二次函数知识点总结及经典习题文档格式.docx
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②y=ax2+k
y
F
k>
o/
//k/o
(0,k)
y最小值=k
y巾/
©
/
\k>
o
*X
\k<
□
y最大值=k
③
y=a(x-h)2
1
XL
.□工工
r
:
bx
ll
x-h
3
直线x=h
(h,0)
h时,y随x的增大而增大
当x=h时,y
x=h
h木
岛
h时,y随x的增大而减小
④
y=a(x-h)2+k
K-h
too
;
*=h
(h,k)
7W?
K
h<
o-1:
M口ho
⑤
y=ax2+bx+c
可化为:
y=a(x+
基)2+
辛;
千十4百.
ix=h
b<
QNc=o
z
直线
b
x=-西
/b
(-五,
4acb2、
4a)
-白时,y随x的增大而增大②当x<
-2时,y随x的增大而减小
当x=--2a时,
y有最小值,
y最小值=
4acb24a
?
>
<
h
iJ一
x=-酉
(-~b,
.2
4acb、
一在时,y随x的增大而减小②当x<
-我时,y随x的增大而增大
当x=-3a时,
y有最大值,
即
y最大值
4acb2
=4a
£
=O
C<
;
八Kz
।
1、11
CMQ
三.二次函数图象的平移
1.平移步骤:
2
⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk,确定其顶点坐标h,k;
⑵保持抛物线yax2的形状不变,将其顶点平移到h,k处,具体平移方法如下:
2.平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;
k值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减(自变量),上加下减(常数项)
温馨提示
二次函数图像间的平移可看作是顶点间的平移,因此只要掌握了顶点是如何平移的,就掌握了二次函
数图像间的平移.
四.二次函数yaxh2k与yax2bxc的比较
22
从解析式上看,yaxhk与yaxbxc是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,
222
b4acbb,4acb
即yax-,其中h一,k.
2a4a2a4a
五.二次函数解析式的三种表示方法
名称
解析式
使用范围
一般式
2
yaxbxc(a0)
已知任意三个点
顶点式
ya(xh)k(a0)
已知顶点(h,k)及另,点
交点式
ya(xx1)(xx2)(a0)
已知与x轴的两个交点及另一个点
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有
抛物线与x轴有交点,即b24ac。
时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形
式可以互化,将顶点式、交点式去括号、合并同类项就可转化为一般式,把一般式配方、因式分解就可转化为顶点式、交点式.
六.二次函数的图象与各项系数之间的关系
抛物线的形状相同,即|a|相同.
2.一次项系数b1由a和对称轴共同决定】
对称轴在y轴的左侧,a,b同号;
对称轴在y轴的右侧,a,b异号.
(左同右异b为0时,对称轴为y轴)
3.常数项c
⑴当c0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;
⑵当c0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;
⑶当c0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.
总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置.
七.二次函数图象(抛物线)与x轴交点情况的判断:
y=ax2+bx+c(aw。
,a、b、c都是常数)
1.占b2-4ac>
0抛物线与x轴有两个交点
2.△=b2-4ac=0抛物线与x轴有一个交点
3.占b2-4ac<
0抛物线与x轴没有交点
①当a0时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有y0;
②当a0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y0.
八.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解之间的关系:
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.因此利用二
次函数图象可求以x为未知数的一元二次方程ax2+bx+c=0的解(从图象上进行判断).
2.二次函数y=ax2+bx+c在x轴上方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c>
0的解;
在x轴下方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c<
0的解.
九.二次函数的应用
刹车距离
二次函数应用何时获得最大利润
最大面积是多少
☆☆二次函数抛物线简单的图形变换^翁
(1)顶点式【ya(xh)k(aw°
)]
a
顶点(h,k)
平移
JJ
左加右减上加下减
对
称
关于x轴对称
-a
(h,-k)
关于y轴对称
(-h,k)
关于原点对称
(-h,-k)
旋转(绕顶点旋转180°
)
(h,k)
(2)一般式【yaxbxc(aw°
①平移:
如将二次函数yaxbxc向右平移m(m>
0)个单位,再向下平移n(n>
0)个单位,得到
222,
ya(xm)b(xm)cnax(2amb)xambmcn
②对称
a、b、c的变化
解析式变化
a-—a;
b-—b;
c一-c
y=ax2+bx+cfy=-ax2-bx-c
a—不变;
b-—b;
c—不
变
y=ax2+bx+cfy=ax2-bx+c
b—M、变;
c-—c
y=ax2+bx+cfy=-ax2+bx-c
注:
无论是平移、轴对称还是旋转,最好先把二次函数化成顶点式,然后再根据需要进行求解
二次函数对应练习试题
.选择题
.二次函数yx4x7的顶点坐标是()
一..一2一一k..
3.函数ykxk和y—(k0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的()
x
2
.把抛物线y2x向上平移1个单位,得到的抛物线是()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
5.方程2xx22的正根的个数为()
B.y2(x1)C.y2x1D.y
8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为(
A.yxx2B.yxx2
2八_2c2_32c
C.yxx2或yxx2D.yxx2或yxx2
二.填空题
9.二次函数yxbx3的对称轴是x2,则b.
10.已知抛物线y=-2(x+3)2+5,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是.
11.一个函数具有下列性质:
①图象过点(一1,2),②当x<
0时,函数值y随自变量x的增大而增大;
满足上述两条性质的函数的解析式是(只写一个即可).
一一__2
12.抛物线y2(x2)6的顶点为C,已知直线ykx3过点C,则这条直线与两坐标轴所围成的
三角形面积为.
13.二次函数y2x4x1的图象是由y2xbxc的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,贝Ub=,c=.
14.如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,在线段AB上离中心M处5米的地方,桥的高度是(兀取3.14).
三.解答题:
5
15.已知二次函数图象的对称轴是x30,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0,-).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0?
(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大?
口
第15题图
12,一
16.某种爆竹点燃后,其上升图度h(米)和时间t(秒)符合关系式hv0t-gt(0<
tW2),其中重
力加速度g以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以vo=20米/秒的初速度上升,
(1)这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地15米?
(2)在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内,判断爆竹是上升,或是下降,并说明理由^
18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结
算,未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时,月销售量为45吨.该建材店为提高经营利润,准
备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现:
当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7.5吨.综
合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为x(元),该
经销店的月利润为y(元).
(1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量;
(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围);
(3)该建材店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元?
(4)小静说:
“当月利润最大时,月销售额也最大.”你认为对吗?
请说明理由.
19.某商场试销一种成本为60元/件的T恤,规定试销期间单价不低于成本单价,又获利不得高
于40%,经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元/件)符合一次函数y=kx+b,且x=70
时,y=50;
x=80时,y=40;
(1)求出一次函数y=kx+b的解析式
(2)若该商场获得利润为w元,试写出利润w与销售单价x之间的关系式,销售单价定为多少
时,商场可获得最大利润,最大利润是多少?
二次函数应用题训练
1.心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(分)之间满足函数关系:
y
=-0.1x2+2.6x+43(0<
x<
30).
(1)当x在什么范围内时,学生的接受能力逐步增强?
当x在什么范围内时,学生的接受能力
逐步减弱?
(2)第10分钟时,学生的接受能力是多少?
(3)第几分钟时,学生的接受能力最强?
2.如图,已知4ABC是一等腰三角形铁板余料淇中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在4ABC上截出一
矩形零件DEFG,使EF在BC上,点D、G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少?
3.已知锐角△ABC中,边BC长为12,高AD长为8
(1)如图,矩形EFGH的边GH在BC边上,其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上,EF交AD于点K
①求生的值
AK
②设EH=x,矩形EFGH的面积为S,求S与x的函数关系式,并求S的最大值
(2)若ABAC,正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上,另两个顶点分别在△ABC的另两边上,直接写
出正方形PQMN的边长
4.如图,MBC中,/B=90°
AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始,沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动;
点Q从点B开始,沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动.如果P.Q同时出发,问经过几秒钟^PBQ的面积
最大?
最大面积是多少?
5.如图,隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成,矩形的长BC为8m,宽AB为2m,以BC所在的直线
为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系.y轴是抛物线的对称轴,顶点E到坐标原点O的距离
为6m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)一辆货运卡车高4.5m,宽2.4m,它能通过该隧道吗?
⑶如果该隧道内设双行道,为了安全起见,在隧道正中间设有0.4m的隔离带,则该辆货运卡车还能通过隧道
吗?
【举一反三】如图,隧道的截面由圆弧AED和矩形ABCD构成,矩形的长BC为12m,宽AB为3m,隧道的顶
端E(圆弧AED的中点)高出道路(BC)7m.
求圆弧AED所在圆的半径
如果该隧道内设双行道,现有一辆超高货运卡车高6.5m,宽2.3m,问这辆货运卡车能否通过该隧道
6.如图,一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,
达到最大高度3.5米,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的表达式;
(2)该运动员身高1.8米,在这次跳投中,球在头顶上方0.25米处出手,问:
球出手时,他跳离地面的高度
是多少.
50m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡
7.如图,要建一个长方形养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用
场,设它的长度为xm.
(1)要使鸡场面积最大,鸡场的长度应为多少m?
(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,鸡场的长应为多少m?
比较
(1)
(2)的
结果,你能得到什么结论?
8.某商场以每件20元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)
满足关系:
m=140-2x.
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式;
(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?
最大销售利润为多少?
c的图象如图所示,则点(ac,bc)在
2.
axbx
A.第
bxc的图象如图所示
D.3
A.ac<
B.a-b+c>
C.b=-4aD.关于x的方程ax2+bx+c=0的根是xi=-1,x2=5
8.已知二次函数y=ax2+bx+c(aw0)的图象如图所示,有下列结论:
①b2-4ac>
0;
②abc>
③8a+c>
④9a+3b+c<
0其中,正确结论的个数是(
A.1
B.2
C.3
D.4
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