运筹学习题Word格式.docx
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1
2
16
4
[4]
检验数
3
[1]
-1/2
1/4
-3/4
-4
[2]
-2
1/2
-1/8
-1
即原问题的最优解为〔x1,x2,x3,x4,x5〕=〔4,2,0,0,0〕,
对偶问题的最优解应对应于原问题松弛变量x3,x4,x5的检验数,所以为:
〔y1,y2,y3〕=〔2,0,0〕。
此时y2=0,y3=0,其对应原问题最优解x1=4,
x2=2,下的后两种资源已全部用完并无剩余。
〔16〕结论是错误的,现举例如下:
对于上述问题,最优解为x1=4,x2=2,第一种资源即机器台时的影子价格为y1=2>
0,现在我们增加5个机器台时,则上述问题变成:
我们仍然利用单纯形算法求解此问题得如下表:
13
9
5
-1/4
即原问题的最优解为〔x1,x2,x3,x4,x5〕=〔4,2,5,0,0〕,最优目标函数值仍然为Z=2×
4+3×
3=14≠14+y1×
5=14+2×
5=24。
(20)运输问题是一种特殊的线性规划模型,因而求解结果也可能出现以下情况之一:
有唯一最优解、有无穷多最优解、无界解和无可行解;
(×
)
(21)在运输问题中,只要给出一组含〔m+n–1〕个非负的{xij},且满足
,
,就可以作为一个初始基可行解;
(22)表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法;
(√)
(23)按最小元素法〔或伏格尔法〕给出的初始基可行解,从每一空格出发可以找出而且仅能找出唯一的闭回路;
(24)如果运输问题的单位运价表的某一行〔或某一列〕元素分别乘上一个常数k,最优调运方案将不会发生变化;
(25)如果运输问题的单位运价表的某一行〔或某一列〕元素分别加上一个常数k,最优调运方案将不会发生变化;
(26)当所有产地产量和销地的销量均为整数时,用表上作业法求得的运输问题的最优解也为整数解。
二应用题:
已知某工厂计划生产I、II、III三种产品,各产品需要在A、B、C三种设备上加工,各有关数据见如下表,试答复:
(1)如何充分发挥设备能力,使生产盈利最大?
(2)假设为了增加产量,可借用别的工厂的设备B,每月可借用60台时,租金为万元,问借用设备B是否合算?
(3)假设另有两种新产品IV、V,其中IV需用设备A—12台时,B—5台时,C—10台时,单位产品盈利千元;
V需用设备A—4台时,B—4台时,C—12台时,单位产品盈利千元。
如果A、B、C三种设备台时不增加,分别答复这两种新产品投产在经济上是否合算?
(4)假设对产品工艺重新进行设计和结构改造,而改良后生产每件产品I需用设备A—9台时,设备B—12台时,设备C—4台时,单位产品盈利千元,问这对原计划有何影响?
I
II
III
设备有效台时〔每月〕
A
10
300
B
400
C
420
单位产品利润〔千元〕
解:
设每月生产产品I、II、III的数量分别为x1、x2、x3。
依题意,本问题的线性规划模型为:
(1)利用单纯形法求解如下:
x6
[8]
0.25
1.25
0.125
25
[]
-1.25
345
-0.25
-0.85
-0.375
35
220
[30]
6
-5
338/15
-9/100
11/60
-17/300
116/5
-7/50
1/10
3/50
22/3
1/5
-1/6
1/30
-3/100
-4/15
-7/150
即原问题的最优解为〔x1,x2,x3,x4,x5〕=〔338/15,116/5,22/3,0,0〕。
目标函数的最优值为:
Z〔千元〕。
对偶问题的最优解应对应于原问题松弛变量x4,x5,x6的检验数,所以为:
〔y1,y2,y3〕=〔3/100,4/15,7/150〕。
〔2〕
503/15
146/5
-8/3
[-1/6]
153/5
11/10
13/100
-1/50
138/5
3/5
2/25
-6
-6/5
-1/5
-8/5
-7/20
-1/10
这时的最优解为:
〔x1,x2,x3,x4,x5〕=〔153/5,138/5,0,0,16〕。
Z=3×
153/5+2×
138/5=147,147-18=129<
〔千元〕;
故这时借用设备B不合算。
〔3〕假设新增两种新产品IV、V,他们的数量分别为x4/,x5/,它们的技术向量为:
,增加第IV种新产品的生产不会使总利润增加,因此,在经济上是不合算的;
又
,在原问题最优单纯形表中增加一列得下表:
x5/
-23/75
14/25
[8/15]
37/300
107/4
23/40
1/40
7/80
-3/80
31/2
-21/20
-119/
160
11/40
55/4
15/8
3/8
-5/16
1/16
-37/
-61/
800
-73/
320
-87/
1600
〔x1,x2,x3,x4,x5,x6,x5/〕=〔107/4,31/2,0,0,0,0,55/4〕。
107/4+2×
31/2+1.87×
55/4=〔千元〕。
此时,增加第V种产品的生产在经济上是合算的。
〔4〕
假设工艺重新进行设计和结构改造后产品I的产量为x1/,计算:
,所以在原问题最优单纯形表中增加一列得下表:
x1/
[349/300]
9/50
-1/15
253/300
6760/
349
-27/349
55/349
-17/349
6880/
-44/349
25/349
24/349
3010/
[68/349]
-109/
698
21/698
123/
3490
-2789/
6980
-39/
775/34
27/68
430/17
22/34
-1/34
3/34
1505/
34
349/68
136
21/136
-123/
680
-101/
272
〔x1/,x2,x3,x4,x5,x6〕=〔775/34,430/17,0,0,0,0〕。
Z=4.5×
775/34+2×
430/17=15〔千元〕。
改良结构后,只生产产品I、II,盈利更多。
.一贸易公司专门经营某种杂粮的批发业务。
公司线有库容为5000担的仓库。
一月一日,公司拥有库存1000担杂粮,并有资金20000元。
估计第一季度杂粮价格如表—1所示:
表—1
进货价格(元)
出货价格(元)
一月
二月
三月
如买进的杂粮当月到货,但需要到下月才能卖出,且规定“货到付款”。
公司希望本季末库存为2000担,问应采取什么样的买进与卖出的策略使三个月总的获利最大?
〔列出求解的线性规划模型,不用求解〕
提示:
三个存货限制,三个库容限制,三个资金限制,一个期末库存限制。
某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。
农场劳动力情况为秋冬季节3500人日,春夏季节4000人日,如劳动力本身用不了时可外出打工,春夏季收入为元/人日,秋冬季收入为元/人日。
该农场种植三种作物:
大豆、玉米、小麦,并饲养奶牛和鸡。
种作物时不需要专门投资,而饲养动物时每头奶牛投资400元,每只鸡投资3元。
养奶牛时每头需拨出公顷土地种饲草,并占用人工秋冬季为100人日,春夏季为50人日,年净收入400元/每头奶牛。
养鸡时不占用土地,需人工为每只鸡秋冬季需人日,春夏季为人日,年净收入为2元/每只鸡。
农场现有鸡舍允许最多养3000只鸡。
牛栏允许最多养32头奶牛。
三种农作物每年需要的人工及收入情况如表—2所示。
表—2
大豆
玉米
小麦
秋冬季需人日数
20
春夏季需人日数
50
75
40
年净收入(元/公顷)
175
120
试决定该农场的经营方案,使年净收入为最大。
〔建立线性规划模型,不求解〕
提示:
1个土地限制、1个资金限制、2个劳动力限制、1个牛栏限制、1个鸡舍限制
市场对I、II两种产品的需求量为:
产品I在1——4月每月需10000件,5——9月每月
需30000件,10——12月每月需100000件;
产品II在3——9月每月需15000件,其它月份每月需50000件。
某厂生产这两种产品成本为:
产品I在1——5月内生产每件5元,6——12月内生产每件0元;
产品II在1——5月内生产每件8元,6——12月内生产每件7元。
该厂每月生产两种产品能力总和应不超过120000件。
产品I容积每件立方米,产品II容积每件立方米,而该厂仓库容积为15000立方米,要求:
(a)说明上述问题无可行解;
(b)假设该厂仓库不足时,可从外厂借。
假设占用本厂每月每平方米库容需1元,而租用外厂仓库时上述费用增加为元,试问在满足市场需求情况下,该厂应如何安排生产,使总的生产加库存费用为最少。
〔建立模型,不需求解〕
对某厂I、II、III三种产品下一年各季度的合同预订数如表——3所示。
表—3
产品
季度
1500
1000
2000
1200
2500
该三种产品1季度初无库存,要求在4季度末各库存150件。
已知该厂每季度生产工时为15000小时,生产I、II、III产品每件分别需要2、4、3小时。
因更换工艺装备,产品I在2季度无法生产。
规定当产品不能按期交货时,产品I、II每件每迟交一个季度赔偿20元,产品III赔10元;
又生产出来产品不在本季度交货的,每件每季度的库存费用为5元。
问该厂应如何安排生产,使总的赔偿加库存的费用为最小。
〔要求建立模型,不需要求解〕
设xij为第j季度生产的产品i的数量,sij代表j季度需库存的产品i的数量,fij为第j季度末交货的产品i的数量,rij为第j季度对产品i的预订数,则有:
厂生产I、II两种食品,现有50名熟练工人,已知一名熟练工人每小时可生产10千克食品I或6千克食品II。
据合同预订,该两种食品每周的需求量急剧上升,见表——4。
为此该厂决定到第8周末需培训出50名新的工人,两班生产。
已知一名工人每周工`作40小时,一名熟练工人用两周时间可培训出不多于三名新工人〔培训期间熟练工人和培训人员均不参加生产〕。
熟练工人每周工资360元,新工人培训期间每周工资120元,培训结束参加工作后每周工资240元,生产效率同熟练工人。
在培训的过度期间,很多熟练工人愿意加班工作,工厂决定安排部分工人每周工作60小时,工资每周540元。
又假设预订的食品不能按期交货,每推迟交货一周的赔偿费为食品I——元/千克,食品II——元/千克。
在上述各种条件下,工厂应如何作出全面安排,使各项费用的总和为最小。
〔建立模型,无需求解〕
表—4单位:
吨/周
周次
食品
7
12
设xi,yi分别为第i周内用于生产食品Ⅰ和Ⅱ的工人数;
zi为第i周内加班工作的工人数;
wi为从i周开始抽出来培训新工人的原来工人数;
ni为从i周起开始接受培训的新工人数;
fi1和fi2分别为第i周末未能按期交货的食品Ⅰ和Ⅱ的数量;
ri1和ri2分别为第i周内对食品Ⅰ和Ⅱ的需求量,则有:
如表所示的运输问题中,假设产地i有一个单位物资未运出,则将发生存储费用。
假定1、2、3产地单位物资的存储费用分别为5、4和3。
又假定产地2的物资至少运出38个单位,产地3的物资至少运出27个单位,试求解此运输问题的最优解。
销地
产地
产量
30
销量
增加假想地D,销量为20。
将产地分别列为1,2,2'
,3'
,其中2'
的物资必须全部运出,不可以分给D,,如以下图,再用表上作业法求出最优解。
D
2'
1
M
38
3'
27
已知A1,A2,A3三个矿区可分别供给煤炭200,300,400〔万吨/年〕。
下述地区需调入煤炭:
B1:
100——200万吨/年,B2:
200——300万吨/年,B3:
为不低于200万吨/年,最高不限,B4:
180——300万吨/年,已知单位运价表如表——6所示。
如要求把所有煤炭分配出去,满足上述需求,又使总运费为最少的调运方案,试列出用运输问题模型求解时的产销平衡表及单位运价表〔不必求解〕。
表—6
B1
B2
B3
B4
A1
A2
A3
17
用匈牙利算法求解下述指派问题,已知效率矩阵分别如下:
〔a〕
〔b〕
〔a)最优指派方案为X13=X22=X34=X41=1,最优值为48.
(b)最优指派方案为X15=X23=X32=X44=X51=1,最优值为21.
分配甲、乙、丙、丁四个人去完成五项任务。
每人完成任务的时间如表——7所示。
由于任务数多于人数,故规定其中有一人可兼完成两项任务,其余三人每人完成一项。
试确定总花费时间为最少的指派方案。
表—7
任务
人
E
甲
29
31
42
37
乙
39
26
33
丙
28
32
丁
24
36
23
45
加上假设的第五个人是戊,她完成各项工作的时间取甲乙丙丁中最小者,如下表
戊
用匈牙利法求解,的最优分配方案为:
甲-B,乙—D和C,丙-E,丁-A,总计需要131h
某彩色电视机组装工厂,生产A,B,C三种规格电视机。
装配工作在同一生产线上完成,三种产品装配时的工时消耗分别为6小时,8小时和10小时。
生产线每月正常工作时间为200小时;
三种规格电视机销售后,每台可获利分别为500元,650元和800元。
每月销量
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