小学数学 流水行船问题 非常完整版教案 例题+练习+答案Word格式文档下载.docx
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16=20(小时).
【巩固】一艘每小时行25千米的客轮,在大运河中顺水航行140千米,水速是每小时3千米,需要行几个小时?
顺水速度为25+3=28(千米/时),需要航行140÷
28=5(小时).
【例题2】甲、乙两港间的水路长208千米,一只船从甲港开往乙港,顺水8小时到达,从乙港返回甲港,逆水13小时到达,求船在静水中的速度和水流速度。
208÷
8=26(千米/小时),逆水速度:
13=16(千米/小时),船速:
(26+16)÷
2=21(千米/小时),水速:
(26—16)÷
2=5(千米/小时)
【巩固】甲乙之间的水路是234千米,一只船从甲港到乙港需9小时,从乙港返回甲港需13小时,问船速和水速各为每小时多少千米?
从甲到乙顺水速度:
234÷
9=26(千米/小时),从乙到甲逆水速度:
13=18(千米/小时),船速是:
(26+18)÷
2=22(千米/小时),水速是:
(26-18)÷
2=4(千米/小时).
【例题3】一位少年短跑选手,顺风跑90米用了10秒,在同样的风速下逆风跑70米,也用了10秒,则在无风时他跑100米要用秒.
本题类似于流水行船问题.
根据题意可知,这个短跑选手的顺风速度为90÷
10=9米/秒,逆风速度为70÷
10=7米/秒,那么他在无风时的速度为(9+7)÷
2=8米/秒.
在无风时跑100米,需要的时间为100÷
8=12.5秒.
【巩固】某船在静水中的速度是每小时15千米,它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时,水速每小时3千米,问从乙地返回甲地需要多少时间?
从甲地到乙地的顺水速度为15+3=18(千米/时),甲、乙两地路程为18×
8=144(千米),从乙地到甲地的逆水速度为15-3=12(千米/时),返回所需要的时间为144÷
12=12(小时).
【例题4】一只小船在静水中的速度为每小时25千米.它在长144千米的河中逆水而行用了8小时.求返回原处需用几个小时?
4.5小时
【巩固】一只小船在静水中速度为每小时30千米.它在长176千米的河中逆水而行用了11小时.求返回原处需用几个小时?
这只船的逆水速度为:
176÷
11=16(千米/时);
水速为:
30-16=14(千米/时);
返回原处所需时间为:
(30=14)=4(小时).
【例题5】一艘轮船在两个港口间航行,水速为每小时6千米,顺水下行需要4小时,返回上行需要7小时.求:
这两个港口之间的距离?
(船速+6)×
4=(船速-6)×
7,可得船速=22,两港之间的距离为:
(22+6)×
4=112千米.
【巩固】甲、乙两船在静水中速度相同,它们同时自河的两个码头相对开出,4小时后相遇.已知水流速度是6千米/时.求:
相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米?
在两船的船速相同的情况下,一船顺水,一船逆水,它们的航程差是什么造成的呢?
不妨设甲船顺水,乙船逆水.甲船的顺水速度=船速+水速,乙船的逆水速度=船速-水速,故:
速度差=(船速+水速)-(船速-水速)=2×
水速,即:
每小时甲船比乙船多走6×
2=12(千米).4小时的距离差为12×
4=48(千米).
【巩固】甲、乙两船在静水中速度相同,它们同时自河的两个码头相对开出,3小时后相遇.已知水流速度是4千米/时.求:
每小时甲船比乙船多走4×
2=8(千米).3小时的距离差为8×
3=24(千米).
【例题6】乙船顺水航行2小时,行了120千米,返回原地用了4小时.甲船顺水航行同一段水路,用了3小时.甲船返回原地比去时多用了几小时?
乙船顺水速度:
2=60(千米/小时).乙船逆水速度:
4=30(千米/小时)。
水流速度:
(60-30)÷
2=15(千米/小时).甲船顺水速度:
12O÷
3=4O(千米/小时)。
甲船逆水速度:
40-2×
15=10(千米/小时).甲船逆水航行时间:
10=12(小时)。
甲船返回原地比去时多用时间:
12-3=9(小时).
【巩固】一只船在河里航行,顺流而下每小时行18千米.已知这只船下行2小时恰好与上行3小时所行的路程相等.求船速和水速.
18×
2÷
3=12(千米/时);
船速为:
(18+12)÷
2=15(千米/时);
水流速度为:
18-15=3(千米/时)
【例题7】船往返于相距180千米的两港之间,顺水而下需用10小时,逆水而上需用15小时。
由于暴雨后水速增加,该船顺水而行只需9小时,那么逆水而行需要几小时?
本题中船在顺水、逆水、静水中的速度以及水流的速度都可以求出.但是由于暴雨的影响,水速发生变化,要求船逆水而行要几小时,必须要先求出水速增加后的逆水速度.
船在静水中的速度是:
(180÷
10+180÷
15)÷
2=15(千米/小时).
暴雨前水流的速度是:
10-180÷
2=3(千米/小时).
暴雨后水流的速度是:
180÷
9-15=5(千米/小时).
暴雨后船逆水而上需用的时间为:
(15-5)=18(小时).
【巩固】两港相距560千米,甲船往返两港需105小时,逆流航行比顺流航行多用了35小时.乙船的静水速度是甲船的静水速度的2倍,那么乙船往返两港需要多少小时?
先求出甲船往返航行的时间分别是:
(105+35)÷
2=70(小时),(105-35)÷
2=35(小时).再求出甲船逆水速度每小时560÷
70=8(千米),顺水速度每小时560÷
35=16(千米),因此甲船在静水中的速度是每小时(16+8)÷
2=12(千米),水流的速度是每小时(16-8)÷
2=4(千米),乙船在静水中的速度是每小时12×
2=24(千米),所以乙船往返一次所需要的时间是560÷
(24+4)+560÷
(24-4)=48(小时).
【巩固】乙两港相距360千米,一艘轮船往返两港需35小时,逆水航行比顺水航行多花了5小时,现在有一艘机帆船,静水中速度是每小时12千米,这艘机帆船往返两港需要多少小时?
轮船逆水航行的时间为(35+5)÷
2=20(小时),顺水航行的时间为20-5=15(小时),轮船逆流速度为360÷
20=18(千米/时),顺流速度为360÷
15=24(千米/时),水速为(24-18)÷
2=3(千米/时),所以机帆船往返两港需要的时间为360÷
(12+3)+360÷
(12-3)=64(小时)
【例题8】一条小河流过A,B,C三镇.A,B两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11千米.B,C两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A,C两镇水路相距50千米,水流速度为每小时1.5千米.某人从A镇上船顺流而下到B镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流而下到C镇,共用8小时.那么A,B两镇间的距离是多少千米?
如下画出示意图
有A→B段顺水的速度为11+1.5=12.5千米/小时,有B→C段顺水的速度为3.5+1.5=5千米/小时.而从A→C全程的行驶时间为8-1=7小时.设AB长x千米,有x/12.5+(50-x)/5=7,解得x=25.所以A,B两镇间的距离是25千米.
【巩固】小明计划上午7时50分到8时10分之间从码头出发划船顺流而下.已知河水流速为1.4千米/小时,船在静水中的划行速度为3千米/小时.规定除第一次划行可不超过30分钟外,其余每次划行均为30分钟,任意两次划行之间都要休息15分钟,中途不能改变方向,只能在某次休息后往回划.如果要求小明必须在11时15分准时返回码头,为了使他划行到下游尽可能远处,他应该在______时______分开始划,划到的最远处距码头_____千米.
由11:
15向回推可得到,船在8:
158:
30、9:
009:
15、9:
4510:
00、10:
3010:
45为小明的休息时间,每一段(15分钟)休息时间,帆船向下游漂流1.4×
15/60=0.35千米,顺流划船每段时间(半小时)行驶(3+1.4)×
0.5=2.2千米,逆流航行每段时间(半小时)休息(3-1.4)×
0.5=0.8千米,因此如果8:
30分以后小明还在顺行的话,那么最后三段划行时间内只能逆流而上2.4千米,不能抵消之前顺流划行和漂流的距离,所以最后四段划船时间都应该为逆流向上划船.后四次共向上划了0.8×
4=3.2千米.后三次休息时间向下游漂流0.35×
3=1.05千米.所以从8:
30到11:
15,最远时向上移动了3.2-1.05=2.15千米.而第一段时间中,小明划船向下游移动了2.15-0.35=1.8千米,共花时间1.8÷
(3+1.4)=9/22小时所以,小明应该在7时50又5/11分开始划,可划到的最远处距离码头2.15千米.
【例题9】轮船用同一速度往返于两码头之间,它顺流而下行了8个小时,逆流而上行了10小时,如果水流速度是每小时3千米,两码头之间的距离是多少千米?
方法一:
由题意可知,(船速+3)×
8=(船速-3)×
10,可得船速=27千米/时,两码头之间的距离为(27+3)×
8=240(千米).
方法二:
由于轮船顺水航行和逆水航行的路程相同,它们用的时间比为8:
10,那么时间小的速度大,因此顺水速度和逆水速度比就是10:
8(由于五年级学生还没学习反比例,此处教师可以渗透比例思想,为以后学习用比例解行程问题做些铺垫),设顺水速度为10份,逆水速度为8份,则水流速度为(10-8)÷
2=1份恰好是3千米/时,所以顺水速度是10×
3=30(千米/时),所以两码头间的距离为30×
【巩固】一艘轮船在两个港口间航行,水速为每小时6千米,顺水下行需要4小时,返回上行需要7小时.求这两个港口之间的距离.
112千米
【例题10】轮船用同一速度往返于两码头之间,在相同时间内如果它顺流而下能行10千米,如果逆流而上能行8千米,如果水流速度是每小时3千米,求顺水、逆水速度
由题意知顺水速度与逆水速度比为10:
8,设顺水速度为10份,逆水速度为8份,则水流速度为(10-8)÷
3=30(千米/时),逆水速度为8×
3=24(千米/时)
【巩固】甲、乙两船分别从A港顺水而下至480千米外的B港,静水中甲船每小时行56千米,乙船每小时行40千米,水速为每小时8千米,乙船出发后1.5小时,甲船才出发,到B港后返回与乙迎面相遇,此处距A港多少千米?
甲船顺水行驶全程需要:
480÷
(56+8)=7.5(小时),乙船顺水行驶全程需要:
(40+8)=10(小时).甲船到达B港时,乙船行驶1.5+7.5=9(小时),还有1小时的路程(48千米)①,即乙船与甲船的相遇路程.甲船逆水与乙船顺水速度相等,故相遇时在相遇路程的中点处②,即距离B港24千米处,此处距离A港480-24=456(千米).
注意:
①关键是求甲船到达B港后乙离A港还有多少距离②解决①后,要观察两船速度关系,马上豁然开朗。
这正是此题巧妙之处,如果不找两船速度关系也能解决问题,但只是繁琐而已,奥数特点就是体现四两拨千斤中的巧劲
板块二、相遇与追及问题
【例题1】A、B两码头间河流长为220千米,甲、乙两船分别从A、B码头同时起航.如果相向而行5小时相遇,如果同向而行55小时甲船追上乙船.求两船在静水中的速度.
相向而行时的速度和等于两船在静水中的速度之和,同向而行时的速度差等于两船在静水中的速度之差,所以,两船在静水中的速度之和为:
220÷
5=44(千米/时),两船在静水中的速度之差为:
220÷
55=4(千米/时),甲船在静水中的速度为:
(44+4)÷
2=24(千米/时),乙船在静水中的速度为:
(44-4)÷
2=20(千米/时).
【巩固】甲、乙两船从相距64千米的A、B两港同时出发相向而行,2小时相遇;
若两船同时同向而行,则甲用16小时赶上乙.问:
甲、乙两船的速度各是多少?
两船的速度和=64÷
2=32(千米/时),两船的速度差=64÷
16=4(千米/时),根据和差问题,可求出甲、乙两船的速度分别为:
18千米/时和14千米/时.
【巩固】A、B两码头间河流长为90千米,甲、乙两船分别从A、B码头同时起航.如果相向而行3小时相遇,如果同向而行15小时甲船追上乙船.求两船在静水中的速度.
90÷
3=30(千米/时),两船在静水中的速度之差为:
15=6(千米/时),甲船在静水中的速度为:
(30+6)÷
2=18(千米/时),乙船在静水中的速度为:
30-18=12(千米/时).
【例题2】甲、乙两艘游艇,静水中甲艇每小时行3.3千米,乙艇每小时行2.1千米.现在甲、乙两游艇于同一时刻相向出发,甲艇从下游上行,乙艇从相距27千米的上游下行,两艇于途中相遇后,又经过4小时,甲艇到达乙艇的出发地.水流速度是每小时千米.
两游艇相向而行时,速度和等于它们在静水中的速度和,所以它们从出发到相遇所用的时间为27÷
(3.3+2.1)=5小时.
相遇后又经过4小时,甲艇到达乙艇的出发地,说明甲艇逆水行驶27千米需要5+4=9小时,那么甲艇的逆水速度为27÷
9=3(千米/小时),则水流速度为3.3-3=0.3(千米/小时).
【巩固】甲、乙两船的船速分别为每小时17千米和每小时13千米.两船先后从同一港口顺水开出,乙船比甲船早出发3小时,如果水速是每小时3千米,问:
甲船开出后几小时能追上乙船?
12小时
【巩固】甲、乙两艘小游艇,静水中甲艇每小时行2.2千米,乙艇每小时行1.4千米.现甲、乙两艘小游艇于同一时刻相向出发,甲艇从下游上行,乙艇从相距18千米的上游下行,两艇于途中相遇后,又经过4小时,甲艇到达乙艇的出发地.问水流速度为每小时多少千米?
两游艇相向而行时,速度和等于它们在静水中的速度和,所以它们从出发到相遇所用的时间为18÷
(2.2+1.4)=5小时.相遇后又经过4小时,甲艇到达乙艇的出发地,说明甲艇逆水行驶18千米需要5+4=9小时,那么甲艇的逆水速度为18÷
9=2(千米/小时),那么水流速度为2.2-2=0.2(千米/小时)
【例题3】甲轮船和自漂水流测试仪同时从上游的A站顺水向下游的B站驶去,与此同时乙轮船自B站出发逆水向A站驶来。
7.2时后乙轮船与自漂水流测试仪相遇。
已知甲轮船与自漂水流测试仪2.5时后相距31.25千米,甲、乙两船航速相等,求A,B两站的距离。
因为测试仪的漂流速度与水流速度相同,所以若水不流动,则7.2时后乙船到达A站,2.5时后甲船距A站31.25千米。
由此求出甲、乙船的航速为31.25÷
2.5=12.5(千米/时)。
A,B两站相距12.5×
7.2=90(千米)。
【例题4】某人畅游长江,逆流而上,在A处丢失一只水壶,他向前又游了20分钟后,才发现丢失了水壶,立即返回追寻,在离A处2千米的地方追到,则他返回寻水壶用了多少分钟?
此人丢失水壶后继续逆流而上20分钟,水壶则顺流而下,两者速度和=此人的逆水速度+水速=此人的静水速度-水速+水速=此人的静水速度,此人与水壶的距离=两者速度和×
时间.此人发现水壶丢失后返回,与水壶一同顺流而下.两者速度差等于此人的静水速度,故等于丢失水壶后至返回追寻前的两者速度和,而追及距离即此人发现水壶丢失时与水壶的距离,所以追及时间等于丢失水壶后至发现丢失并返回追寻的这一段时间,即20分钟.
【巩固】小刚和小强租一条小船,向上游划去,不慎把水壶掉进江中,当他们发现并调过船头时,水壶与船已经相距2千米,假定小船的速度是每小时4千米,水流速度是每小时2千米,那么他们追上水壶需要多少时间?
已知路程差是2千米,船在顺水中的速度是船速+水速,水壶飘流的速度等于水速,所以速度差=船顺水速度-水壶飘流的速度=(船速+水速)-水速=船速.追及时间=路程差÷
船速,追上水壶需要的时间为2÷
4=0.5(小时).
【例题5】某河有相距45千米的上下两港,每天定时有甲乙两船速相同的客轮分别从两港同时出发相向而行,这天甲船从上港出发掉下一物,此物浮于水面顺水漂下,4分钟后与甲船相距1千米,预计乙船出发后几小时可与此物相遇。
物体漂流的速度与水流速度相同,所以甲船与物体的速度差即为甲船本身的船速(水速作用抵消),甲的船速为1÷
1/15=15千米/小时;
乙船与物体是个相遇问题,速度和正好为乙本身的船速,所以相遇时间为:
45÷
15=3小时
【巩固】某河有相距36千米的上、下两码头,每天定时有甲、乙两艘船速相同的客轮分别从两码头同时出发相向而行.一天甲船从上游码头出发时掉下一物,此物浮于水面顺水漂下,5分钟后,与甲船相距2千米.预计乙船出发后几小时可以与此物相遇?
1.5小时
【巩固】一条河上有甲、乙两个码头,甲在乙的上游50千米处。
客船和货船分别从甲、乙两码头出发向上游行驶,两船的静水速度相同且始终保持不变。
客船出发时有一物品从船上落入水中,10分钟后此物距客船5千米。
客船在行驶20千米后折向下游追赶此物,追上时恰好和货船相遇。
求水流的速度。
5÷
1/6=30(千米/小时),所以两处的静水速度均为每小时30千米。
50÷
30=5/3(小时),所以货船与物品相遇需要5/3小时,即两船经过5/3小时候相遇。
由于两船静水速度相同,所以客船行驶20千米后两船仍相距50千米。
(30+30)=5/6(小时),所以客船调头后经过5/6小时两船相遇。
30-20÷
(5/3-5/6)=6(千米/小时),所以水流的速度是每小时6千米。
【例题6】江上有甲、乙两码头,相距15千米,甲码头在乙码头的上游,一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头出发向下游行驶,5小时后货船追上游船。
又行驶了1小时,货船上有一物品落入江中(该物品可以浮在水面上),6分钟后货船上的人发现了,便掉转船头去找,找到时恰好又和游船相遇。
则游船在静水中的速度为每小时多少千米?
此题可以分为几个阶段来考虑。
第一个阶段是一个追及问题。
在货舱追上游船的过程中,两者的追及距离是15千米,共用了5小时,故两者的速度差是15÷
5=3千米。
由于两者都是顺水航行,故在静水中两者的速度差也是3千米。
在紧接着的1个小时中,货船开始领先游船,两者最后相距3×
1=3千米。
这时货船上的东西落入水中,6分钟后货船上的人才发现。
此时货船离落在水中的东西的距离已经是货船的静水速度×
1/10千米,从此时算起,到货船和落入水中的物体相遇,又是一个相遇问题,两者的速度之和刚好等于货船的静水速度,所以这段时间是货船的静水速度*1/10÷
货船的静水速度=1/10小时。
按题意,此时也刚好遇上追上来的游船。
货船开始回追物体时,货船和游船刚好相距3+3*1/10=33/10千米,两者到相遇共用了1/10小时,帮两者的速度和是每小时33/10÷
1/10=33千米,这与它们两在静水中的速度和相等。
又已知在静水中货船比游船每小时快3千米,故游船的速度为每小时(33-3)÷
2=15千米。
【巩固】甲船在静水中的船速是10千米/时,乙船在静水中的船速是20千米/时.两船同时从A港出发逆流而上,水流速度是4千米/时,乙船到B港后立即返回.从出发到两船相遇用了2小时,问:
A,B两港相距多少千米?
乙船逆水时候的速度20-4=16(千米/时),甲船逆水时候的速度10-4=6(千米/时),两船逆水速度比为:
16:
6=8:
3,所以乙船到B港时甲船行了3/8.乙船顺水速度与甲船逆水速度比为:
(20+4):
6=4:
1,乙船返回到两船相遇,乙船行了(1-3/8)×
4/5=1/2,所以甲船2小时共行了1-1/2=1/2,A,B两港相距6×
1/2=24(千米).
板块三、用比例解行程题
(一)对比分析
【例题1】一艘轮船顺流航行120千米,逆流航行80千米共用16时;
顺流航行60千米,逆流航行120千米也用16时。
两次航行都用16时,而第一次比第二次顺流多行60千米,逆流少行40千米,这表明顺流行60千米与逆流行40千米所用的时间相等,即顺流速度是逆流速度的1.5倍。
将第一次航行看成是16时顺流航行了120+80×
1.5=240(千米),由此得到顺流速度为240÷
16=15(千米/时),逆流速度为15÷
1.5=10(千米/时),最后求出水流速度为(15-10)÷
2=2.5(千米/时)。
【巩固】一艘轮船顺流航行80千米,逆流航行48千米共用9小时;
顺流航行64千米,逆流航行96千米共用12小时.求轮船的速度.
轮船顺流航行80千米,逆流航行48千米,共用9小时,相当于顺流航行320千米,逆流航行192千米共用36小时;
顺流航行64千米,逆流航行96千米共用12小时,相当于顺流航行192千米,逆流航行288千米共用36小时;
这样两次航行的时间相同,所以顺流航行320-192=128千米与逆流航行288-192=96千米所用的时间相等,所以顺水速度与逆水速度的比为128:
96=4:
3.将第一次航行看作是顺流航行了80+48÷
3×
4=144千米,可得顺水速度为144÷
9=16(千米/时),逆水速度为16÷
4×
3=12(千米/时),轮船的速度为(16+12)÷
2=14(千米/时)
①由于两次航行的时间不相等,可取两次时间的最小公倍数,化为相等时间的两次航行进行考虑②然后在按例题思路进行解题
【例题2】某人乘船由A地顺流而下到达B地,然后又逆流而上到达同一条河边的C地,共用了3小时.已知船在静水中的速度为每小时8千米,水流的速度为
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