第四章选修3课程的作用和定位.docx

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第四章选修3课程的作用和定位

第四章选修3课程的作用和定位

第一节选修3系列课程的作用

对于系列3课程的定位和作用，“标准”中已讲得很清楚：

“系列3和系列4是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生设置的，所涉的内容都是数学的基础性内容，反映了某些重要的数学思想。

有些专题是中学课程某些内容的延伸，有些专题是通过典型实例介绍数学的一些应用方法。

这些专题的学习有利于学生的终身发展，有利于扩展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识，有助于学生进一步打好数学基础，提高应用意识。

”

“专题力求深入浅出、通俗易懂，进一步提高学生发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力，让学生掌握和体会一些重要的概念、结论和思想方法，体会数学的作用，发展应用意识。

”

“系列3所涉及的内容都是基础性的数学内容，不仅应鼓励那些希望在理工、经济等方面发展的学生积极选修，同时也应鼓励那些希望在人文、社会科学方面发展的学生选修这些课程。

”

另外，《标准》对系列3课程建设、教学方式、评价方式等，都给出了具体的说明，这里就不一一重复了。

在系列3教学中应该注意的几个问题：

系列3是基础。

系列3不是学习大学数学的预备课程，也不是为将来准备进入数学系学习的学生做准备。

在系列3的教学中，应该把重点放在介绍基本的数学思想。

在系列3的教学中，要不断地开发资源，把难的东西变容易，用具体来反映一般，用直观来反映抽象。

系列3课程是不进入高考的课程，但是学习这部分课程对于提高数学素养、培养学生解决问题的能力和激发学生学习数学的兴趣是十分有用的。

各个学校可以按照各自的情况有选择性地逐步开设这些专题。

下面我们按专题介绍：

背景，知识结构和内容定位，重、难点定位，教学要求，参考文献等。

第二节选修3各专题的定位和教学要求

2.1数学史选讲

一、背景

每一个学生从小学起，直到大学中的理工农医等学科，乃至不少专业的研究生阶段，都要学习数学，近年来有一种新的趋势，就是人文社会科学的学生也需要继续学习数学，为什么我们的学生要学那么长时间的数学？

数学为什么这么重要？

这是由数学本身的特点、作用、意义所决定的。

例如，学习数学有利于培养我们的思维能力，如：

推理论证的能力、空间想象能力、计算能力、抽象归纳能力、数据处理能力、以及发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力等等；此外，还会有利于提高我们解决日常生活中遇到的各种实际问题，等等。

开设本专题还有一个十分重要的目的，就是希望能从数学发展的历史来认识数学。

每一门学科都有自己的历史，对于数学来说，更是源远流长，她与人类的文明共同发展，本专题的学习将帮助学生从历史的角度，了解数学在人类发展史上所起的不可估量的意义，了解数学文化在人类文化中的地位，了解数学与其他学科的历史渊源和联系，了解数学在人们日常生活中的作用，了解数学发展中重大的事件，了解为数学发展呕心沥血的杰出人物，等等。

我们希望通过开设”数学史选讲”开拓学生的视野，提高学生对数学的价值、意义、作用的认识，激发学生学习数学的兴趣和动力。

这对于将来在各行各业工作的学生来说，都会起到积极的作用。

学习”数学史选讲”这门课程，不仅可以开拓自己的视野，提高学习数学的兴趣，而且它将会对日常的数学学习起到积极的作用，对于一些重要的数学概念，通过数学史的学习加深对它们的认识和理解。

”数学史选讲”是不进入高考的，我们希望教师和学生不要以过分“功利”的眼光来看待这件事情，应该值得思考的地方是，一旦提高了学生学习数学的兴趣，增强了学习数学的动力，了解了学习数学的作用，那么他们的潜在能量是不可估量的。

二、知识结构和内容定位

1．知识结构框图

在“数学史选讲”中，选取了数学发展史上重要的并且和高中数学教学紧密联系的内容，不同的教材有不同的选择，例如，可以采取以下的选择：

第一讲，数学发展的几个重要时期

第二讲，代数学的发展

第三讲，几何学的发展

第四讲，微积分——分析的发展

第五讲，无限——集合论——数理逻辑——计算机科学

第六讲，名题赏析。

我们可以用下列框图具体表示

2．内容定位

1）在高中课程的“数学史选讲”中，一定要结合高中学生的认知水平和知

识基础。

2）在高中课程的“数学史选讲”中，不强调数学史的体系严密，可以从中

选择几个能够引起中学生兴趣的专题。

3）在高中课程的“数学史选讲”中，选材一定要生动活泼。

三、教学要求

“数学史选讲”专题不是系统地讲授数学史。

主要是结合中、小学有关的数学内容，例如，对于一些重要的数学概念，可以通过数学史的学习加深对它们的认识和理解。

也可以通过介绍相关的史料，或数学发展的梗概，提高学生对数学的价值、意义、作用的认识，激发学生学习数学的兴趣和动力。

也可以结合中学数学内容较系统地介绍一些专题。

如：

数学发展概论、几何发展史（欧式几何、非欧几何、分形几何等）、代数发展史（数与符号、方程等）、微积分等。

还可以介绍一些重要的数学问题，如：

费马大定理、欧拉公式、集合的势等，通过这些问题使学生了解数学的发展，提高学生学习数学的兴趣。

在开设“数学史选讲”的过程中，实验区大体有两种不同的讲授方式，一种是集中教学；另一种是把“数学史选讲”的各个专题插入到日常教学中，例如，在讲授“立体几何初步”时，可以介绍几何发展史，在讲授“平面向量”时，可以介绍运算在数学发展中的作用，在讲授“导数及其应用”时，可以介绍微积分发展史以及近代分析学的一些情况，等等。

从实验区的情况来看，“数学史选讲”是一个受学生欢迎的专题，教师在教学中应认识到：

本专题可以帮助教师养成一个不断开发数学资源的习惯，使得日常教学更加丰富、生动和深刻；

本专题可以更好的把握日常教学中某些知识点的本质，以及他们在整个数学中的位置；

教师应在日常教学中，通过对每一部分数学史内容的介绍，引起学生的兴趣。

在本专题的教学中，要引导学生写好读书报告，这是提高数学素养的重要载体，希望老师在这方面要下功夫。

建议教师在条件允许的情况下，积极创造条件，开设”数学史选讲”这一课程，把他作为提升个人专业素养的一个重要渠道。

五、文献参考

[1]李文林：

数学史概论，高等教育出版社，2002

[2]李文林：

文明之光——图说数学史，山东教育出版社，2005

[3]张顺燕：

数学的源与流，高等教育出版社，2000

[4]张顺燕：

数学的美与理，北京大学出版社，2004

[5]M.克莱因：

古今数学思想，张理京等译，上海科学技术出版社，1979

[6]A.亚历山大洛夫等，数学——它的内容、方法和意义，孙小礼等译，1958

[7]M.克莱因：

现代世界中的数学，齐民友等译，上海教育出版社，2004

2.2信息安全与密码

一、背景

进入21世纪，“信息”是我们听到或看到最多的词汇之一。

我们天天都在与信息打交道，比如收发信件、听报告、采集数据、看照片、影视等等，交流信息的方式也是多种多样的，如当面交谈、电话交流、发送电报、手语、旗语等．现在还可以用电子邮件、可视电话等方式来交流和传递信息．

有些信息是公开的，大家都可以知道．但是，也有一些信息是需要保密的，比如银行里的存款，仅仅希望自己人知道，不希望让“外人”知道。

政治、军事、外交、金融等活动中，信息安全更是一件特别重要的事情.

为了保证信息的安全，在信息传递的过程中，经常要使用密码，进行保密通信。

通过本专题的学习，我们将了解信息安全的基本原理、基本方法以及在社会发展中的重要意义，并了解数学在信息安全中不可替代的作用。

二、知识结构和内容定位

1．知识结构框图

2．内容定位

在本专题中，以下几点是需要特别注意的。

1）认识映射（函数）在信息安全中的作用。

当甲、乙双方传递信息时，为了不使信息被第三者知道，通常的作法是用密码对信息加密。

比如，5是一个信息，甲要把5告诉乙，甲在发送信息之前，先将5加3，然后将8传输给乙。

乙收到加密后的信息8，再用8减去3就可以获取原来的信息。

加3是加密的过程，减3是解密的过程，加3和减3是甲、乙事先约定好的，这个过程可以用图示清晰地表示出来。

在解决这件事情的过程中，加密和解密是最重要的。

自古以来，人们发明了许多加密和解密的方法。

由于人们不断地寻求破译加密信息的方法，所以对密码的信息安全性能的要求不断提高。

加密和解密的方法在不断地发展。

从上图不难看出，加密的过程其实就是映射（函数）作用的过程。

加密就是把函数作用在信息上，得到函数值（加密的信息）的过程；解密的过程其实就是函数反作用的过程，就是把函数值（加密的信息）还原成自变量的值（原来的信息）的过程。

不难看出，‘加密函数’和‘解密函数’是互为反函数的，显然，‘加密函数’是一个一一对应的映射，这样就可以保证“加得上去”也能“解得下来”。

人们希望‘加密函数’要简单，即加密要容易；解密时，对知道密码的人要容易；对不知道密码的人要很困难，甚至无法解密。

要得到这样的‘加密函数’和‘解密函数’，靠的是数学中函数的思想。

2）单向函数与公开密钥原理

由上可知，加密函数和解密函数是互为反函数的，即，加密函数是一个一一对应的映射，记作f，它存在反函数f-1，显然有：

f-1（f（x））=x。

如果能找到这样一种加密函数f（加密密码），即使把它公开，人们也无法在我们希望的有限时间内确定它的反函数f-1（解密密码）。

也就是说，如果我们把加密函数公开，人们也无法找到解密函数来破解密码，我们把这样的加密函数称为单向函数。

在一般的密码体制中，通讯双方要记住彼此的加密密码和解密密码。

例如，n=100个单位要相互传输信息，则每个单位都需要记住99对加密、解密的密码。

整个系统需要

（约等于5000）对加密、解密密码。

而且还常常需要更换密码，以加强保密功能。

如果单位的个数n更大，情况就更复杂。

有了单向函数就可以把加密函数（密码）公开，所有公开的加密函数编成一个加密函数（密码）本，供人们查阅。

对于100个单位只需要公开100个加密函数（密码），而每一个单位只需要记住一个解密函数（密码）就可以了。

我们把这种体制称为公开密钥体制。

公开密钥系统的具体工作原理如下：

用户Ａ需要把信息ｘ发给用户B，操作程序如下：

．用户Ａ在公开的加密密码本上查找到B的加密密钥f；

．用户A用f对信息ｘ进行加密，得到ｙ＝f（ｘ），并将密文ｙ发给用户B；

．用户B收到密文ｙ，用自己的解密密钥f-1进行解密，得到

　　　　f-1（ｙ）＝f-1（f（ｘ））＝ｘ。

这样，用户B就收到了用户Ａ发来的信息ｘ。

其他人即使知道密文ｙ是发给用户B的，也能查到B的加密密钥f，但是由于从f求f-1非常困难，在需要的保密时间内是不能把ｙ恢复成明文ｘ的。

采用这种公开密钥体制，大大减少了每个单位保存的密钥数量，从而可以减少很多失误。

保密通信体系的信息安全水平因此大大提高。

3）在学习本专题的过程中，需要掌握常见的密码，例如，恺撒码、转置码、流密码、RSA公钥体制、离散对数公钥方案等，重要的是学会运用这些密码，但是，要想弄懂这些密码的数学原理是比较困难的事情，需用到数论的有关知识，对一般的学生，重要的是理解信息安全的基本原理。

有兴趣的同学可以进一步搞清楚这些数学原理，对于提高他们的数学素养是非常好的一种训练。

三、重、难点

本专题的重、难点是理解保密通信的基本形式和公开密钥原理。

四、教学要求

1）在本专题的教学中，应该把理解保密通信的基本形式和公开密钥原理放在重要的位置上，不要把过多的精力放在数学推导上，可以针对学生的不同情况提出不同的要求，对于感兴趣的同学可以引导他们掌握数学原理。

2）在本专题的教学中，可以设置一些活动，通过操作、实践来帮助学生理解保密通信的基本形式和公开密钥原理。

3）在本专题的教学中，对于数论的知识一定要把握好“度”，能掌握的同学就掌握，不必对全体学生作统一要求。

4）在本专题的教学中，要引导学生写好读书报告，这是提高数学素养的重要手段，希望老师在这方面要下功夫。

五、文献参考

[1]闵嗣鹤严士健：

初等数论（第三版），高等教育出版社，2003

[2]万哲先刘木兰：

谈谈密码，人民教育出版社，1985

[3]冯克勤：

初等数论及应用，北京师范大学出版社，2003

[4]COMAP：

数学的原理与实践，申大维等译，高等教育出版社和施普林格出版社，1998

[5]谈祥柏：

编码纵横谈，上海教育出版社，1999年

2.3球面上的几何

一、背景

我们生活在地球上，地球是个球体，现实生活中也有许多球体，很自然的，我们需要了解球体的几何性质，也需要了解球面上图形的几何性质。

这些性质的讨论对于航空、大地测量、宇宙飞行等方面的研究是有重要意义的。

在17世纪前后，球面几何就已经成为人们关注的一个研究方向。

球面几何讨论的问题是球面上点、线的位置关系、度量关系和其他的几何性质。

所以，了解和掌握一些基本的球面几何的性质，对于学习和生活都是十分有益的。

在中小学的数学学习中，我们更多接触到的是“直的东西”，例如，直线、平面，等等，用代数的语言来说，这些是“线性的东西”，例如，二元一次方程、线性方程组，等等。

当然我们也学习了一些“弯曲的东西”，例如，圆、椭圆、抛物线、双曲线，等等，用代数的语言来说，这些就是一元二次方程、二元二次方程，等等。

通过学习球面几何可以提高空间想象能力，前面我们曾经说过空间想象能力、几何直观能力、空间洞察力等等，这些都是非常重要、非常基本的能力，几何课程的目标之一就是要培养学生的这些能力，球面几何是一个很好的载体。

本专题利用综合法来研究球面几何。

基本的想法是，把球面几何与平面几何进行类比。

我们希望学生能很好地用类比的方法，来学习球面几何。

平面几何的性质是我们所熟悉的，我们希望学生通过不断体会球面和平面上图形性质的差异：

哪些是相同的？

哪些是不同的?

在类比的过程中来逐渐感受产生这些差异的本质原因。

球面几何是与平面几何不同的数学模型。

它们都有着广泛的应用。

通过本专题的学习应认识到，几何中存在着不同的几何模型，初步认识到可以有不同的非欧几何，它们是有意义的。

二、知识结构和内容定位

1．知识结构框图

和平面几何的类比：

2．内容定位

1）学习平面几何的基本思路是综合几何和图形运动，这也是学习球面几何的基本思路，但是还需要有很好的空间想象力。

例如，计算以北京、上海、重庆为顶点的球面三角形的边长和面积，需要根据空间想象力画出空间图形（如下图所示）

2）球面几何的基本概念可以类比平面几何给出

平面上两点的距离：

过这两点之间的线段长度。

球面上两点的距离：

通过A、B两点的大圆上以A、B为端点的劣弧的长度。

对于球面上的任意两点，在数学上可以严格证明过这两点的大圆的劣弧长度是最短的。

应该把大圆上这段劣弧的长度看作是这两点的距离。

（如图所示）

平面直线：

直线没有端点，向两个方向无限延伸。

球面直线：

过球面上两点A、B的大圆叫作过A、B两点的球面直线。

大圆是封闭的、有限的。

（如图所示）

平面上的线段：

直线上两点以及这两点之间的部分。

球面上的线段：

过球面上两点A、B的大圆的劣弧叫做连接A、B两点的线段。

（如图所示）

平面角：

过平面上一点A的两条射线AB、AC形成的图形叫做角。

球面角：

从球面S上的一点出发的两条大圆半弧所构成的图形叫做球面角。

（如图所示）

平面三角形：

在平面上，如果三点不在同一条直线上，那么连结三点的线段组成的图形叫做三角形.

球面三角形：

在球面S上，如果三点不在同一个大圆上，并且三点中没有对径点，那么由连接三点的大圆的劣弧组成的图形叫做球面三角形。

3）球面几何的基本结论可以类比平面几何得到

相同的性质：

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

边角关系：

大角对大边；大边对大角

三角形的全等的判定：

SSS，SAS，ASA

不同性质：

平面上的任意两条直线相交或平行。

球面上任意两条直线都相交。

平面三角形的内角和等于180度。

球面三角形的内角和大于180度。

平面三角形相似的判定：

AAA。

球面三角形全等的判定：

AAA。

平面三角形的余弦定理：

球面三角形边的余弦定理：

平面三角形的正弦定理：

球面三角形的正弦定理：

三、重、难点

重点：

在球面上建立基本概念

难点：

极三角形和三角形的面积定理

四、教学要求

1．在讲授球面几何时，要先复习平面几何的有关知识。

2．在讲授球面几何中的概念、性质时，要与平面几何中的概念、性质作类比。

并且这种类比的方法要贯穿整个球面几何教学的始终。

3．在球面几何的教学中，几何直观，画图的习惯、实物操作、信息技术等，都是帮助学生建立空间想象力的方法。

五、文献参考

[1]项武义：

基础几何学，人民教育出版社，2004

[2]项武义王申怀潘养廉：

古典几何学，复旦大学出版社，1986

2.4对称与群

一、背景

“对称现象”是现实生活中最常见的现象，例如，建筑物的对称性，生物的对称性，化学结构和物理结构的对称性，各种图案的对称性，等等。

根据丰富多彩、各式各样的对称形态；人们受到启发，创造出了各种各样的对称图形。

如何从数学上来刻画这些“对称现象”呢？

“对称”的数学背景是什么呢？

“群”就是刻画对称现象的数学概念，“群”是描述对称的数学工具，群是现代数学中最基本、最重要的概念。

“群”产生于用根式求解方程的问题，它在整个数学的发展史上有着重要的意义。

了解一些群的概念对于学生未来的发展是非常有益的。

　　　我们可以通过丰富的对称几何图形，使学生对变换，特别是对称变换，变

　换的合成等，有所认识和理解，在此基础上，让学生体会和感受“群”意义。

二、知识结构和内容定位

1．知识结构框图

2．内容定位

１）本专题首先给出大量的图形，特别是对称图形。

让学生认识到在自然

　界存在着大量的对称现象。

然后让学生从直观上认识到不同图形的对称性是有差异的。

从而产生问题：

如何描述具有不同对称性的图形？

2）先从具体的图形出发，例如，正三角形、正方形、正五边形等，先引入学生熟知的对称变换：

轴对称变换。

通过对它的分析，再针对不同图形，引入反射、平移、滑动反射这几种对称变换。

3）再从一个图形对称变换的多少来说明该图形对称性的‘好坏’。

即，认为一个图形的对称变换越多，它的对称性越好。

4）进而针对一些具体的对称图形，讨论这些图形的对称变换之间的关系。

引入对称变换合成的概念，给出变换的乘法运算。

分析这种乘法运算的性质。

并讨论变换的逆变换。

在此基础上，说明一个图形的全体对称变换的特性，给出该图形对称变换群的概念。

三、重、难点

重点：

认识对称变换与对称变换的合成，在此基础上形成群的概念。

难点：

　　群的一般概念。

四、教学要求

在对称与群的教学过程中，一定要强调从具体图形的对称到抽象的群的

一系列研究过程，分别是：

１）具体的对称图形到具体的对称变换

２）从具体的平面对称变换到平面的一般对称变换

３）从对称变换到对称变换合成

４）从对称变换的合成到建立平面对称变换群

５）从平面对称变换群到群的抽象定义

教师在教学的过程中要注意展示这5个过程，这样就可以给学生一个清

晰的认识群的思路，更能加深学生对与群这样一个抽象概念的理解。

五、文献参考

[1]段学复：

对称

[2]H.外尔：

对称，冯承天等译，上海科技教育出版社，2002

[3]COMAP：

数学的原理与实践，申大维等译，高等教育出版社和施普林格出版社，1998

2.5欧拉公式与闭曲面分类

一、背景

分类是数学的基本思想，例如，用未知数的次数来对方程进行分类，用边

数来对平面上的图形进行分类，用群、环、域来对代数结构进行分类。

几何学的主要任务之一也是对图形进行分类。

按照不同的原则可以得到不同的分类，例如，利用全等可以对图形分类、利用相似可以对图形分类、利用保距变换也可以对图形进行分类，我们还可以找出对于曲面的分类方法。

当我们把一个图形做变换时，这个图形的一些性质可能不再保持。

例如，考虑下面一个圆和圆中两条相互垂直的直径。

我们把它压缩，如图：

压缩后，圆变成了椭圆，圆心到圆上的距离相等这一性质不再成立，两条直径也不再垂直。

好像原来图形的性质都不再保持了。

但是，还是有一些性质没有改变。

例如，直线仍变为直线，原来的两条直径的交点仍是这两条直线段的中点。

那些在变换下保持不变的性质，看来是图形更本质的性质。

给定一类变换，我们可以问，在这类变换下，几何图形的哪些性质保持不变，这些保持不变的性质构成了和这类变换相关的几何。

这种按几何不变性（和不变量）来对几何分类的思想，是现代几何学重要的思想。

而过去我们基本上是按研究方法来对几何学进行分类的。

如，综合几何、解析几何。

中学学过的欧拉公式在许多变换下是不变的。

特别是，它在一种十分一般的变换下不变。

这种变换只要求：

变换是一一对应的（因此它有逆变换）且变换和逆变换都是连续的。

换句话说，我们可以任意地拉伸、扭曲几何图形，只是不许把图形撕裂，也不许把图形中不同的部分粘合在一起。

这种变换在数学上叫做拓扑变换。

拓扑学和代数学一样，是现代数学的基础。

在本专题中，我们希望学生通过欧拉公式的讨论，对拓扑变换的思想有一点体会，了解用不变性和不变量对几何图形分类的想法。

二、知识结构和内容定位

1．知识结构框图

2．内容定位

1）欧拉公式及其证明

通过合情推理，由大量凸多面体图形归纳而得到欧拉公式：

面数-边数+点数=2，我们发现，当把图形拉伸变形时，欧拉公式不会改变。

在此基础上，我们可以给出欧拉公式的证明。

2）还有哪些图形满足欧拉公式

如图所示，把一个多面体放进一个球的内部，在多面体中找一个点，然后向外作射线，则每个点都能映在球面上，就好像往多面体内吹气，最后这个多面体就变得跟球“差不多”了。

利用这种方法可以给出欧拉公式的不同证明。

除了凸多面体，还有一些空间图形，例如，蹄形磁铁（如图所示），也满足欧拉公式。

事实上，欧拉公式在拓扑变换下是不变的。

两个图形，如果存在一个拓扑变换把其中的一个变为另一个，就称这两个图形是‘同胚’的。

我们可以得到这样的结论：

球面满足欧拉公式

凡是和球面同胚的多面体都满足欧拉公式。

3）有没有不满足欧拉公式的图形

如图所示

这个掏空的长方体与“游泳圈”同胚。

由于“游泳圈”无法和球面同胚，这个“长方体”不满足欧拉公式，即，凡是和“游泳圈”同胚的多面体都不满足欧拉公式。

4）欧拉示性数

由上可以看出，同是闭曲面却存在着本质的不同。

为了对闭曲面进行分类，我们讨论了亏格和欧拉示性数的概念。

5）几何直观和函数思想

几何直观是本专题的核心。

能够很好的把握图形的能力也是我们设置

本专题的目的之一。

教师需要帮助学生建立几何直观的能力。

拓扑变换的思想也就是函数思想，它贯穿在本专题的始终。

另外，如前所述，本专题体现的分类思想，对几何来说是本质的，是需要教师和学生深切体会的重要思想。

三、重、难点

重点和难点：

发现欧拉公式和证明欧拉公式的过程。

建立拓扑变换的概念

四、教学要求

1．把合情推理和演绎推理有机的结合起来

发现欧拉公式的过程是一个合情推理的过程，证明的过程是一个演绎推理的过程，希望同学们在这个过程中去体会这两种推理的关系。

2．在教学过程中，帮助学生通过直观感知、操作确认、思辨论证、拓展应用的过程来学习这部分内容。

3．在教学过程强调空间想象能力，是这部分教学的重要环节。

4．在教学过程中，应该帮助学生拓展视野，了解这部分内容在数学发展中的作用，体会数学文化的意义

5．帮助学生写好读书报告。

五、文献参考

[1]R.柯