高中数学人教A版选修21常用逻辑用语章末综合测评含答案解析版Word格式.docx
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D.既不充分也不必要条件
5.“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于( )
A.∃x0∈R,使得f(x0)>0成立
B.∃x0∈R,使得f(x0)≤0成立
C.∀x∈R,使得f(x)>0成立
D.∀x∈R,f(x)≤0成立
6.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
7.命题p:
函数y=lg(x2+2x-c)的定义域为R;
命题q:
函数y=lg(x2+2x-c)的值域为R.记命题p为真命题时c的取值集合为A,命题q为真命题时c的取值集合为B,则A∩B=( )
A.∅B.{c|c<
-1}
C.{c|c≥-1}D.R
8.对∀x∈R,kx2-kx-1<0是真命题,则k的取值范围是( )
A.-4≤k≤0B.-4≤k<0
C.-4<k≤0D.-4<k<0
9.已知命题p:
若(x-1)(x-2)≠0,则x≠1且x≠2;
存在实数x0,使2x0<0.下列选项中为真命题的是( )
A.非pB.非p∨q
C.非q∧pD.q
10.设{an}是公比为q的等比数列,则“q>
1”是“{an}为递增数列”的( )
11.已知命题p:
∀x>
0,总有(x+1)ex>
1,则綈p为( )
A.∃x0≤0,使得(x0+1)ex0≤1
B.∃x0>
0,使得(x0+1)ex0≤1
C.∀x>
0,总有(x+1)ex≤1
D.∀x≤0,使得(x+1)ex≤1
12.已知p:
点P在直线y=2x-3上;
q:
点P在直线y=-3x+2上,则使p∧q为真命题的点P的坐标是( )
A.(0,-3)B.(1,2)
C.(1,-1)D.(-1,1)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.命题p:
若a,b∈R,则ab=0是a=0的充分条件,命题q:
函数y=
的定义域是[3,+∞),则“p∨q”“p∧q”“非p”中是真命题的为________.
14.“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是________________,否命题是________________.
15.已知f(x)=x2+2x-m,如果f
(1)>
0是假命题,f
(2)>
0是真命题,则实数m的取值范围是______.
16.给出以下判断:
①命题“负数的平方是正数”不是全称命题;
②命题“∀x∈N,x3>
x2”的否定是“∃x0∈N,使x
>
x
”;
③“b=0”是“函数f(x)=ax2+bx+c为偶函数”的充要条件;
④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题.
其中正确命题的序号是________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)写出下列命题的否定,并判断其真假,同时说明理由.
(1)q:
所有的矩形都是正方形;
(2)r:
∃x0∈R,x
+2x0+2≤0;
(3)s:
至少有一个实数x0,使x
+3=0.
【解】
(1)非q:
至少存在一个矩形不是正方形,真命题.这是由于原命题是假命题.
(2)非r:
∀x∈R,x2+2x+2>
0,真命题.这是由于∀x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>
0恒成立.
(3)非s:
∀x∈R,x3+3≠0,假命题.这是由于当x=-
时,x3+3=0.
18.(本小题满分12分)指出下列命题中,p是q的什么条件?
(1)p:
{x|x>
-2或x<
3};
{x|x2-x-6<
0};
(2)p:
a与b都是奇数;
a+b是偶数;
(3)p:
0<
m<
;
方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根.
【解】
(1)因为{x|x2-x-6<
0}={x|-2<
x<
3},
所以{x|x>
3}
{x|-2<
而{x|-2<
3}⇒{x|x>
3}.
所以p是q的必要不充分条件.
(2)因为a,b都是奇数⇒a+b为偶数,而a+b为偶数
a,b都是奇数,所以p是q的充分不必要条件.
(3)mx2-2x+3=0有两个同号不等实根⇔
⇔
.
所以p是q的充要条件.
19.(本小题满分12分)已知命题p:
不等式2x-x2<
m对一切实数x恒成立,命题q:
m2-2m-3≥0,
如果“非p”与“p∧q”同时为假命题,求实数m的取值范围.【解】 2x-x2=-(x-1)2+1≤1,所以p为真时,
m>
1.由m2-2m-3≥0得m≤-1或m≥3,
所以q为真时,m≤-1或m≥3.
因为“非p”与“p∧q”同时为假命题,
所以p为真命题,q为假命题,所以得
即1<
3,即m的取值范围为(1,3).
20.(本小题满分12分)已知两个命题p:
sinx+cosx>m,q:
x2+mx+1>0,如果对任意x∈R,有p∨q为真,p∧q为假,求实数m的取值范围.
【解】 当命题p是真命题时,
由于x∈R,则sinx+cosx=
sin
≥-
,
所以有m<-
当命题q是真命题时,
由于x∈R,x2+mx+1>0,
则Δ=m2-4<0,解得-2<m<2.
由于p∨q为真,p∧q为假,所以p与q一真一假.
考虑到函数f(x)=x2+mx+1的图象为开口向上的抛物线,对任意的x∈R,x2+mx+1≤0不可能恒成立.所以只能是p为假,q为真,
此时有
解得-
≤m<2,
所以实数m的取值范围是[-
,2).
21.(本小题满分12分)已知命题p:
对数loga(-2t2+7t-5)(a>
0,且a≠1)有意义;
实数t满足不等式t2-(a+3)t+a+2<
0.
(1)若命题p为真,求实数t的取值范围;
(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
【解】
(1)因为命题p为真,则对数的真数-2t2+7t-5>
0,解得1<
t<
所以实数t的取值范围是
(2)因为p是q的充分不必要条件,所以
是不等式t2-(a+3)t+a+2<
0的解集的真子集.
法一 因为方程t2-(a+3)t+a+2=0的两根为1和a+2,
所以只需a+2>
,解得a>
即实数a的取值范围为
法二 令f(t)=t2-(a+3)t+a+2,因为f
(1)=0,
所以只需f
<
0,解得a>
22.(本小题满分12分)设a,b,c为△ABC的三边,求证:
方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°
【证明】 充分性:
∵∠A=90°
∴a2=b2+c2.
于是方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0,
∴x2+2ax+(a+c)(a-c)=0.
∴[x+(a+c)][x+(a-c)]=0.
∴该方程有两根x1=-(a+c),x2=-(a-c),
同样另一方程x2+2cx-b2=0也可化为x2+2cx-(a2-c2)=0,
即[x+(c+a)][x+(c-a)]=0,
∴该方程有两根x3=-(a+c),x4=-(c-a).
可以发现,x1=x3,
∴方程有公共根.
必要性:
设x是方程的公共根,
则
由①+②,得x=-(a+c),x=0(舍去).
代入①并整理,可得a2=b2+c2.
∴∠A=90°
∴结论成立.
【解析】 命题“若p,则q”的逆否命题为“若非q,则非p”.
【答案】 D
【解析】 把全称量词改为存在量词并把结论否定.
【解析】 命题“若p,则q”的逆否命题为:
“若x=1且y=2,则x+y=3”,是真命题,故原命题为真,反之不成立.
【答案】 A
【解析】 当x=2且y=-1时,满足方程x+y-1=0,即点P(2,-1)在直线l上.点P′(0,1)在直线l上,但不满足x=2且y=-1,∴“x=2且y=-1”是“点P(x,y)在直线l上”的充分而不必要条件.
【解析】 “关于x的不等式f(x)>0有解”等价于“存在实数x0,使得f(x0)>0成立”.故选A.
【解析】 若四边形ABCD为菱形,则AC⊥BD,反之,若AC⊥BD,则四边形ABCD不一定是菱形,故选A.
【解析】 命题p为真命题,即x2+2x-c>
0恒成立,则有Δ=4+4c<
0,解得c<
-1,即A={c|c<
-1};
令f(x)=x2+2x-c,命题q为真命题,则f(x)的值域包含(0,+∞).即Δ=4+4c≥0,求得c≥-1,即B={c|c≥-1}.于是A∩B=∅,故选A.
【解析】 由题意知kx2-kx-1<0对任意x∈R恒成立,当k=0时,-1<0恒成立;
当k≠0时,有
即-4<k<0,所以-4<k≤0.
【答案】 C
【解析】 很明显命题p为真命题,所以非p为假命题;
由于函数y=2x,x∈R的值域是(0,+∞),所以q是假命题,所以非q是真命题.所以非p∨q为假命题,非q∧p为真命题,故选C.
【解析】 等比数列{an}为递增数列的充要条件为
或
故“q>
1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件.
【解析】 因为全称命题∀x∈M,p(x)的否定为∃x0∈M,綈p(x),故綈p:
∃x0>
0,使得(x0+1)ex0≤1.
【答案】 B
【解析】 因为p∧q为真命题,所以p,q均为真命题.所以点P为直线y=2x-3与直线y=-3x+2的交点.解方程组
得
即点P的坐标为(1,-1).
【解析】 p为假命题,q为真命题,故p∨q为真命题,非p为真命题.
【答案】 p∨q与非p
【解析】 命题的否定仅否定结论,所以该命题的否定形式是:
末位数字是1或3的整数能被8整除;
而否命题要同时否定原命题的条件和结论,所以否命题是:
末位数字不是1且不是3的整数能被8整除.
【答案】 末位数字是1或3的整数能被8整除 末位数字不是1且不是3的整数能被8整除
【解析】 依题意,
∴3≤m<
8.
【答案】 [3,8)
【解析】 ①②④是假命题,③是真命题.
【答案】 ③
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