等的实数根,求k的值.
29.已知关于x的一元二次方程
mx2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根.
(1)求m的值;
(2)解原方程.
30.已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=0.
(1)证明:
不论m为何值时,方程总有实数根;
(2)m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根.
参考答案与试题解析
【考点】根的判别式.
【分析】把a=1,b=﹣4,c=5代入△=b2﹣4ac进行计算,根据计算结果判断方程根的情况.
【解答】解:
∵a=1,b=﹣4,c=5,
∴△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4×
1×
5=﹣4<0,
所以原方程没有实数根.
故选:
D.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2﹣4ac.当△>0,方程有两个不相等的实数根;
当△=0,方程有两个相等的实数根;
当△<0,方程没有实数根.
【专题】计算题.
【分析】分别计算A、B中的判别式的值;
根据判别式的意义进行判断;
利用因式分解法对C进行判断;
根据非负数的性质对D进行判断.
A、△=(﹣1)2﹣4×
1=﹣3<0,方程没有实数根,所以A选项错误;
B、△=12﹣4×
1=﹣3<0,方程没有实数根,所以B选项错误;
C、x﹣1=0或x+2=0,则x1=1,x2=﹣2,所以C选项正确;
D、(x﹣1)2=﹣1,方程左边为非负数,方程右边为0,所以方程没有实数根,所以D选项错误.
C.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;
【专题】判别式法.
【分析】先根据判别式的意义得到△=(﹣3)2﹣4m>0,然后解不等式即可.
根据题意得△=(﹣3)2﹣4m>0,
解得m<
.
B.
【考点】根的判别式;
一次函数的图象.
【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,得到判别式大于0,求出kb的符号,对各个图象进行判断即可.
∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,
∴△=4﹣4(kb+1)>0,
解得kb<0,
A.k>0,b>0,即kb>0,故A不正确;
B.k>0,b<0,即kb<0,故B正确;
C.k<0,b<0,即kb>0,故C不正确;
D.k>0,b=0,即kb=0,故D不正确;
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
一元二次方程的定义.
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac的意义得到m﹣2≠0且△≥0,即22﹣4×
(m﹣2)×
1≥0,然后解不等式组即可得到m的取值范围.
∵关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+2x+1=0有实数根,
∴m﹣2≠0且△≥0,即22﹣4×
1≥0,解得m≤3,
∴m的取值范围是m≤3且m≠2.
【分析】根据方程有两个不相等的实数根,得到根的判别式大于0,即可求出k的范围.
∵方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根,
∴△=4﹣12k>0,
解得:
k<
故选A.
【点评】此题考查了根的判别式,熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键.
【分析】在判断一元二次方程根的情况的问题中,必须满足下列条件:
(1)二次项系数不为零;
(2)在有不相等的实数根时,必须满足△=b2﹣4ac>0
依题意列方程组
,
解得k<1且k≠0.
故选D.
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.
【分析】判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了.
∵a=2,b=﹣5,c=3,
∴△=b2﹣4ac=(﹣5)2﹣4×
2×
3=1>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式,掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(3)△<0⇔方程没有实数根,是解决问题的关键.
【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解,则根的判别式△≥0,据此可以列出关于a的不等式,通过解不等式即可求得a的值.
因为关于x的一元二次方程有实根,
所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0,
解之得a≤1.
故选C.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式.当△>0,方程有两个不相等的实数根;
10.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,则b2﹣4ac满足的条件是( )
【分析】已知一元二次方程的根的情况,就可知根的判别式△=b2﹣4ac值的符号.
∵一元二次方程有两个不相等的实数根,
∴△=b2﹣4ac>0.
【点评】总结:
一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
非负数的性质:
绝对值;
算术平方根;
【分析】先由非负数的性质求出m与n的值,再根据关于x的一元二次方程ax2+mx+n=0有实数根及一元二次方程的定义,即可得判别式△≥0,a≠0,继而可求得a的范围.
∵
+|n﹣2|=0,
∴m﹣8=0,n﹣2=0,
∴m=8,n=2,
∵关于x的一元二次方程ax2+mx+n=0,即ax2+8x+2=0有实数根,
∴△=b2﹣4ac=82﹣4×
a×
2=64﹣8a≥0,
a≤8,
∵方程ax2+8x+2=0是一元二次方程,
∴a≠0,
∴a的范围是:
a≤8且a≠0.
【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识.此题比较简单,注意掌握一元二次方程有实数根,即可得△≥0.同时考查了非负数的性质与一元二次方程的定义.
【分析】分别计算出判别式△=b2﹣4ac的值,然后根据△的意义分别判断即可.
A、方程变形为:
x2+4x﹣10=0,△=42﹣4×
(﹣10)=56>0,所以方程有两个不相等的实数根,故A选项不符合题意;
B、△=82﹣4×
3×
(﹣3)=100>0,所以方程有两个不相等的实数根,故B选项不符合题意;
C、△=(﹣2)2﹣4×
3=﹣8<0,所以方程没有实数根,故C选项符合题意;
D、方程变形为:
x2﹣5x﹣6=0,△=52﹣4×
(﹣6)=49>0,所以方程有两个不相等的实数根,故D选项不符合题意.
【分析】根据根的判别式,令△≥0,建立关于m的不等式,解答即可.
∵方程x2﹣2x+m=0总有实数根,
∴△≥0,
即4﹣4m≥0,
∴﹣4m≥﹣4,
∴m≤1.
【点评】本题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
一元一次方程的解;
解一元一次不等式组.
【分析】求出a的取值范围,表示出已知方程根的判别式,判断得到根的判别式的值小于0,可得出方程没有实数根.
解不等式组
得a<﹣3,
∵△=(2a﹣1)2﹣4(a﹣2)(a+
)=2a+5,
∵a<﹣3,
∴△=2a+5<0,
∴方程(a﹣2)x2﹣(2a﹣1)x+a+
=0没有实数根,
【点评】此题考查了解一元一次不等式组,一元二次方程根的判别式,根的判别式的值大于0,方程有两个不相等的实数根;
根的判别式的值等于0时,方程有两个相等的实数根;
根的判别式的值小于0时,方程无实数根.
【分析】先求出△的值,再判断出其符号即可.
∵△=32﹣4×
1=1>0,
【点评】本题考查的是根的判别式,熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△的关系是解答此题的关键.
【分析】分别计算四个方程的判别式的值,然后根据判别式的意义判断各方程根的情况.
A、x2﹣8=0,
这里a=1,b=0,c=﹣8,
∵△=b2﹣4ac=02﹣4×
(﹣8)=32>0,
∴方程有两个不相等的实数根,故本选项错误;
B、2x2﹣4x+3=0,
这里a=2,b=﹣4,c=3,
∵△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4×
3=﹣8<0,
∴方程没有实数根,故本选项错误;
C、9x2+6x+1=0,
这里a=9,b=6,c=1,
∵△=b2﹣4ac=62﹣4×
9×
1=0,
∴方程有两个相等的实数根,故本选项正确;
D、5x+2=3x2,
3x2﹣5x﹣2=0,
这里a=3,b=﹣5,c=﹣2,
∵△=b2﹣4ac=(﹣5)2﹣4×
(﹣2)=49>0,
【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可.
A、∵△=4﹣4=0,
∴方程x2﹣2x+1=0有两个相等实数根;
B、∵△=1﹣4×
2<0,
∴方程2x2﹣x+1=0无实数根;
C、∵△=4+4×
4×
3=52>0,
∴方程4x2﹣2x﹣3=0有两个不相等实数根;
D、∵△=36>0,
∴方程x2﹣6x=0有两个不相等实数根;
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
【分析】利用判别式分别判定即可得出答案.
A、x2﹣4x+4=0,△=16﹣16=0有相同的根;
B、x2﹣2x+5=0,△=4﹣20<0没有实数根;
C、x2﹣2x=0,△=4﹣0>0有两个不等实数根;
D、x2﹣2x﹣3=0,△=4+12>0有两个不等实数根.
【点评】本题主要考查了根的判别式,解题的关键是熟记判别式的公式.
19.已知k>0,且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根,那么k的值等于 3 .
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根,则根的判别式△=b2﹣4ac=0,据此可列出关于k的等量关系式,即可求得k的值.
∵关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根,
∴△=b2﹣4ac=144﹣4×
3k×
(k+1)=0,
解得k=﹣4或3,
∵k>0,
∴k=3.
故答案为3.
【点评】本题考查了根的判别式,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:
20.关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根,则m的取值范围是 m>
.
【分析】根据方程没有实数根,得到根的判别式小于0列出关于m的不等式,求出不等式的解集即可得到m的范围.
根据方程没有实数根,得到△=b2﹣4ac=1﹣4m<0,
m>
故答案为:
【点评】此题考查了根的判别式,根的判别式大于0,方程有两个不相等的实数根;
根的判别式等于0,方程有两个相等的实数根;
根的判别式小于0,方程没有实数根.
21.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根,则m的取值范围是 m≤1 .
【专题】探究型.
【分析】先根据一元二次方程x2+2x+m=0得出a、b、c的值,再根据方程有实数根列出关于m的不等式,求出m的取值范围即可.
由一元二次方程x2+2x+m=0可知a=1,b=2,c=m,
∵方程有实数根,
∴△=22﹣4m≥0,解得m≤1.
m≤1.
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式,根据题意列出关于m的不等式是解答此题的关键.
a= 4 ,b= 2 .
【专题】开放型.
【分析】由于关于x的一元二次方程ax2+bx+
=0有两个相等的实数根,得到a=b2,找一组满足条件的数据即可.
【解答】关于x的一元二次方程ax2+bx+
=0有两个相等的实数根,
∴△=b2﹣4×
a=b2﹣a=0,
∴a=b2,
当b=2时,a=4,
故b=2,a=4时满足条件.
4,2.
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,熟练掌握判别式的意义是解题的关键.
23.已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根,则实数a的取值范围是 a≤1 .
【分析】由方程有两个实数根,得到根的判别式大于等于0,即可确定出a的范围.
∵方程x2﹣2x+a=0有两个实数根,
∴△=4﹣4a≥0,
a≤1,
a≤1
【点评】此题考查了根的判别式,熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解本题的关键.
24.若一元二次方程(m﹣1)x2﹣4x﹣5=0没有实数根,则m的取值范围是 m<
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