111集合及其表示方法新教材教师用书Word下载.docx
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自然语言、
列举法、
描述法、
“区间”(以及后面将要学习的维恩图法和数轴表示法等直观表示方法).
(1)列举法:
把集合中的元素
一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔),并写在大括号内,以此来表示集合的方法称为列举法.
(2)描述法:
如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有这个性质,则性质p(x)称为集合A的一个
特征性质.此时,集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}.这种表示集合的方法,称为特征性质描述法,简称为描述法.
知识点八区间
实数集R可以用区间表示为
(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.我们可以把满足x≥a,x>
a,x≤b,x<
b的实数x的集合分别表示为
[a,+∞),(a,+∞),(-∞,b],(-∞,b).
可以看出,区间实质上是一类特殊数集(即由数轴某一段上所有点对应的实数组成的集合)的符号表示;
例如,大于1且小于10的所有自然数组成的集合就不能用区间(1,10)表示.
【新知拓展】
1.元素和集合关系的判断
(1)直接法:
如果集合中的元素是直接给出的,只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.此时应先明确集合是由哪些元素构成的.
(2)推理法:
对于某些不便直接表示的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时应先明确已知集合的元素具有什么特征,即该集合中元素要满足哪些条件.
2.集合的三个特性
(1)描述性:
“集合”是一个原始的不加定义的概念,它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明.
(2)整体性:
集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.
(3)广泛性:
组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程,也可以是人或物,甚至一个集合也可以是某集合的一个元素.
3.使用列举法表示集合时需注意的几点
(1)元素之间用“,”隔开;
(2)元素不重复,满足元素的互异性;
(3)元素无顺序,满足元素的无序性;
(4)对于含较多元素的集合,如果构成该集合的元素有明显规律,可用列举法,但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号.
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)某校高一年级16岁以下的学生能构成集合.( )
(2)已知A是一个确定的集合,a是任一元素,要么a∈A,要么a∉A,二者必居其一且只居其一.( )
(3)对于数集A={1,2,x2},若x∈A,则x=0.( )
(4)对于区间[2a,a+1],必有a<
0.( )
(5)集合{y|y=x2,x∈R}与{s|s=t2,t∈R}的元素完全相同.( )
答案
(1)√
(2)√ (3)×
(4)×
(5)√
2.做一做
(1)下列所给的对象能组成集合的是( )
A.“金砖国家”成员国B.接近1的数
C.著名的科学家D.漂亮的鲜花
(2)用适当的符号(∈,∉)填空.
0________∅,0________{0},0________N,
-2________N*,
________Z,
________Q,
π________R.
(3)不等式2x-1≥3的解集可以用区间表示为________.
答案
(1)A
(2)∉ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ ∈
(3)[2,+∞)
题型一集合概念的理解
例1 下列所给的对象能构成集合的是________.
①所有的正三角形;
②高一数学必修第一册课本上的所有难题;
③比较接近1的正数全体;
④某校高一年级的全体女生;
⑤平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点的集合;
⑥参加2019年世乒赛的年轻运动员;
⑦a,b,a,c.
[解析] ①能构成集合.其中的元素需满足三条边相等.
②不能构成集合.因“难题”的标准是模糊的,不确定的,故不能构成集合.
③不能构成集合.因“比较接近1”的标准不明确,所以元素不确定,故不能构成集合.
④能构成集合.其中的元素是“高一年级的全体女生”.
⑤能构成集合.其中的元素是“到坐标原点的距离等于1的点”.
⑥不能构成集合.因为“年轻”的标准是模糊的,不确定的,故不能构成集合.
⑦不能构成集合.因为两个a是重复的,不符合集合元素的互异性.
[答案] ①④⑤
金版点睛
判断一组对象能否构成集合的方法
(1)关键:
看是否给出一个明确的标准,使得对于任何一个对象能按此标准确定它是不是给定集合的元素.
(2)切入点:
解答此类问题的切入点是集合元素的特性,即确定性、互异性和无序性.
判断下列说法是否正确?
并说明理由.
(1)大于3的所有自然数组成一个集合;
(2)未来世界的高科技产品构成一个集合;
(3)1,0.5,
,
组成的集合含有四个元素;
(4)出席2019年全国两会的所有参会代表组成一个集合.
解
(1)中的对象是确定的,互异的,所以可构成一个集合,故正确.
(2)中的“高科技”标准是不确定的,所以不能构成集合,故错误.
(3)中由于0.5=
,不符合集合中元素的互异性,故错误.
(4)中的对象是确定的,所以可以构成一个集合,故正确.
题型二元素与集合关系的判断与应用
例2
(1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R;
②
∉Q;
③0∈N*;
④|-4|∉N*.
A.1B.2C.3D.4
(2)集合A中的元素x满足
∈N,x∈N,则集合A中的元素为________.
[解析]
(1)∵π是实数,
是无理数,∴①②正确;
∵N*表示正整数集,而0不是正整数,故③不正确;
又|-4|=4是正整数,故④不正确,∴正确的共有2个.
(2)∵
∈N,x∈N,∴
即
∴0≤x<
6,∴x=0,1,2,3,4,5.
当x分别为0,3,4,5时,
相应的值分别为1,2,3,6,也是自然数,故填0,3,4,5.
[答案]
(1)B
(2)0,3,4,5
1.常用数集之间的关系
2.确定集合中元素的三个注意点
(1)判断集合中元素的个数时,注意集合中的元素必须满足互异性.
(2)集合中的元素各不相同,也就是说集合中的元素一定要满足互异性.
(3)若集合中的元素含有参数,要抓住集合中元素的互异性,采用分类讨论的方法进行研究.
(1)用符号“∈”或“∉”填空.
①0________N*;
②1________N;
③1.5________Z;
④2
________Q;
⑤4+
________R;
⑥若x2+1=0,则x________R.
(2)设x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.
①求实数x应满足的条件;
②若-2∈A,求实数x的值.
答案
(1)①∉ ②∈ ③∉ ④∉ ⑤∈ ⑥∉
(2)见解析
解析
(1)①∵0不是正整数,∴0∉N*.
②∵1是自然数,∴1∈N.
③∵1.5是小数,不是整数,∴1.5∉Z.
④∵2
是无理数,∴2
∉Q.
⑤∵4+
是无理数,无理数是实数,∴4+
∈R.
⑥∵满足x2+1=0的实数不存在,
∴x为非实数,∴x∉R.
(2)①根据集合元素的互异性,可知
即x≠0,且x≠3且x≠-1.
②∵x2-2x=(x-1)2-1≥-1,且-2∈A,∴x=-2.
题型三集合中元素的特性
例3 已知集合A有三个元素:
a-3,2a-1,a2+1,集合B也有三个元素:
0,1,x.
(1)若-3∈A,求a的值;
(2)若x2∈B,求实数x的值.
[解]
(1)由-3∈A且a2+1≥1,可知a-3=-3或2a-1=-3,
当a-3=-3时,a=0;
当2a-1=-3时,a=-1.
经检验,0与-1都符合要求.
得a=0或-1.
(2)当x=0,1,-1时,都有x2∈B,
但考虑到集合元素的互异性,x≠0,x≠1,故x=-1.
利用集合元素互异性求参数问题
(1)根据集合中元素的确定性,可以解出参数的所有可能值,再根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验.(也是本讲易错问题)
(2)利用集合中元素的特性解题时,要注意分类讨论思想的应用.
已知集合A包含三个元素:
a-2,2a2+5a,12,且-3∈A,求a的值.
解 因为A包含三个元素a-2,2a2+5a,12,
且-3∈A,所以a-2=-3或2a2+5a=-3,
解得a=-1或a=-
.
当a=-1时,A中三个元素为:
-3,-3,12,不符合集合中元素的互异性,舍去.
当a=-
时,A中三个元素为:
-
,-3,12,满足题意.故a=-
题型四集合的分类
例4 下列各组对象能否构成集合?
若能,请指出它们是有限集、无限集,还是空集.
(1)非负奇数;
(2)小于18的既是正奇数又是质数的数;
(3)在平面直角坐标系中所有第三象限的点;
(4)在实数范围内方程(x2-1)(x2+2x+1)=0的解集;
(5)在实数范围内方程组
的解构成的集合.
[解]
(1)能构成集合,是无限集.
(2)小于18的质数是2,3,5,7,11,13,17.只有2是偶数,其余的都是正奇数,所以能构成集合,是有限集.
(3)第三象限的点的横坐标和纵坐标都小于0,能构成集合,是无限集.
(4)能构成集合,注意集合中元素的互异性,集合中的元素是-1,1,是有限集.
(5)由x2-x+1=0的判别式Δ=-3<
0,方程无实根,由此可知方程组
无解,能构成集合,是空集.
集合的分类方法
判断集合是有限集,还是无限集,关键在于弄清集合中元素的构成,从而确定集合中元素的个数.
指出下列各组对象是否能组成集合,若能组成集合,则指出集合是有限集、无限集,还是空集.
(1)平方等于1的数;
(2)所有的矩形;
(3)平面直角坐标系中第二象限的点;
(4)被3除余数是1的正数;
(5)平方后等于-3的实数;
(6)15的正约数.
解
(1)中对象能组成集合,它是一个有限集;
(2)中对象能组成集合,它是一个无限集;
(3)中对象能组成集合,它是一个无限集;
(4)中对象能组成集合,它是一个无限集;
(5)中对象能组成集合,它是一个空集;
(6)中对象能组成集合,它是一个有限集.
题型五用列举法表示集合
例5 用列举法表示下列集合:
(1)方程
=0的所有实数根组成的集合;
(2)不大于10的质数集;
(3)一次函数y=x与y=2x-1图像的交点组成的集合.
[解]
(1)方程
=0的实数根为2,
故其实数根组成的集合为{2}.
(2)不大于10的质数有2,3,5,7,故不大于10的质数集为{2,3,5,7}.
(3)由
解得
故一次函数y=x与y=2x-1图像的交点组成的集合为{(1,1)}.
用列举法表示集合应注意的三点
(1)应先弄清集合中的元素是什么,是数还是点,还是其他元素.
(2)集合中的元素一定要写全,但不能重复.
(3)若集合中的元素是点,则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
用列举法表示下列集合:
(1)不等式组
的整数解组成的集合;
(2)式子
+
(a≠0,b≠0)的所有值组成的集合.
解
(1)由
得3<
x≤6,
又x为整数,故x的取值为4,5,6,组成的集合为{4,5,6}.
(2)∵a≠0,b≠0,
∴a与b可能同号也可能异号,则:
①当a>
0,b>
0时,
=2;
②当a<
0,b<
=-2;
③当a>
0或a<
=0.
故所有值组成的集合为{-2,0,2}.
题型六用描述法表示集合
例6 用描述法表示下列集合:
(1)坐标平面内,不在第一、三象限的点的集合;
(2)所有被3除余1的整数的集合;
(3)使y=
有意义的实数x的集合.
[解]
(1)因为不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上,所以坐标平面内,不在第一、三象限的点的集合为{(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}.
(2)因为被3除余1的整数可表示为3n+1,n∈Z,所以所有被3除余1的整数的集合为{x|x=3n+1,n∈Z}.
(3)要使y=
有意义,
则x2+x-6≠0.
由x2+x-6=0,得x1=2,x2=-3.
所以使y=
有意义的实数x的集合为{x|x≠2且x≠-3,x∈R}.
用描述法表示集合的注意点
(1)用描述法表示集合,首先应弄清集合的属性,是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,而点集则用一个有序数对来表示.
(2)用描述法表示集合时,若描述部分出现元素记号以外的字母,要对新字母说明其含义或取值范围.
(3)多层描述时,应当准确使用“且”和“或”,所有描述的内容都要写在集合内.
试用描述法表示下列集合:
(1)方程x2-x-2=0的解集;
(2)大于-1且小于7的所有整数组成的集合.
解
(1)方程x2-x-2=0的解可以用x表示,它满足的条件是x2-x-2=0,
因此,方程的解集用描述法表示为{x∈R|x2-x-2=0}.
(2)大于-1且小于7的整数可以用x表示,
它满足的条件是x∈Z,且-1<
x<
7,
因此,该集合用描述法表示为{x∈Z|-1<
7}.
题型七列举法和描述法的综合运用
例7 集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.
[解] ①当k=0时,原方程为16-8x=0,
∴x=2,此时A={2},符合题意.
②当k≠0时,由集合A中只有一个元素,
∴方程kx2-8x+16=0有两个相等实根.
即Δ=64-64k=0,即k=1,从而x1=x2=4,
∴集合A={4}.
综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};
当k=1时,A={4}.
[条件探究] 把本例条件“只有一个元素”改为“有两个元素”,求实数k取值范围的集合.
解 由题意可知方程kx2-8x+16=0有两个不等的实根.∴
解得k<1且k≠0.
∴k的取值范围的集合为{k|k<1且k≠0}.
分类讨论思想在集合中的应用
(1)①本题在求解过程中,常因忽略讨论k是否为0而漏解.②由kx2-8x+16=0是否为一元二次方程而分k=0和k≠0两种情况,注意做到不重不漏.
(2)解答与集合描述法有关的问题时,明确集合中的代表元素及其共同特征是解题的切入点.
(1)设集合B=
①试判断元素1,2与集合B的关系;
②用列举法表示集合B.
(2)已知集合A={x|x2-ax+b=0},若A={2,3},求a,b的值.
解
(1)①当x=1时,
=2∈N.
当x=2时,
=
∉N.所以1∈B,2∉B.
②∵
∈N,x∈N,∴2+x只能取2,3,6,
∴x只能取0,1,4.∴B={0,1,4}.
(2)由A={2,3}知,方程x2-ax+b=0的两根为2,3,由根与系数的关系,得
因此a=5,b=6.
题型八集合中的新定义问题
例8 已知集合A={1,2,4},则集合B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为( )
A.3B.6C.8D.9
[解析] 根据已知条件,列表如下:
由上表可知,B中的元素有9个,故选D.
[答案] D
本例借助表格语言,运用列举法求解.表格语言是常用的数学语言,表达问题清晰,明了;
列举法是分析问题的重要的数学方法,通过“列举”直接解决问题或发现问题的规律,此方法通常配合图表(含树形图)使用.
定义A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B},设A={1,2},B={0,2},则集合A*B中的所有元素之和为( )
A.0B.2C.3D.6
答案 D
解析 根据已知条件,列表如下:
根据集合中元素的互异性,由上表可知A*B={0,2,4},故集合A*B中所有元素之和为0+2+4=6,故选D.
1.下列所给的对象不能组成集合的是( )
A.我国古代的四大发明
B.二元一次方程x+y=1的解
C.我班年龄较小的同学
D.平面内到定点距离等于定长的点
答案 C
解析 C项中“年龄较小的同学”的标准不明确,不符合确定性.故选C.
2.已知集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A时,有6-a∈A,则a为( )
A.2B.2或4C.4D.0
答案 B
解析 集合A中含有三个元素2,4,6,且当a∈A时,有6-a∈A.当a=2∈A时,6-a=4∈A,∴a=2符合题意;
当a=4∈A时,6-a=2∈A,∴a=4符合题意;
当a=6∈A时,6-a=0∉A,综上所述,a=2或4.故选B.
3.由实数-a,a,|a|,
所组成的集合最多含有的元素个数是( )
解析 对a进行分类讨论:
①当a=0时,四个数都为0,只含有一个元素;
②当a≠0时,含有两个元素a,-a,所以集合中最多含有2个元素.故选B.
4.用适当符号(∈,∉)填空.
(1)(1,3)________{(x,y)|y=2x+1};
(2)2________{m|m=2(n-1),n∈Z}.
答案
(1)∈
(2)∈
解析
(1)当x=1时,y=2×
1+1=3,故(1,3)∈{(x,y)|y=2x+1}.
(2)当n=2∈Z时,m=2×
(2-1)=2,故2∈{m|m=2(n-1),n∈Z}.
5.设a∈R,关于x的方程(x-1)(x-a)=0的解集为A,试分别用描述法和列举法表示集合A.
解 A={x|(x-1)(x-a)=0},当a=1时,A={1};
当a≠1时,A={1,a}.
A级:
“四基”巩固训练
一、选择题
1.已知集合S={a,b,c}中的三个元素是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是( )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.等腰三角形
解析 因为集合S={a,b,c}中的元素是△ABC的三边长,由集合元素的互异性可知a,b,c互不相等,所以△ABC一定不是等腰三角形.故选D.
2.下列集合的表示方法正确的是( )
A.第二、四象限内的点集可表示为{(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}
B.不等式x-1<4的解集为{x<5}
C.{全体整数}
D.实数集可表示为R
解析 A中应是xy<
0;
B中的本意是想用描述法表示,但不符合描述法的规范格式,缺少了竖线和竖线前面的代表元素x,应为{x|x<
5};
C中的“{ }”与“全体”意思重复.故选D.
3.下列集合恰有两个元素的是( )
A.{x2-x=0}B.{x|y=x2-x}
C.{y|y2-y=0}D.{y|y=x2-x}
解析 A为一个方程集,只有一个元素;
B为方程y=x2-x的定义域,有无数个元素;
C为方程y2-y=0的解,有0,1两个元素;
D为函数y=x2-x的值域,有无数个元素.故选C.
4.已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1B.3C.5D.9
根据集合中元素的互异性,由上表可知B={0,-1,-2,1,2},因此集合B中共含有5个元素.故选C.
5.若2∉{x|x-a>0},则实数a的取值范围是( )
A.a≠2B.a>2C.a≥2D.a=2
解析 因为2∉{x|x-a>
0},所以2不满足不等式x-a>
0,即满足不等式x-a≤0,所以2-a≤0,即a≥2,故选C.
二、填空题
6.若A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},则用列举法表示B=________.
答案 {4,9,16}
解析 由题意,A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},依次计算出B中元素,用列举法表示可得B={4,9,16},故答案为{4,9,16}.
7.已知集合A={x|ax2-3x-4=0,x∈R},若A中至多有一个元素,则实数a的取值范围是________.
答案 a=0或a≤-
解析 当a=0时,A={x|x=-
};
当a≠0时,关于x的方程ax2-3x-4=0应有两个相等的实数根或无实数根,所以Δ=9+16a≤0,即a≤-
.故所求的a的取值范围是a=0或a≤-
8.已知集合A中的元素均为整数,对于k∈A,如果k-1∉A且k+1∉A,那么称k是A的一个“孤立元”.给定集合S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个.
答案 6
解析 根据“孤立元”的定义,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合为{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8},共有6个.故答案为6.
三、解答题
9.用适当的方法表示下列集合:
(1)绝对值不大于3的偶数的集合;
(2)被3除余1的正整数的集合;
(3)一次函数y=2x-3图像上所有点的集合;
(4)方程组
的解集.
解
(1){-2,0,2}.
(2){m|m=3n+1,n∈N}.
(3){(x,y)|y=2x-3}.
(4){(0,1)}.
10.已知集合A={a+3,(a+1)2,a2+2a+2},若1∈A,求实数a的值.
解 ①若a
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