微积分二课后题答案复旦大学出版社第十章1Word格式.docx
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Xy
(3)方程1两边对X求导得
C1c2
C2XCIyy=O
(1)
(1)式两边对X求导得
C2■C1(y)-syy=0
(2)
(2)式两边同乘以X得
c2xc1x(y)CIXyy=0(3)
(3)-
(2)得Xyy(K^-yy0
所以—^y^=1是方程Xy^X(y)-yy■=0的解.C1C
3.已知曲线的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求这曲线所满足的微分方程.
解:
设(x,y)是曲线y=f(X)上任一点,则过该点的切线方程为Y-y=y∙(X-x),由已知
X=0时,Y=x,得x-y=-xy■即xy"
-y∙x=0为y=f(x)所满足得微分方程
4.求通解为y=Cex∙χ的微分方程,这里C为任意常数.
由y=CeX-χ得√=Ce1,而由已知C^=^X得y>
y-xT故通解为
^CeXX的微分方程为y■=y一X1.
习题10-2
1.求下列微分方程的通解或在给定的初始条件下的特解:
(1)y=
(2)xydx、.一1一X2dy=0;
⑶(Xyx)dx(y-χy)dy=0;
2I2
(4)
SinXCoSydχcosxdy=0;
(6)yy'
∙χey=0,y
(1)=0;
⑺y'
=e2τ,yx^=0.
In1+y|=_ln1_x+g即In(1一x)(1+y)=G,即∣(1—x)(1+y)∣=ec1,(1—x)(1+y)=±
ec1,
记_ec1=c,有(1—x)(1∙y)=c(c=0),而当y∙1=0即y=—1时,显然是方程的解,上
又y=0显然是方程的解
方程的通解为y=ce1*(C为任意常数).
2y2X
(3)分离变量得dy=——dx,两边积分得In(1+y2)=lnX^^C1,即
1+yX-1
In—2^^-=c1从而IJry^=±
e°
1(x?
-1),记C=±
1有『=c(x?
-1)—1.
X-1
(4)分离变量得,一Sin2Xdx,两边积分得,tany-—C即
CoSyCoSXCoSX
tany■SeCx=c.
2323
(5)原方程可化为:
y(1∙y)dy=x(1-x)dx,两边积分得---XC
亠115、
由yχ±
=1得c=—+—=—,所以原方程满足初始条件的特解为
236
yyxx53322
即2(x3-y3)3X2-y2)=.5
23236
(6)分离变量得-ye^ydy=xdx,两边积分得y^eC
1
由y
(1)=0得C,故原方程满足初始条件的特解为
.y12
(y1)e(X1).
(7)分离变量得eydy=e2xdχ,两边积分得ey=-e2x+c,由yxτ=0得
1ι
C,所以,原方程满足初始条件的特解为ey(e2x1).
22
2.物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比,具有温度为To的物体放在保持常温
为:
•的室内,求温度T与时间t的关系.
设t时刻物体的温度为T,由题意有
dT
k(T-:
.)(k为比例系数)
dt
-J—p
分离变量得=_kdt,两边积分得,Inτ_--kt■C1,得T=Ce—工,由题意有
T「:
t=0时,T=TO,代入上式得,C=T0—「・
.T=(TO—:
・)e*(k为比例系数).
3.
求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解:
yy
⑵y=Sin;
233、,
⑶3χydy=(2y-X)dχ;
⑷xy'
∙χy=y,y
(1)=1;
(5)χy=y(lny-lnx),y
(1)=1;
(6)(y-x2)dx=(xy4)dy;
⑺(Xy)dx(3x3y-4)dy=0.
rdudx
XU:
=叮U即两边积分得
√V∏u2X
即u.1U=CX
将u=丫代入得yXy=CX
X、
V
(2)令U贝Uy=uχ,y=UXU代入原方程得
dududχ
SinU即=—
dχ
Si
ruX
两边积分得Inta-in:
=XnCl,≡
ta
Un=
=cx,u=2arctanCX,
将U='
代入得y二2x
arctanCX.
(3)原方程可化为
找=2(Y)
X2
(一)
”ydu
令U,则XU
V,代入上式得
dχ3X
3
y
Xdχ
3u
两边积分得
ln(1:
:
U
)-_InX■C1,即
x(jU
)=C
U代入得
原方程可化为
du
U「2UX
dx
U-2=GUX
y
(1)=1得C»
二CX
y-=(-)2,
_u-2U
=UX,—=UX,代入上式
dy
=InX
两边积分得
■c1
代入得'
-2
=GXy
y—2=-Xy,即
2x
所以原方程满足初始条件的特解为
1X
(5)原方程可化为
3ln
dxX
令UJ
U
•X巴,上方程可化为
U亠X—=Ulnu
dX
U(InUT)X
两边积分得In∣nu_1=IrX
即InU—1=CX
亦即u=e1CX
将U=Y
代入得
1-CX
^=Xe
由初始条件y(i)=1得c--i
故原方程满足初始条件的特解为
1-X
(6)原方程可化为
dxX亠y亠4
解方程组
y—X2=0
Xy4=0
y~-3
X=U_1
原方程化为
y=V-3
dv
这是一个齐次方程,按齐次方程的解法:
令'
=~,方程可化为-^τd
两边积分可得,整理可得,2arctan'
∙Inup「2)=C
将∙=V代入上式得
V22
2arctan—In(UV)=CU
将U=X亠1,v=y亠3代入上式得
即(3)dt=2dx,
t-2
积分得3t2In∣t「2=2xC.
将t=X+y代入上式得,x+3y+2lnx+y-2=c∙
4.求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解:
(1)y'
-y=Sinx;
nX
⑵y-y=xe;
⑶(x-2y)dydx=0;
(4)(1XSiny)y'
-cosy-0;
yX
⑸y-(x1)e,y(0)=1;
X+1
12
⑺y-yInx,y
(1)W;
XX
(8)y'
Nxy=(xsinx)∙,y(0)=1;
(9)y=
X4y3
Xy
(10)y=—
XyXy
X1
=Ce--(Sinx亠CoSx)
原方程可化为竺∙χ=2y,这是一个关于y的一阶齐次线性微分方程,且
P(y)=1,Q(y)=2y,所以
二e^y(2ye'
dyc)
_yy
=e(2e(y-1)C)
=2(y-1)ce~y
(4)原方程可化为Xtany=SeCy,这是一个关于y的一阶非齐次线性微分方程
且P(y)=-tany,Q(y)=SeCy,所以
(y)dy
dy+c)
tanydy
_p(y)dyP
X=e∙(Q(y)e■
tanydy_t
=e∙(SeCye■
(SeCyCoSydy■C)CoSy'
(y■C)
cosy
(5)这是一阶非齐次线性微分方程且P(X)J,Q(x)=(X-1)ex,所以
X十1
_P(x)dx
y=e
(Q(X)e
(X)dX
dx+c)
dx—dx
=ex1((X1)exe-X1dxC)
・x・X
=(X1)(edxC)=(X1)(eC)
将初始条件y(0)=1代入上式中得
C=O
故,原方程满足初始条件的特解是
(6)这是一阶非齐次线性微分方程
X2X
且P(X)2,Q(x)2,所以
1+x1+x
-P(x)d
y=e
(X)dχ
dχ+c)
22x
^e-x2dxc)
CJD(I÷
),
=e(
IX
(一.
2Xeln(1∙x2)d
yedχ+c)
12(2x2dx■C)
1x
^(-x3'
C)
1X3
将初始条件y(0)=1代入上式得C=,所以原方程满足初始条件的特解是
I3
2(1■X)
χ2)
(7)这是一阶非齐次线性微分方程
且P(X)
12
Q(X)=InX所以
_P(X)dχP(x)dχ
y=e_(Q(x)edxC)
11
XdX2-7d×
=e(InXedx亠C)
=x^-—InXdX亠C)
二x(_InX——C)
=2(1Inx)CX
将初始条件y
(1)=1代入上式得C=_1
所以,原方程满足初始条件的特解是
(8)这是一阶非齐次线性微分方程
-"
P(x)dx
y=2(1Inx)-X.
且P(X)=2X,Q(x)=xsinXe^,所以
∣P(x)dx
y=e(Q(x)edxC)
_2XdX」22xdX
=e(XSinXeedx■c)
=e(XSinXdX-C)
=e(SinX-XcosXC)
将初始条件y(0)=1
代入上式得C=:
1,故原方程满足初始条件的特解是
y=e*(SinX-XCaSX亠1).
(9)原方程可化为
*13
yy=X
133
—y=X
这是-2的伯努利方程,方程两边同除以
14』)
^y
=y,则上面方程化为
P(X)
--,Q(x)=3x3,其通解为
IdX3-
z=ex(3xe
Xdxc)=χ3(3dxc)=3χcx
3343
z=y代入上式得原方程的通解为y=3xCX.
dX331_32
(10)原方程可化为-Xy=Xy,这是关于y的〉=3的伯努利方程,令Z=XX,
上述方程可化为
dz3
2yz=_2ydy
这是关于y的一阶非齐次线性微分方程,且P(y)=2y,Q(y)=_2y3,其通解为:
.y3y
-e((-2ye)dyC)
)■C)
_y/y2
=e(e(1-y
2_y2
=1一yCe
t2f(t)=3f2(t)—2tf(t)亦即χ2y^3y2—2Xy
y—X二CXy
btzabta、aZa、bt
X=e(—e
+x0——)=—+(x0——)e
b
bbb
3x
7.已知f(x)=[f
-dX+3x4,
求f(x).
I3.丿
方程两边对X求导得f(X)=3f(x)∙3即y'
3y=3
这是一阶非齐次线性微分方程,P(x)=_3,Q(X)=3,其通解为
--∙3dχ∙3dχ.3x3x
y=e(3edχ∙C)=e(3e一dx∙C)
3x_3x3X
=e(_e∙me)-一1x・ce
3xt
由已知f(X)=f(―)dt∙3x-3得f(O)--3,代入上式得e--2,所以b3
&
已知某商品的成本C=C(X)随产量X的增加而增加,其增长率为
C'
(X)=
IxC
且产量为零时,固定成本C(O)=Co>
0.求商品的生产成本函数C(x).
H1+x+C/白H1
由C(X)得CC=1,这是一阶非齐次线性微分方程
1+x1+X
P(X),Q(x)=1,其通解为
+x
由初始条件C(0)=C°
代入上式得C1=c°
∙所以商品的生产成本函数
C(X)=(I-X)Iln(1X)C0].
9.某公司对某种电器设备的使用费用进行考察,结果发现,随该电路使用时间X的延长,
它的保养维修费会加倍增长,因而平均单位时间的使用费S也在增加,即S为X的函数Sgx),其变化率为
dSbb1
S—a,
dXXX
其中a,b均为正常数•若当x=×
0时S=S0,试问:
使用时间为多少时,其平均单位时间的使用费S最高?
原方程竺=bs-bJa可化为竺-bs=-(b2I)a,这是一阶非齐次线性微分方dxXXdxXX
程,且P(X)--b,Q(x)--(b2I)a,其通解为,
由已知X
bb
S=eXdX(JbI)a^,dX
bdχ
b_1b
=X(axC)
eXdxc^xb(-(b2I)a
__b
χ-dx亠C)
=-CXb
=Xo时,S=So代入上式得
soxofa
C=
Xob1
S二--arbcx
令SyO得唯一驻点x=
(2)r7,将C
bc
soxo-bΓxo
=()
bs0x0-ab
Xo
由问题的实际意义知,最值存在,所
b,r
CX得
a
是时间
bs0X0-ab
时,其平均单位时间的使用费S最高.
习题10;
1.求下列微分方程的通解:
(1)y:
=xeX;
(2)y〃
1;
2;
(3)(1x)y'
∙2xy'
⑷y〃
-(y)2O
3dX
(5)X2仁0;
(6)yy"
-(y'
)2(y)3=o
dt
(1)对方程两端连续积分三次得
Il-X
y=(X-1)e'
C1
XV1“
y=(X-2)e亠c1x亠C2
XLCIX
y=(x-3)ec2xC3
这就是所求的通解•
(2)对方程两端连续积分两次得
y=arctanXC1
这就是所求的通解
(3)令y=p(x),则y=P(X),于是原方程可化为
2*
(IX)P2xp=0
分离变量得空2^xτdx,积分得
P1X
再积分得y=c1arctanXC2.
d⅞=dX
P
再积分得
亦即
dxXC1
|X■Ci|■C2
(5)令X=P(X),则X=P
原方程变为
dp卄
P1=0,即PdP=dx
3dx.
两边积分得P2-1C1X
CiX
dX
亦即兰―
Idx=dt.
1■cx2
积分得一..1
C2.
从而1亠c1χ2=(CIt亠C2)2.
(6)令y=P(y),则∙p,代入原方程得.
dp23
yp——-P+P=0即Py
dyJ
些-PP2
=O
若P=O,则y=0,y=c是方程的解.
=0,于是
若yd^.p.p=O,分离变量得y.
dyp—Py
积分得
Cly
p“y(1-P)即P
^Cly
于是:
dyc1yHnJ
即(c1)dy=c1dx.
dt1■c1yy
Cl(X_y)
y=c2e
2.求下列微分方程满足初始条件的特解:
⑴yFnx,y
(1)T,y'
⑴,y〃
(1)=1;
(2)xy〃对=1,y(l)=0,y'
(1)=1;
(3)y〃y2=1,y(0)=0,y'
(0)=1.
(1)方程两边积分得:
y"
=XInX—X∙q,由y1=1-得C1=0,于是y"
=xInx-x,
上式两边再积分得y=—InX-∙3X?
c2.
24
由y
(1)得C2
4
即y(InXG),
由y
(1)=1得C1=1,于是(InX1),从而
112
y(Inx1)dx=j(lnX1)d(lnX1)(11nx)c2
•x2
由y
(1)=O得c2
12112
y(1Inx)即y=InxInx.
222
(3)令yJp,则yχ=p■,原方程可化为
dP2
1一p,由y(0)=1,即X=0时,P=1.dx
显然p=1是上述方程的解,即1,积分得y=x∙c,由y(0)=0得C=O,所以,
原方程满足初始条件的特解为y=X.
3.已知某个二阶非齐次线性微分方程有三个特解y1=x,y2^∙ex和y3=1∙χ∙ex,求这个方程
的通解.
因为y1,y2,W是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解,则y?
-y1=ex,y3-y?
=1是
e
某对应的齐次微分方程的特解且一=ex=常数,故ex和1是其对应的二阶齐次线性微分方
程的两个线性无关的特解,故对应齐次线性方程的通解为
y=C1亠c2ex
又y1=x是这个二阶非齐次线性微分方程的特解,故这个方程的通解是
y=C1亠C2ex亠X.
4.求下列齐次线性方程的通解或在给定条件下的特解:
(1)y〃My'
4y=0;
(2)y〃-y'
-2y=0;
(3)y〃5y'
6y=0,y(0)=1,y'
(0)≡6;
π
ππ6
⑷y"
-2y'
-10y=0,y()=0,y'
(—)=e.
66
(1)特征方程为r2-4r∙4=0,它有两个相等的特征根r1=r2=2,所以,所求的通解
为y=(c1■c2x)e2x.
(2)特征方程为r—r—2=0,它有两个不相等的实特征根r1=T,r2=2,故所求的通
解为y=c1e■c2e2x.
(3)特征方程为r25r,6=0,它有两个不相等的实特征根r1=-2,r2=-3,故所求
的通解为y=c1eI+c2e'
x
由y(0)=1得G+c2=1,又由y(0)=6及厂=—2c1e'
x—3c2e'
x得2c1+3c2=—6,解方程组
c1c2=1C1=9
12得
2c13c2=-6Jc2=-8
所以,原方程满足初始条件的特解为y=9e'
x_8e^.
仏=1±
3i,故方程的通解为
特征方程为r2-2r-10=0,它有两个共轭复数根,
1XO
y=--ecos3X
5.求下列非齐次线性微分方程的
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- 微积分 课后 答案 复旦大学 出版社 第十