21年高考数学直线平面垂直的判定及其性质.docx
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21年高考数学直线平面垂直的判定及其性质
21年高考数学直线、平面垂直的判定及其性质
一、题点全面练
1.已知直线m,n和平面α,β,则下列四个命题中正确的是( )
A.若α⊥β,m⊂β,则m⊥α
B.若m⊥α,n∥α,则m⊥n
C.若m∥α,n∥m,则n∥α
D.若m∥α,m∥β,则α∥β
解析:
选B 对于A,若α⊥β,m⊂β,则当m与α,β的交线垂直时才有m⊥α,故A错;对于B,若n∥α,则α内存在直线a,使得a∥n,∵m⊥α,∴m⊥a,∴m⊥n,故B正确;对于C,当n⊂α时,显然结论错误,故C错;对于D,若α∩β=l,则当m∥l时,显然当条件成立时,结论不成立,故D错.故选B.
2.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是( )
A.MN与CC1垂直
B.MN与AC垂直
C.MN与BD平行
D.MN与A1B1平行
解析:
选D 如图所示,连接AC,C1D,BD,则MN∥BD,而C1C⊥BD,故C1C⊥MN,故A,C正确,D错误,又因为AC⊥BD,所以MN⊥AC,B正确.故选D.
3.如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A.直线AB上
B.直线BC上
C.直线AC上
D.△ABC内部
解析:
选A 连接AC1(图略),由AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B,得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC,∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.
4.(2019·成都模拟)已知m,n是空间中两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且m⊂α,n⊂β.有下列命题:
①若α∥β,则m∥n;②若α∥β,则m∥β;③若α∩β=l,且m⊥l,n⊥l,则α⊥β;④若α∩β=l,且m⊥l,m⊥n,则α⊥β.其中真命题的个数是( )
A.0 B.1
C.2D.3
解析:
选B 对于①,直线m,n可能异面;易知②正确;对于③,直线m,n同时垂直于公共棱,不能推出两个平面垂直;对于④,当直线n∥l时,不能推出两个平面垂直.故真命题的个数是1.
5.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为( )
A.
B.1
C.
D.2
解析:
选A 设B1F=x,因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1=
,
设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=
h.
又2×
=h
,所以h=
,DE=
.
在Rt△DB1E中,B1E=
=
.
在Rt△DB1F中,由面积相等得
×
=
x,解得x=
.
即线段B1F的长为
.
6.(2019·武汉调研)在矩形ABCD中,AB<BC,现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折的过程中,给出下列结论:
①存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直;
②存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直;
③存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直.
其中正确结论的序号是________.
解析:
①假设AC与BD垂直,过点A作AE⊥BD于E,连接CE.则
⇒BD⊥平面AEC⇒BD⊥CE,而在平面BCD中,CE与BD不垂直,故假设不成立,①不正确.
②假设AB⊥CD,∵AB⊥AD,∴AB⊥平面ACD,∴AB⊥AC,由AB<BC可知,存在这样的等腰直角三角形,使AB⊥CD,故假设成立,②正确.
③假设AD⊥BC,∵CD⊥BC,∴BC⊥平面ACD,∴BC⊥AC,即△ABC为直角三角形,且AB为斜边,而AB<BC,故矛盾,假设不成立,③不正确.综上,填②.
答案:
②
7.在直三棱柱ABCA1B1C1中,平面α与棱AB,AC,A1C1,A1B1分别交于点E,F,G,H,且直线AA1∥平面α.有下列三个命题:
①四边形EFGH是平行四边形;②平面α∥平面BCC1B1;③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________.
解析:
如图所示,因为AA1∥平面α,平面α∩平面AA1B1B=EH,所以AA1∥EH.同理AA1∥GF,所以EH∥GF,又ABCA1B1C1是直三棱柱,易知EH=GF=AA1,所以四边形EFGH是平行四边形,故①正确;若平面α∥平面BCC1B1,由平面α∩平面A1B1C1=GH,平面BCC1B1∩平面A1B1C1=B1C1,知GH∥B1C1,而GH∥B1C1不一定成立,故②错误;由AA1⊥平面BCFE,结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE,又EH⊂平面α,所以平面α⊥平面BCFE,故③正确.
答案:
①③
8.已知α,β是两平面,AB,CD是两条线段,α∩β=EF,AB⊥α于B,CD⊥α于D,若增加一个条件,就能得出BD⊥EF.现有下列条件:
①AC⊥β;②AC与α,β所成的角相等;③AC与CD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.
其中能成为增加条件的序号是________.
解析:
由题意得,AB∥CD,∴A,B,C,D四点共面.
①中,∵AC⊥β,EF⊂β,∴AC⊥EF,又AB⊥α,EF⊂α,
∴AB⊥EF,∵AB∩AC=A,∴EF⊥平面ABDC,
又BD⊂平面ABDC,∴BD⊥EF,故①正确;
②不能得到BD⊥EF,故②错误;
③中,由AC与CD在β内的射影在同一条直线上,可知平面ABDC⊥β,又AB⊥α,AB⊂平面ABDC,∴平面ABCD⊥α.∵α∩β=EF,∴EF⊥平面ABDC,又BD⊂平面ABDC,∴BD⊥EF,故③正确;
④中,由①知,若BD⊥EF,则EF⊥平面ABDC,则EF⊥AC,故④错误,故填①③.
答案:
①③
9.(2018·北京高考)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.
(1)求证:
PE⊥BC;
(2)求证:
平面PAB⊥平面PCD;
(3)求证:
EF∥平面PCD.
证明:
(1)因为PA=PD,E为AD的中点,
所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形,
所以BC∥AD,所以PE⊥BC.
(2)因为底面ABCD为矩形,所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊂平面ABCD,
所以AB⊥平面PAD,
因为PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD,AB∩PA=A,
所以PD⊥平面PAB.
因为PD⊂平面PCD,
所以平面PAB⊥平面PCD.
(3)如图,取PC的中点G,连接FG,DG.
因为F,G分别为PB,PC的中点,
所以FG∥BC,FG=
BC.
因为四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,
所以DE∥BC,DE=
BC.
所以DE∥FG,DE=FG.
所以四边形DEFG为平行四边形.
所以EF∥DG.
又因为EF⊄平面PCD,DG⊂平面PCD,
所以EF∥平面PCD.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1.(2019·临汾模拟)如图,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,E为MC的中点,则下列结论不正确的是( )
A.平面BCE⊥平面ABN
B.MC⊥AN
C.平面CMN⊥平面AMN
D.平面BDE∥平面AMN
解析:
选C 如图,分别过A,C作平面ABCD的垂线AP,CQ,使得AP=CQ=1,
连接PM,PN,QM,QN,将几何体补成棱长为1的正方体.
∴BC⊥平面ABN,
又BC⊂平面BCE,
∴平面BCE⊥平面ABN,故A正确;
连接PB,则PB∥MC,显然,PB⊥AN,
∴MC⊥AN,故B正确;
取MN的中点F,连接AF,CF,AC.
∵△AMN和△CMN都是边长为
的等边三角形,
∴AF⊥MN,CF⊥MN,
∴∠AFC为二面角AMNC的平面角,
∵AF=CF=
,AC=
,
∴AF2+CF2≠AC2,即∠AFC≠
,
∴平面CMN与平面AMN不垂直,故C错误;
∵DE∥AN,MN∥BD,
DE∩BD=D,DE⊂平面BDE,BD⊂平面BDE,MN∩AN=N,MN⊂平面AMN,AN⊂平面AMN,
∴平面BDE∥平面AMN,故D正确.故选C.
2.如图,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________.
解析:
∵PA⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,AC⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,则△PAB,△PAC为直角三角形.由BC⊥AC,且AC∩PA=A,得BC⊥平面PAC,从而BC⊥PC,因此△ABC,△PBC也是直角三角形.
答案:
4
3.(2018·泉州模拟)如图,点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列命题:
①三棱锥AD1PC的体积不变;
②A1P∥平面AD1C;
③DP⊥BC1;
④平面PDB1⊥平面AD1C.
其中正确的命题序号是________.
解析:
如图,连接BD交AC于点O,连接DC1交D1C于点O1,连接OO1,则OO1∥BC1,所以BC1∥平面AD1C,动点P到平面AD1C的距离不变,所以三棱锥PAD1C的体积不变.
又因为V三棱锥PAD1C=V三棱锥AD1PC,所以①正确;
连接A1B,A1C1,因为平面A1C1B∥平面AD1C,A1P⊂平面A1C1B,
所以A1P∥平面AD1C,②正确;
由于当点P在B点时,DB不垂直于BC1,
即DP不垂直BC1,故③不正确;
由于DB1⊥D1C,DB1⊥AD1,D1C∩AD1=D1,
所以DB1⊥平面AD1C.
又因为DB1⊂平面PDB1,
所以平面PDB1⊥平面AD1C,④正确.
答案:
①②④
(二)交汇专练——融会巧迁移
4.[与数学文化交汇]
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵,将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵ABMDCP与刍童ABCDA1B1C1D1的组合体中,AB=AD,A1B1=A1D1.台体体积公式:
V=
(S′+
+S)h,其中S′,S分别为台体上、下底面的面积,h为台体的高.
(1)求证:
直线BD⊥平面MAC;
(2)若AB=1,A1D1=2,MA=
,三棱锥AA1B1D1的体积V′=
,求该组合体的体积.
解:
(1)证明:
由题意可知ABMDCP是底面为直角三角形的直棱柱,∴AD⊥平面MAB,
∵MA⊂平面MAB,∴AD⊥MA.
又MA⊥AB,AD∩AB=A,AD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD,
∴MA⊥平面ABCD,
∵BD⊂平面ABCD,∴MA⊥BD,
∵AB=AD,∴四边形ABCD为正方形,∴BD⊥AC.
又MA∩AC=A,MA⊂平面MAC,AC⊂平面MAC,
∴BD⊥平面MAC.
(2)设刍童ABCDA1B1C1D1的高为h,
则三棱锥AA1B1D1的体积V′=
×
×2×2×h=
,
∴h=
,
故该组合体的体积V=
×1×
×1+
×(12+22+
)×
=
+
=
.
(三)素养专练——学会更学通
5.[直观想象、逻辑推理、数学运算]
如图,已知三棱柱ABCA′B′C′的侧棱垂直于底面,AB=AC,∠BAC=90°,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.
(1)求证:
MN∥平面AA′C′C;
(2)设AB=λAA′,当λ为何值时,CN⊥平面A′MN,试证明你的结论.
解:
(1)证明:
如图,取A′B′的中点E,连接ME,NE.
因为M,N分别为A′B和B′C′的中点,所以NE∥A′C′,ME∥AA′.
又A′C′⊂平面AA′C′C,AA′⊂平面AA′C′C,NE⊄平面AA′C′C,ME⊄平面AA′C′C,
所以ME∥平面AA′C′C,NE∥平面AA′C′C,又因为ME∩NE=E,
所以平面MNE∥平面AA′C′C,
因为MN⊂平面MNE,
所以MN∥平面AA′C′C.
(2)连接BN,设AA′=a,则AB=λAA′=λa,
由题意知BC=
λa,CN=BN=
,
因为三棱柱ABCA′B′C′的侧棱垂直于底面,
所以平面A′B′C′⊥平面BB′C′C.
因为AB=AC,点N是B′C′的中点,
所以A′B′=A′C′,A′N⊥B′C′,
所以A′N⊥平面BB′C′C,
又CN⊂平面BB′C′C,所以CN⊥A′N,
要使CN⊥平面A′MN,只需CN⊥BN即可,
所以CN2+BN2=BC2,即2
=2λ2a2,
解得λ=
,故当λ=
时,CN⊥平面A′MN.
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- 21 年高 数学 直线 平面 垂直 判定 及其 性质