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AB=CD,CB=AD,∠B=∠D,∠BAD=∠BCD.
证明:
由此得到:
平行四边形性质1 平行四边形的对边().
平行四边形性质2平行四边形的对角().
怎样用几何语言来表示?
如图,∵四边形ABCD是平行四边形(已知)
∴(平行四边形的对边相等)
(平行四边形的对角相等)
(三)、例题讲解
例1如图,小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形场地,其中边长AB为8m,其它三条边各是多少?
例2如图,在平行四边形ABCD中,AE=CF,
AF=CE.
(四)、随堂练习
1.
(1)在
ABCD中,∠A=60°
,则∠B=度,∠C=度,∠D=度.
(2)如果
ABCD中,∠A—∠B=40,则∠A=度,∠B=度,∠C=度,
∠D=度.
(3)如果
ABCD的周长为28cm,且AB:
BC=2∶5,那么AB=cm,BC=cm,
CD=cm,
2.如图,在
ABCD中,AC为对角线,BE⊥AC,DF⊥AC,E、F为垂足,
BE=DF.
(五)、当堂检测
(1)
ABCD中,∠A比∠B大
,则∠C=
(2)
ABCD中,AB=5,BC=3,则周长=
(3)平行四边形一个外角是
,这个平行四边形每个内角度数分别是
(4)
ABCD中,AB=6cm,AB的长是
ABCD周长的
,则BC=
(六)、课后练习
1、已知
ABCD中,∠A=80°
,∠B=,∠C=,∠D=。
2、如图2,四边形ABCD是平行四边形,则∠ADC=,∠BCD=,
AB=,BC=。
3、已知▱ABCD中,AB=5,AD=11,则它的周长是。
4、在
ABCD中,若∠A+∠C=120°
,则∠A=_______,∠B=_________.
5、已知平行四边形的面积是144cm2,相邻两边上的高分别为8cm和9cm,则这个平行四边形的周长________.
6、平行四边形两邻角的平分线相交所成的角为_________.
7、在下列图形的性质中,平行四边形不一定具有的是().
(A)对角相等(B)对角互补(C)邻角互补(D)内角和是
8、在
ABCD中,如果EF∥AD,GH∥CD,EF与GH相交与点O,那么图中的平行四边形一共有().
(A)4个(B)5个(C)8个(D)9个
9、如图,平行四边形ABCD中,∠A的平分线AE交CD于E,AB=5,BC=3,则EC的长()
A、1B、1.5C、2D、3
10、在
ABCD中,∠A:
∠B:
∠C=2:
3:
2,则∠D=()
(A)36°
(B)108°
(C)72°
(D)60°
11、平行四边形的周长为24cm,相邻两边长的比为3:
1,那么这个平行四边形较短的边长为().
(A)6cm(B)3cm(C)9cm(D)12cm
12、如图,AD∥BC,AE∥CD,BD平分∠ABC,求证AB=CE.
13、从
ABCD的顶点D和C,分别引对边AB的垂线DE和CF,交AB和它的延长线于E、F,
(1)求证:
△AED≌△BFC.
(2)求证:
平行四边形ABCD中,顶点B、D与对角线AC的距离相等.
14、如图,已知
ABCD,AD、BC的距离AE=15cm,AB、DC的距离AF=30cm,且∠EAF=30°
,
求⑴AB、BC、⑵
ABCD面积.
15、如图,在等腰△ABC中,AB=AC,AB=5cm,D为BC边上任意一点,DF∥AC,DE∥AB,求
ABCD的周长.
平行四边形及其性质
(二)
一、教学目标:
1.理解平行四边形中心对称的特征,掌握平行四边形对角线互相平分的性质.
2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题,和简单的证明题.
4.重点:
平行四边形对角线互相平分的性质,以及性质的应用.
5.难点:
综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.
(一)、课堂引入
1.复习提问:
(1)什么样的四边形是平行四边形?
四边形与平行四边形的关系是:
(2)平行四边形的性质:
①具有一般四边形的性质(内角和是).
②角:
平行四边形的对角(),邻角().
边:
平行四边形的对边().
2.【探究】:
在纸上画两个全等的
ABCD和
EFGH,并连接对角线AC、BD和EG、HF,设它们分别交于点O.把这两个平行四边形落在一起,在点O处钉一个图钉,将
ABCD绕点O旋转
,观察它还和
EFGH重合吗?
你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗?
进一步,你还能发现平行四边形的什么性质吗?
平行四边形性质3
∴(平行四边形的对角线互相平分)
(二)、例习题分析
例1、已知:
四边形ABCD是平行四边形,AB=10cm,AD=8cm,AC⊥BC,求BC、CD、AC、OA的长以及
ABCD的面积.
例2、已知:
ABCD中,BC=10cm,AC=8cm,BD=4cm,
的周长是多少?
和
的周长哪个长?
长多少?
(三)、随堂练习
1.在平行四边形中,周长等于48,
①已知一边长12,求各边的长
2已知AB=2BC,求各边的长
③已知对角线AC、BD交于点O,△AOD与△AOB的周长的差是10,求各边的长
2.如图,
ABCD中,AE⊥BD,∠EAD=60°
,AE=2cm,AC+BD=14cm,则△OBC的周长是_______cm.
3.
ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成
,
的两条线段,则
ABCD的周长是_____
.
4.
ABCD的对角线相交于点O,且两条对角线的和为36cm,AB长5cm,则△OCD周长为_____
5.平行四边形的两条对角线分别为6和10,则其中一条边x的取值范围为_____.
(四)、当堂检测
1.在
ABCD中,∠A的平分线交BC于点E,若CD=10,AD=16,则EC为_____
2.如图1所示,在
ABCD中,若∠A=45°
,AD=
,则AB与CD之间的距离为_____
(1)
(2)(3)
3.如图2所示,在
ABCD中,已知AC=3cm,若△ABC的周长为8cm,则平行四边形的周长为_____
4.如图3所示,已知在
ABCD中,AB=6,BC=4,若∠B=45°
,则
ABCD的面积为_____
(五)、课后练习
1.判断对错
(1)在
ABCD中,AC交BD于O,则AO=OB=OC=OD.()
(2)平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等.()
(3)平行四边形的两组对边分别平行且相等.()
(4)平行四边形是轴对称图形.()
2.在
ABCD中,AC=6、BD=4,则AB的范围是________.
3.在平行四边形ABCD中,已知AB、BC、CD三条边的长度分别为(x+3),(x-4)和16,则这个四边形的周长是
4.如图1所示,在
ABCD中,对角线AC,BD交于点O,若AO=4,BO=3,则CO=______,BD=________.
(1)
(2)(3)(4)
5.如图2所示,在
ABCD中,两条对角线交于点O,有△AOB≌△_______,△AOD≌△_______.
6.如图3所示,在
ABCD中,两条对角线交于点O,若AO=2cm,△ABC的周长为13cm,则
ABCD的周长为______cm.
7.在
ABCD中,对角线AC,BD交于点O,若△AOB的面积为3,则
ABCD的面积为______.
8.平行四边形不一定具有的性质是()
A.对角线互相平分B.对边平行C.对角线互相垂直D.对边相等
9.如图4所示,在
ABCD中,对角线AC,BD交于点O,图中全等三角形有()
A.5对B.4对C.3对D.2对
10.已知
ABCD的一条边长是5,则两条对角线的长可能是()
A.6和16B.6和6C.5和5D.8和18
11.已知:
ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F.求证:
OE=OF,AE=CF,BE=DF.
12.如图所示,在
ABCD中,AD⊥BD,AD=4,DO=3.
(1)求△COD的周长;
(2)求
13.如图所示,在
ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,M,N在对角线AC上,且AM=CN,
求证:
BM∥DN.
平行四边形判定
(一)
1.理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法.
2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题.
3.重点:
平行四边形的判定方法及应用.
4.难点:
平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用.
(一)课堂引入
【探究】:
小明的父亲手中有一些木条,他想通过适当的测量、割剪,钉制一个平行四边形框架,你能帮他想出一些办法来吗?
让学生利用手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件,思考并探讨:
(1)你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗?
(2)你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形?
(3)能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法?
你能用文字语言表述出来吗?
(4)你还能找出其他方法吗?
从探究中得到:
平行四边形判定方法1:
()
平行四边形判定方法2:
()
如图,∵
∴四边形ABCD是平行四边形
ABCD的对角线AC、BD交于点O,E、F是AC上的两点,并且AE=CF.
四边形BFDE是平行四边形.
问;
你还有其它的证明方法吗?
比较一下,哪种证明方法简单.
1.如图,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,
(1)若AD=8cm,AB=4cm,那么当BC=___cm,CD=___cm时,四边形ABCD为平行四边形;
(2)若AC=10cm,BD=8cm,那么当AO=__cm,DO=__cm时,四边形ABCD为平行四边形.
2.已知:
如图,
ABCD中,点E、F分别在CD、AB上,DF∥BE,EF交BD于点O.求证:
EO=OF.
1.AD∥BC,要判断四边形一定是平行四边形,应增加一个条件是(只填一个)
ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,若AB=6cm,则EF=cm
3.如图,
ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足为E、F,G、H分别为AD、BC的中点,求证:
EF和GH互相平分.(请用两种不同的证法).
方法一:
方法二:
1.在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于O点,要判断这个四边形是平行四边形,则应找=,=
2.下列条件中能判断四边形是平行四边形的是().
(A)对角线互相垂直(B)对角线相等
(C)对角线互相垂直且相等(D)对角线互相平分
3.四边形ABCD中,AD∥BC,要判定四边形ABCD是平行四边形,还应满足()
A.∠A+∠C=180°
B.∠B+∠D=180°
C.∠A+∠B=180°
D.∠A+∠D=180°
4.已知:
如图,△ABC,BD平分∠ABC,DE∥BC,EF∥AC,
求证:
BE=CF
5.如图,在
ABCD中,对角线AC与BD交于点O,已知点E、F分别为AO、OC的中点,
6.求证:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
7.如图:
四边形ABCD是平行四边形,M,N,P,Q分别是AB,BC,CD,DA上的点,且AM=BN=CP=DQ求证:
四边形是平行四边形
8.已知:
ABCD中,DM=BN,BE=DF,求证:
四边形MENF是平行四边形.
9.如图,△ABC中,AB=AC,点P是BC上任一点,PE∥AC,
PF∥AB,试说明PE+PF=AB
10、已知:
如图,△ABD、△BCE、△ACF都是等边三角形,
四边形ADEF是平行四边形.
平行四边形判定
(二)
1.掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法.
2.会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题.
3.通过平行四边形的性质与判定的应用,启迪学生的思维,提高分析问题的能力.
1.重点:
平行四边形各种判定方法及其应用,尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法.
2.难点:
平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用.
(一)复习引入:
1.平行四边形的性质:
2.平行四边形的判定方法:
3.【探究】取两根等长的木条AB、CD,将它们平行放置,再用两根木条BC、AD加固,得到的四边形ABCD是平行四边形吗?
结论:
下面证明这个结论
于是,我们得到平行四边形又一判定定理:
ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,求证:
BE=DF.
例2、已知:
ABCD中,E、F分别是AC上两点,且BE⊥AC于E,DF⊥AC于F.
四边形BEDF是平行四边形.
(三)、课堂练习
1.判断题:
(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形;
()
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
()
(3)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
(5)对角线相等的四边形是平行四边形;
(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形.()
如图,AC∥ED,点B在AC上,且AB=ED=BC,找出图中的平行四边形,并说明理由
3.已知:
如图,在
ABCD中,AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线.
四边形AFCE是平行四边形.
(1)当AB___CD时,四边形ABCD为平行四边形;
(2)当BC___AD时,四边形ABCD为平行四边形
2.四边形ABCD中,AC是对角线,∠DAC=∠BCA,∠DCA=∠BAC,且∠D=60°
,则∠B=
3.如图,在
ABCD中,E、G是AD的三等分点,F、H是BC的三等分点,则图中的平行四边形共有个,其中SABHG∶SABCD=
1.如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC的中点,延长DE到F,使EF=DE,
若AB=10,BC=8,则四边形BCFD的周长是
2.平行四边形的对角线长分别是10、16,则它的边长x的取值范围是
3.在四边形ABCD中,
(1)AB∥CD;
(2)AD∥BC;
(3)AD=BC;
(4)AO=OC;
(5)DO=BO;
(6)AB=CD.选择两个条件,能判定四边形ABCD是平行四边形的共有________对.
4.如右图,在
ABCD中,对角线AC与BD交于O点,已知点E、F分别是BD上的点,请你添加一个条件,
使得四边形AFCE是一个平行四边形。
5.延长△ABC的中线AD至E,使DE=AD.求证:
四边形ABEC是平行四边形.
6.如图,在
ABCD中,E、F是对角线AC的两个三等分点,求证:
8.已知如图7,E、F、G、H分别是平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点,且AE=CG,BF=DH。
四边形EFGH是平行四边形。
9.如图,平行四边形ABCD中,E、F为边AD、BC上的点,且AE=CF,连结AF、EC、BE、DF交于M、N,试说明:
四边形MFNE是平行四边形.
10.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD<
BC,
BC=18cm,CD=15cm,AD=10cm,AB=12cm,动点P、Q分
别从A、C同时出发,点P以2cm/秒的速度由A向D运动,
点Q以3cm/秒的速度由C向B运动。
(1)几秒钟后,四边形ABQP为平行四边形?
并求出ABQP的周长。
(2)几秒钟后,四边形PDCQ为平行四边形?
并求出PDCQ的周长。
平行四边形判定(三)
1.理解三角形中位线的概念,掌握它的性质.
2.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算.
3.能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论.理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法.
二重点、难点
掌握和运用三角形中位线的性质.
三角形中位线性质的证明(辅助线的添加方法).
(一)复习引入
1.回顾平行四边形的性质;
平行四边形的判定;
它们之间有什么联系?
2.你能说说平行四边形性质与判定的用途吗?
例1、如图,点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点,
DE∥BC且DE=
BC.
定义:
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
由例题可得三角形的中位线定理:
【思考】:
(1)想一想:
①一个三角形的中位线共有几条?
②三角形的中位线与中线有什么区别?
(2)三角形的中位线与第三边有怎样的关系?
如图
(1),在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:
四边形EFGH是平行四边形.
分析:
因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点,可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系.由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形,所以添加辅助线,构造“三角形中位线”的基本图形
此题可得结论:
顺次连结四边形四条边的中点,所得的四边形是()
例3、如图,a,b是两条平行线,从直线a上的任意一点A向直线b作垂线,垂足为点B,我们得到线段AB。
用同样的作法,我们作出线段CD,你能发现AB与CD的关系吗?
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的,像AB,CD这样的线段是这两条平行线间最短的线段,我们把这种线段的长度叫做两条平行线间的距离
1.如图,A、B两点被池塘隔开,在AB外选一点C,连结AC和BC,并分别找出AC和BC的中点M、N,如果测得MN=20m,那么A、B两点的距离是m,理由是.
三角形的各边分别为8cm、10cm和12cm,则连结各边中点所成三角形的周长.
3.如图,△ABC中,D、E、F分别是AB、AC、BC的中点,
(1)若EF=5cm,则AB=cm;
若BC=9cm,则DE=cm;
(2)中线AF与DE中位线有什么特殊的关系?
证明你的猜想.
(四)随堂练习
1.四边形的两条对角线分别是12cm和10cm,顺次连结各边中点所得四边形的周长是
2.一个四边形边长依次是a,b,c,d,且
,则此四边形是
3.一个三角形的周长是135cm,过三角形各顶点作对边的平行线,则这三条平行线所组成的三角形的周长是cm.
△ABC中,点D、E、F分别是△ABC三边的中点,如果△DEF的周长是12cm,那么△ABC的周长是cm.
5.如图,E、F是□ABCD对角线BD上的两点,请你添加一个适当的条件:
,使四边形AECF是平行四边形.
1.已知:
如图,在△ABC中,中线BE,CD交于点O,F,G分别是OB,OC的中点.
四边形DFGE是平行四边形.
如图,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:
3、如图,平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,E、F分别为BO、DO的中点.
AF∥CE.(请你用两种方法证明)
4、已知:
在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点,M、N、P、Q分别是OA、OB、OC、OD的中点。
求证:
四边形MNPQ是平行四边形
5.如图,在□ABCD中,∠DAB=60°
,点E、F分别在CD、AB的延长线上,且AE=AD,CF=CB.
(1)求证:
四边形AF
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