浙教版数学八年级下册解码专训一巧用多边形的内外角和求边角问题Word文件下载.docx

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1．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，交CB的延长线于点E，BF平分∠ABC，交AD的延长线于点F，那么四边形BFDE是否为平行四边形？

说明你的理由．

（第1题）

利用两组对边分别相等判定

2．如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，并且BE＝DF，证明：

四边形AECF是平行四边形．

（第2题）

利用一组对边平行且相等判定

桂林）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．

（1）求证：

四边形EBFD为平行四边形；

（2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：

△ABN≌△CDM.

（第3题）

利用两组对角分别相等判定

4．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？

为什么？

（第4题）

利用对角线互相平分判定

5．如图，AB、CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，点E、F分别是OC、OD的中点．求证：

四边形AFBE是平行四边形．

（第5题）

解码专训三：

平行四边形的性质与判定的五种常见题型

平行四边形的性质与判定定理的应用，是中考的重点内容之一，主要从四边形的边、角、对角线等方面进行比较，对四边形的边、角进行计算或推理论证，题型多样，命题以简单题为主，有向解决实际问题方面发展的趋势．

利用性质与判定证明平行四边形

1．（中考·

龙岩）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2.

AE＝CF；

（2）求证：

四边形EBFD是平行四边形．（用两种不同的方法证明）

利用性质与判定判断线段的关系

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F，连结EF、AD，那么是否有下列结论？

说明理由．

（1）AD与EF互相平分；

（2）BF＝AE.

利用性质与判定探究图形的形状

3．如图，E，F分别是▱ABCD的AD，BC边上的点，且AE＝CF.

△ABE≌△CDF；

（2）若M，N分别是BE，DF的中点，连结MF，EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论．

利用性质与判定探究四边形中的动点问题

4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD>

BC，BC＝6厘米．点P、Q分别为从点A、C同时出发，点P以1厘米/秒的速度由点A向点D运动，点Q以2厘米/秒的速度由点C向点B运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．几秒后，四边形ABQP为平行四边形？

利用性质与判定求解翻折问题

5．如图，四边形ABCD是长方形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上，设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点．

四边形AECG是平行四边形；

（2）若AB＝4cm，BC＝3cm，求线段EF的长．

解码专训四：

平行四边形与图形变换

本章主要学习平行四边形的性质与判定，结合前面学过的平移、旋转与轴对称，可利用图形变换的性质，解决平行四边形中简单的推理与计算问题．

平行四边形与平移

1．将图①中的平行四边形ABCD沿对角线AC剪开，再将△ADC沿着AC方向平移，得到图②中的△A1D1C1，连结AD1，BC1.除△ABC与△C1D1A1外，你还可以在图中找出哪几对全等的三角形（不能另外添加辅助线和字母）？

请选择其中的一对加以证明．

平行四边形与旋转

2．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°

，OA＝AB＝6，将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°

得到△OA1B1.

（1）求线段OA1的长和∠AOB1的度数；

（2）连结AA1，求证：

四边形OAA1B1是平行四边形；

（3）求四边形OAA1B1的面积．

3．已知：

如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA，BC的延长线于点E，F，交AB，DC于点M，N.

（1）观察图形并找出一对全等三角形：

△________≌△________，请加以证明；

（2）在

（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？

平行四边形与轴对称

4．△ABO在平面直角坐标系中的位置如图①，∠OAB＝90°

，∠AOB＝30°

，AB＝1，OB＝2，以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连结AD并延长交OC于点E.

（1）求点B的坐标；

四边形ABCE是平行四边形；

（3）如图②，将图①中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．

解码专训五：

构造平行四边形巧解证明题

在解决与四边形有关的几何问题时，若能够根据题设条件和图形特征，运用平行四边形具有的对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质，添加适当的辅助线，巧妙地构造出平行四边形，就会化难为易，化繁为简．

证两线段相等

1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，BE∥DF，BD∥EF，DF交AC于G.

求证：

AG＝EG.

证两线段互相平分

2．如图，在平行四边形ABCD中，E，G，F，H分别是四条边上的点，且AE＝CF，BG＝DH.

EF与GH互相平分．

证两线段平行

3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E，F分别为OB，OD的中点，过点O任作一直线分别交AB，CD于点G，H.

GF∥EH.

证线段的和差关系

4．如图，在四边形BCED中，DE∥BC，延长边BD，CE交于点A，在边BD上截取BF＝AD，过点F作FG∥BC交EC于点G.

DE＋FG＝BC.

解码专训六：

巧用三角形的中位线

三角形的中位线是初中几何中的重要内容，通常可以利用它来证明线段的位置关系和数量关系．在实际运用中，有些问题虽没有直接给出中位线或看似与三角形中位线定理无关，但通过巧添辅助线就可运用其解决相关问题．

利用三角形的中位线求线段长度或角的度数

1．在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA的中点，AB＝6，AC＝4，则四边形AEDF的周长是（　　）

A．8B．10

C．12D．14

2．如图，四边形ABCD中，AD＝BC，F、E、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC＝20°

，∠ACB＝60°

，则∠FEG＝________．

利用三角形的中位线证线段的位置关系

3．如图，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的点，AE＝BF，AF与BE相交于点M，CE与DF相交于点N.求证：

MN∥BC.

4．如图，四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝BD，M、P、N分别是边AB、BC、CD的中点，Q是MN的中点．

PQ⊥MN；

（2）判断△OEF的形状．

利用三角形的中位线证线段的倍分关系

5．如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB的中点，求证：

CD＝2CE.

利用三角形的中位线证线段的和差关系

6．如图，在△ABC中，AC>

AB，M为BC的中点，AD是∠BAC的平分线，若CF⊥AD交AD的延长线于F，求证：

MF＝

（AC－AB）．

（第6题）

利用三角形的中位线证线段的不等关系

7．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB≠CD，E、F分别是AD、BC的中点．求证：

EF<

（AB＋CD）．

（第7题）

解码专训七：

思想方法荟萃

方程思想

对于所要求的数学问题，通过列方程（组）来解决的一种解题策略就是方程思想．在一些几何图形中，利用设未知数、列方程（组）求解可使问题更简单易解．

1．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝4，AF＝5，四边形ABCD的周长为36，求AB，BC的长．

转化思想

平行四边形可被其对角线分成几个三角形（或特殊三角形），在解决有关的计算题与证明题时，常将四边形中的问题转化到三角形中，然后用三角形知识来解决．另外，证明线段或角相等时，若不能直接证得结论，可通过转化为平行四边形的对边、对角或证三角形全等的形式来证明．

2．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线交AD于点E，交BC于点F，若▱ABCD的面积为30cm2，求图中阴影部分的面积．

3．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，EF过点O与AB交于点E，与CD交于点F，GH过点O与AD交于点G，与CB交于点H.

GF＝EH.

构造法

构造法是根据题设条件或结论具有的特征、性质，构造出满足条件或结论的数学模型，借助该数学模型来解决原数学问题的解题方法．对于某些问题，常采用构造平行四边形的方法，从而利用平行四边形的性质使问题变得简单．

4．如图，AD为△ABC的中线，E为AC上一点，连结BE交AD于点F，且AE＝FE.求证：

BF＝AC.

答案

解码专训一

1．D　2.B

3．6　点拨：

设多边形的边数为n，由题意得（n－2）·

180°

＝360°

×

2.所以n＝6.

4．解：

设这两个多边形的边数分别是n，2n.根据多边形的内角和定理，得（n－2）·

＋（2n－2）·

＝900°

，解得n＝3.所以2n＝6.

所以，这两个多边形的边数分别是3，6.

5．C　6.360°

7．解：

如图，连结AD，在四边形ABCD中，

∠BAD＋∠ADC＋∠B＋∠C＝360°

.

∵AB⊥BC，∴∠B＝90°

又∵∠C＝120°

，∴∠BAD＋∠ADC＝150°

∵CD∥AF，∴∠CDA＝∠DAF.∴∠BAF＝150°

∵∠CDE＝∠BAF，∴∠CDE＝150°

∴在六边形ABCDEF中，∠F＝720°

－∠BAF－∠B－∠C－∠CDE－∠E＝720°

－150°

－90°

－120°

－80°

＝130°

8．解：

（1）设这个多边形的边数为n，则其内角和为（n－2）·

.依题意，得2570°

＜（n－2）·

＜2570°

＋180°

.解得16

＜n＜17

.因为n≥3，且n是整数，所以n＝17，即这个多边形的边数为17.

（2）除去的那个内角的度数为（17－2）×

－2570°

点拨：

由于除去一个内角后，其余内角之和为2570°

，因此该多边形的内角和比2570°

大，比2570°

小．可列出关于边数的不等式，先确定边数的范围，再求边数．

　　（第9题）

9．解：

如图，连结CD.

∵∠1＋∠3＋∠4＝180°

，

∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°

∴∠1＝∠A＋∠ACF＋∠ADB.

∵∠1＝∠2，∠2＋∠B＋∠E＋∠F＝360°

∴∠A＋∠B＋∠ACF＋∠ADB＋∠E＋∠F＝360°

因此，所求的度数为360°

10．解：

设新多边形的边数是n，根据多边形的内角和定理，得（n－2）·

＝6×

360°

.解得n＝14.一个多边形截去一个角后，所得新多边形的边数可能不变，也可能减少1，还可能增加1，

所以原多边形的边数是13或14或15.

解码专训二

1．解：

四边形BFDE为平行四边形．理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，CD∥AB，∠ADC＝∠ABC，

∴FD∥BE，∠2＝∠3，

∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，

∴∠1＝

∠ADC，∠2＝

∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．

2．证明：

在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，

∴∠ABE＝∠CDF.

又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF，∴AE＝CF.

同理可得△ADF≌△CBE，∴AF＝CE，

∴四边形AECF是平行四边形．

3．证明：

（1）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB＝CD，EB∥DF.

又∵EB＝

AB，DF＝

CD，

∴EB＝DF，∴四边形EBFD为平行四边形．

（2）∵四边形EBFD为平行四边形，

∴∠ABN＝∠CDM.

∵AB∥CD，∴∠BAN＝∠DCM.

又∵AB＝CD，∴△ABN≌△CDM.

四边形BFDE是平行四边形．理由：

在▱ABCD中，∠ABC＝∠CDA，∠A＝∠C.

∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，

∴∠ABE＝∠CBE＝

∠ABC，∠CDF＝∠ADF＝

∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠CDF＝∠ADF.∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，∴∠DFB＝∠BED，∴四边形BFDE是平行四边形．

5．证明：

∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.

∵∠AOC＝∠BOD，OA＝OB，∴△AOC≌△BOD，

∴OC＝OD.

∵E、F分别是OC、OD的中点，

∴OE＝

OC，OF＝

OD，∴OE＝OF.

又∵OA＝OB，

∴四边形AFBE是平行四边形．

解码专训三

1．证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD

BC，∴∠3＝∠4.

∵∠1＝∠3＋∠5，∠2＝∠4＋∠6，∠1＝∠2，

∴∠5＝∠6，又∵AD＝CB，∴△ADE≌△CBF（ASA），

∴AE＝CF.

（2）方法一：

由

（1）知△ADE≌△CBF，∴DE＝BF.

∵∠1＝∠2，∴DE∥BF，

∴四边形EBFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．

方法二：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠BAE＝∠DCF.

∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF.

∵△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，

∴四边形EBFD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．

（2）题方法不唯一．

2．解：

两个结论都成立，理由如下：

（1）∵DE∥AB，DF∥AC，

∴四边形AFDE是平行四边形．

∴AD与EF互相平分．

（2）在▱AFDE中，AE＝DF，AC∥DF，

∴∠C＝∠FDB.

∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，

∴∠B＝∠FDB，∴BF＝DF＝AE.

3．

（1）证明：

∴AB＝CD，∠A＝∠C.

∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF（SAS）．

（2）解：

四边形MFNE是平行四边形．证明如下：

∵△ABE≌△CDF，

∴∠AEB＝∠CFD，BE＝DF.

又∵M，N分别是BE，DF的中点，

∴ME＝FN.

∴∠AEB＝∠FBE.

∴∠CFD＝∠FBE.∴EB∥DF，即ME∥FN.

∴四边形MFNE是平行四边形．

规律总结：

（2）题是一道猜想型问题，先猜想结论，再证明结论．本题已知一个四边形是平行四边形，借助其性质判断另一个四边形的形状，再利用平行四边形的判定方法判定这个四边形是平行四边形．

设x秒后，四边形ABQP是平行四边形．

则AP＝x厘米，CQ＝2x厘米，BQ＝（6－2x）厘米．

∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形．

∴x＝6－2x，解得x＝2.

∴2秒后，四边形ABQP是平行四边形．

5．

（1）证明：

由题意可得∠GAH＝

∠DAC，∠ECF＝

∠ACB.

∵四边形ABCD是长方形，

∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB.∴∠GAH＝∠ECF，

∴AG∥CE，又∵AE∥CG，∴四边形AECG是平行四边形．

由勾股定理可得AC＝5cm，由题意可得CF＝BC＝3cm，∴AF＝2cm，设EF＝BE＝xcm，

则AE＝（4－x）cm，

∴（4－x）2＝22＋x2，解得x＝

∴EF＝

cm.

解码专训四

△AA1D1≌△C1CB，△AD1C1≌△C1BA.

选证△AA1D1≌△C1CB：

由平行四边形和平移的性质，得AA1＝C1C，A1D1＝CB，∠ACB＝∠C1A1D1，

∴∠AA1D1＝∠C1CB.

在△AA1D1和△C1CB中，

∴△AA1D1≌△C1CB.

2．

（1）解：

由旋转的性质得OA1＝6，∠AOB1＝90°

＋45°

＝135°

（2）证明：

∵∠AOA1＝∠OA1B1＝90°

，∴OA∥A1B1.又∵OA＝AB＝A1B1，∴四边形OAA1B1是平行四边形．

（3）解：

S四边形OAA1B1＝OA·

OA1＝6×

6＝36.

3．解：

（1）BOM；

DON

证明：

∴BO＝DO，AB∥CD，

∴∠MBO＝∠NDO，∠BMO＝∠DNO.

∴△BOM≌△DON.

（2）其中一个三角形可由另一个三角形绕点O旋转180°

后得到或以点O为对称中心作中心对称得到．

（1）题答案不唯一．

4．

（1）解：

由勾股定理得OA＝

＝

∴点B的坐标为（

，1）．

∵∠OAB＝90°

，∴AB⊥x轴．

∵y轴⊥x轴，∴AB∥y轴，即AB∥CE.

∵∠AOB＝30°

，∴∠OBA＝60°

∵D是OB的中点，∴OD＝DB＝1.

∵AB＝1，∴AB＝DB.

∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°

∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝60°

∴∠ADB＝∠OBC，∴AE∥BC，

∴四边形ABCE是平行四边形．

设OG＝x，则由题意可得GA＝GC＝2－x.由勾股定理得，OG2＋OA2＝GA2，即x2＋（

）2＝（2－x）2，解得x＝

，即OG＝

解码专训五

∵BE∥DF，BD∥EF，

∴四边形BEFD是平行四边形．

∴EF＝BD.

∵D为AB的中点，

∴AD＝BD，∴EF＝AD.

如图，连结DE，AF，∵EF∥AD，

∴四边形ADEF是平行四边形．

∴AG＝EG.

如图，连结HE，EG，GF，FH.

∴∠A＝∠C，AD＝CB.

∵BG＝DH，

∴AH＝CG.

又∵AE＝CF，

∴△HAE≌△GCF，

∴HE＝FG.

同理可证HF＝EG.

∴四边形EGFH是平行四边形．

∴EF与GH互相平分．

如图，连结GE，FH.

∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO.

又∵∠AOG＝∠COH，

∴△AOG≌△COH，

∴OG＝OH.

∵E，F分别为OB，OD的中点，

OB＝

OD＝OF，

∴四边形EHFG是平行四边形．

∴GF∥EH.

4．证明：

如图，过点F作FM∥AC交BC于点M，

则四边形FMCG是平行四边形，∠BFM＝∠A.

∵DE∥BC，∴∠EDA＝∠B.

又BF＝AD，

∴△BFM≌△DAE，

∴BM＝DE.

∵四边形FMCG是平行四边形，

∴FG＝MC，

∴DE＋FG＝BM＋MC＝BC.

解码专训六

1．B　2.20°

连结EF，在▱ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，

∵AE＝BF，∴DE＝CF.

∴四边形ABFE和四边形EFCD都是平行四边形．

∴点M、N分别是EB和EC的中点．

∴MN是△EBC的中位线．

∴MN∥BC.

本题借助平行四边形的性质，先证明MN是△EBC的中位线，然后利用三角形中位线定理证明结论．

4．

（1）证明：

如图，连结PM和PN，

∵M、P分别是边AB、BC的中点，

∴PM是△BAC的中位线．

∴PM∥AC，PM＝

AC.

同理，PN∥BD，PN＝

BD.

∵AC＝BD，∴PM＝PN.

∵Q是MN的中点，∴PQ⊥MN.

△OEF是等腰三角形．

∵PM∥AC，PN∥BD，∴∠OFE＝∠PMN，

∠OEF＝∠PNM.

∵PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM，

∴∠OFE＝∠OEF.

∴△OEF是等腰三角形．

　　　　（第5题）

如图，取CD的中点F，连结BF，则CD＝2CF.

∵AB＝BD，∴BF是△ADC的一条中位线，∴BF∥AC，BF＝

AC.∴∠2＝∠ACB.

∵AB＝AC，∴∠1＝∠ACB，∴∠1＝∠2.

∵E是AB的中点，∴BE＝

AB，

∵BF＝

AC，且AB＝AC，∴BE＝BF.

在△BCE和△BCF中，

，∴△BCE≌△BCF（SAS），

∴CE＝CF.∵CD＝2CF，∴CD＝2CE.

6．证明：

如图，延长AB、CF交于点E.

∵CF⊥AF，

∴∠AFE＝∠AFC＝90°

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠1＝∠2.

在△AEF和△ACF中，

∴△AEF≌△ACF（ASA）．

∴AE＝AC，EF＝CF.

又∵M为BC的中点，

∴MF为△BEC的中位线．

∴MF＝

BE＝

（AE－AB）＝

（AC