届高三数学二轮专题专题一三角函数与解三角形 第1讲 三角函数的图象与性质Word下载.docx
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解析 f(x)=cosx-sinx=cos,且函数y=cosx在区间[0,π]上单调递减,则由0≤x+≤π,得-≤x≤.因为f(x)在[-a,a]上是减函数,所以解得a≤,所以0<
a≤,所以a的最大值是.
答案 A
考点整合
1.常用三种函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象
递增
区间
[2kπ-π,2kπ]
递减
[2kπ,2kπ+π]
奇偶性
奇函数
偶函数
对称
中心
(kπ,0)
对称轴
x=kπ+
x=kπ
周期性
2π
π
2.三角函数的常用结论
(1)y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;
当φ=kπ+(k∈Z)时为偶函数;
对称轴方程可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得.
(2)y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ+(k∈Z)时为奇函数;
当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数;
对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得.
(3)y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数.
3.三角函数的两种常见变换
热点一 三角函数的定义
【例1】
(1)(2017·
北京卷)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=,则cos(α-β)=________.
(2)如图,以Ox为始边作角α(0<
α<
π),终边与单位圆相交于点P,已知点P的坐标为,则=________.
解析
(1)法一 由已知得β=(2k+1)π-α(k∈Z).
∵sinα=,∴sinβ=sin[(2k+1)π-α]=sinα=(k∈Z).
当cosα==时,cosβ=-,
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=×
+×
=-.
当cosα=-=-时,cosβ=,
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-.
综上可知,cos(α-β)=-.
法二 由已知得β=(2k+1)π-α(k∈Z),
∴sinβ=sin[(2k+1)π-α]=sinα,
cosβ=cos[(2k+1)π-α]=-cosα,k∈Z.
当sinα=时,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos2α+sin2α=-(1-sin2α)+sin2α=2sin2α-1=2×
-1=-.
(2)由三角函数定义,得cosα=-,sinα=,
∴原式===2cos2α=2×
=.
答案
(1)-
(2)
探究提高 1.当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决,机械地使用三角函数的定义就会出现错误.
2.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关,而与角α终边上点P的位置无关.若角α已经给出,则无论点P选择在α终边上的什么位置,角α的三角函数值都是确定的.
【训练1】
(1)(2018·
潍坊三模)在直角坐标系中,若角α的终边经过点P,则sin(π-α)=( )
A.B.C.-D.-
(2)(2018·
北京卷)在平面直角坐标系中,,,,是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P在其中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边.若tanα<
cosα<
sinα,则P所在的圆弧是( )
A.B.C.D.
解析
(1)∵角α的终边过点P,且|OP|=1.∴由三角函数定义,知sinα=cos=-.因此sin(π-α)=sinα=-.
(2)设点P的坐标为(x,y),由三角函数的定义得<
x<
y,所以-1<
0,0<
y<
1.所以P所在的圆弧是.
答案
(1)C
(2)C
热点二 三角函数的图象
考法1 三角函数的图象变换
【例2-1】
(1)要想得到函数y=sin2x+1的图象,只需将函数y=cos2x的图象( )
A.向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.向右平移个单位长度,再向上平移1个单位长度
C.向左平移个单位长度,再向下平移1个单位长度
D.向右平移个单位长度,再向下平移1个单位长度
湖南六校联考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其图象相邻两条对称轴之间的距离为,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度后,得到的图象关于y轴对称,那么函数y=f(x)的图象( )
A.关于点对称B.关于点对称
C.关于直线x=对称D.关于直线x=-对称
解析
(1)因为y=sin2x+1=cos+1=cos+1,
故只需将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,即可得到函数y=sin2x+1的图象.
(2)由题意,T=π,ω=2.
又y=f=sin的图象关于y轴对称.∴φ+=kπ+,k∈Z.
由|φ|<
,取φ=-,因此f(x)=sin,
代入检验f=0,A正确.
答案
(1)B
(2)A
探究提高 1.“五点法”作图:
设z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出x的值与相应的y的值,描点、连线可得.
2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的,如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.
考法2 由函数的图象特征求解析式
【例2-2】
(1)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为( )
A.f(x)=2sinB.f(x)=2sin
C.f(x)=2sinD.f(x)=2sin
济南调研)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,若x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=( )
A.1B.C.D.
解析
(1)由题意知A=2,T=4=π,ω=2,
因为当x=时取得最大值2,
所以2=2sin,
所以2×
+φ=2kπ+,k∈Z,
解得φ=2kπ-,k∈Z,
因为|φ|<
,得φ=-.
因此函数f(x)=2sin.
(2)观察图象可知,A=1,T=π,则ω=2.
又点是“五点法”中的始点,
∴2×
+φ=0,φ=.
则f(x)=sin.
函数图象的对称轴为x==.
又x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),
所以=,则x1+x2=,
因此f(x1+x2)=sin=.
答案
(1)B
(2)D
探究提高 已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>
0,ω>
0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A;
由函数的周期确定ω;
确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.
【训练2】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的倍,再把所得的函数图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间上的最小值.
解
(1)设函数f(x)的最小正周期为T,由题图可知
A=1,=-=,
即T=π,所以π=,解得ω=2,
所以f(x)=sin(2x+φ),又过点,
由0=sin可得+φ=2kπ,k∈Z,
则φ=2kπ-,k∈Z,因为|φ|<,所以φ=-,
故函数f(x)的解析式为f(x)=sin.
(2)根据条件得g(x)=sin,
当x∈时,4x+∈,
所以当x=时,g(x)取得最小值,且g(x)min=.
热点三 三角函数的性质
考法1 三角函数性质
【例3-1】(2018·
合肥质检)已知函数f(x)=sinωx-cosωx(ω>
0)的最小正周期为π.
(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;
(2)讨论函数f(x)在上的单调性.
解
(1)∵f(x)=sinωx-cosωx=sin,且T=π,
∴ω=2,于是f(x)=sin.
令2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z).
即函数f(x)图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).
(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
注意到x∈,所以令k=0,
得函数f(x)在上的单调递增区间为;
同理,其单调递减区间为.
探究提高 1.讨论三角函数的单调性,研究函数的周期性、奇偶性与对称性,都必须首先利用辅助角公式,将函数化成一个角的一种三角函数.
2.求函数y=Asin(ωx+φ)(A>
0)的单调区间,是将ωx+φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间),求出的区间即为y=Asin(ωx+φ)的增区间(或减区间),但是当A>0,ω<0时,需先利用诱导公式变形为y=-Asin(-ωx-φ),则y=Asin(-ωx-φ)的增区间即为原函数的减区间,减区间即为原函数的增区间.
考法2 三角函数性质与图象的综合应用
【例3-2】已知函数f(x)=2sinωxcosωx+2sin2ωx-(ω>
(1)求函数f(x)的单调递增区间.
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在[0,b](b>
0)上至少含有10个零点,求b的最小值.
解
(1)f(x)=2sinωxcosωx+(2sin2ωx-1)
=sin2ωx-cos2ωx=2sin.
由最小正周期为π,得ω=1,
所以f(x)=2sin,
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
整理得kπ-≤x≤kx+,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间是,k∈Z.
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到y=2sin2x+1的图象;
所以g(x)=2sin2x+1.
令g(x)=0,得x=kπ+或x=kπ+(k∈Z),
所以在[0,π]上恰好有两个零点,若y=g(x)在[0,b]上有10个零点,则b不小于第10个零点的横坐标即可.
所以b的最小值为4π+=.
探究提高 1.研究三角函数的图象与性质,关键是将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B(或y=Acos(ωx+φ)+B)的形式,利用正余弦函数与复合函数的性质求解.
2.函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的最小正周期T=.应特别注意y=|Asin(ωx+φ)|的最小正周期为T=.
【训练3】(2018·
湖南师大附中质检)已知向量m=(2cosωx,-1),n=(sinωx-cosωx,2)(ω>
0),函数f(x)=m·
n+3,若函数f(x)的图象的两个相邻对称中心的距离为.
(1)求函数f(x)的单调增区间;
(2)若将函数f(x)的图象先向左平移个单位,然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的倍,得到函数g(x)的图象,当x∈时,求函数g(x)的值域.
解
(1)f(x)=m·
n+3=2cosωx(sinωx-cosωx)-2+3
=sin2ωx-cos2ωx=sin.
依题意知,最小正周期T=π.
∴ω=1,因此f(x)=sin.
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
求得f(x)的增区间为,k∈Z.
(2)将函数f(x)的图象先向左平移个单位,
得y=sin=sin的图象.
然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的倍,得到函数g(x)=sin的图象.
故g(x)=sin,
由≤x≤,知≤4x+≤.
∴-1≤sin≤.
故函数g(x)的值域是[-,1].
1.已知函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象求解析式
(1)A=,B=.
(2)由函数的周期T求ω,ω=.
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.
2.运用整体换元法求解单调区间与对称性
类比y=sinx的性质,只需将y=Asin(ωx+φ)中的“ωx+φ”看成y=sinx中的“x”,采用整体代入求解.
(1)令ωx+φ=kπ+(k∈Z),可求得对称轴方程;
(2)令ωx+φ=kπ(k∈Z),可求得对称中心的横坐标;
(3)将ωx+φ看作整体,可求得y=Asin(ωx+φ)的单调区间,注意ω的符号.
3.函数y=Asin(ωx+φ)+B的性质及应用的求解思路
第一步:
先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y=Asin(ωx+φ)+B(一角一函数)的形式;
第二步:
把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求y=Asin(ωx+φ)+B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.
一、选择题
全国Ⅲ卷)函数f(x)=的最小正周期为( )
A.B.C.πD.2π
解析 f(x)====sinxcosx=sin2x,所以f(x)的最小正周期T==π.
答案 C
全国Ⅲ卷)函数f(x)=sin+cos的最大值为( )
A.B.1C.D.
解析 cos=cos=sin,则f(x)=sin+sin=sin,函数的最大值为.
湖南六校联考)定义一种运算=ad-bc,将函数f(x)=的图象向左平移φ(φ>
0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则φ的最小值是( )
解析 f(x)=2cosx-2sinx=4cos,
依题意g(x)=f(x+φ)=4cos是偶函数(其中φ>
0).
∴+φ=kπ,k∈Z,则φmin=π.
4.偶函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>
φ<
π)的部分图象如图所示,其中△EFG是斜边为4的等腰直角三角形(E,F是函数与x轴的交点,点G在图象上),则f
(1)的值为( )
A.B.C.D.2
解析 依题设,=|EF|=4,T=8,ω=.
∵函数f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,且0<
π.
∴φ=,在等腰直角△EGF中,易求A=2.
所以f(x)=2sin=2cosx,则f
(1)=.
5.(2018·
天津卷)将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( )
A.在区间上单调递增
B.在区间上单调递减
C.在区间上单调递增
D.在区间上单调递减
解析 把函数y=sin的图象向右平移个单位长度得函数g(x)=sin=sin2x的图象,由-+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z)得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),令k=1,得≤x≤,即函数g(x)=sin2x的一个单调递增区间为.
二、填空题
6.(2018·
江苏卷)已知函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,则φ的值是________.
解析 由函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,得sin=±
1.因为-<
,所以<
+φ<
,则+φ=,φ=-.
答案 -
7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,其中|PQ|=2.则f(x)的解析式为________.
解析 由题图可知A=2,P(x1,-2),Q(x2,2),所以|PQ|===2.整理得|x1-x2|=2,所以函数f(x)的最小正周期T=2|x1-x2|=4,即=4,解得ω=.又函数图象过点(0,
-),所以2sinφ=-,即sinφ=-.又|φ|<
,所以φ=-,所以f(x)=2sin.
答案 f(x)=2sin
8.(2018·
北京卷)设函数f(x)=cos(ω>
0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为________.
解析 由于对任意的实数都有f(x)≤f成立,故当x=时,函数f(x)有最大值,故f=1,-=2kπ(k∈Z),∴ω=8k+(k∈Z).又ω>
0,∴ωmin=.
答案
三、解答题
9.已知函数f(x)=4tanxsin·
cos-.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
解
(1)f(x)的定义域为{x|x≠+kπ,k∈Z},
f(x)=4tanxcosxcos-
=4sinxcos-
=4sinx-
=2sinxcosx+2sin2x-
=sin2x-cos2x
=2sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
设A=,B=,易知A∩B=.
所以当x∈时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
10.(2018·
西安模拟)已知函数f(x)=sinsinx-cos2x+.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值;
(2)若方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1-x2)的值.
解
(1)f(x)=cosxsinx-(2cos2x-1)
=sin2x-cos2x=sin.
当2x-=+2kπ(k∈Z),即x=π+kπ(k∈Z)时,函数f(x)取最大值,且最大值为1.
(2)由
(1)知,函数f(x)图象的对称轴为x=π+kπ,k∈Z,
∴当x∈(0,π)时,对称轴为x=π.
又方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2.
∴x1+x2=π,则x1=π-x2,
∴cos(x1-x2)=cos=sin,
又f(x2)=sin=,
故cos(x1-x2)=.
11.设函数f(x)=sin+sin,其中0<ω<3,已知f=0.
(1)求ω;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值.
解
(1)因为f(x)=sin+sin,
所以f(x)=sinωx-cosωx-cosωx
=sinωx-cosωx=
=sin.
由题设知f=0,
所以-=kπ,k∈Z,故ω=6k+2,k∈Z.
又0<ω<3,所以ω=2.
(2)由
(1)得f(x)=sin,
所以g(x)=sin=sin.
因为x∈,所以x-∈,
当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-.
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