高中数学几个重要不等式Word下载.docx
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课程目标分析
依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况,特确定如下目标:
1、知识与能力目标:
理解掌握基本不等式,并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;
理解算数平均数与几何平均数的概念,学会构造条件使用基本不等式;
培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
2、过程与方法目标:
按照创设情景,提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。
启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动,培养学生的思维能力,体会数学概念的学习方法,通过运用多媒体的教学手段,引领学生主动探索基本不等式性质,体会学习数学规律的方法,体验成功的乐趣。
3、情感与态度目标:
通过问题情境的设置,使学生认识到数学是从实际中来,培养学生用数学的眼光看世界,通过数学思维认知世界,从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
教学重、难点分析
重点:
应用数形结合的思想理解基本不等式,并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。
难点:
1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);
2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。
教法分析
本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究;
启发诱导、讲练结合的教学方法,以学生为主体,以基本不等式为主线,从实际问题出发,放手让学生探究思索。
以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段,加深学生对基本不等式的理解。
教学准备
多媒体课件、板书
教学过程
教学过程设计以问题为中心,以探究解决问题的方法为主线展开。
这种安排强调过程,符合学生的认知规律,使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程,从而培养学生的创新意识。
具体过程安排如下:
创设情景,提出问题;
设计意图:
数学教育必须基于学生的“数学现实”,现实情境问题是数学教学的平台,数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实,并在此基础上发展他们的数学现实.基于此,设置如下情境:
上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客。
[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?
本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系,抽象出不等式。
在此基础上,引导学生认识基本不等式。
二、抽象归纳:
一般地,对于任意实数a,b,有,当且仅当a=b时,等号成立。
[问]你能给出它的证明吗?
学生在黑板上板书。
特别地,当a>
0,b>
0时,在不等式中,以、分别代替a、b,得到什么?
设计依据:
类比是学习数学的一种重要方法,此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源,突破了重点和难点,而且感受了其中的函数思想,为今后学习奠定基础.
答案:
。
【归纳总结】
如果a,b都是正数,那么,当且仅当a=b时,等号成立。
我们称此不等式为基本不等式。
其中称为a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数。
三、理解升华:
1、文字语言叙述:
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
2、联想数列的知识理解基本不等式
已知a,b是正数,A是a,b的等差中项,G是a,b的正的等比中项,A与G有无确定的大小关系?
两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。
3、符号语言叙述:
若,则有,当且仅当a=b时,。
[问]怎样理解“当且仅当”?
(学生小组讨论,交流看法,师生总结)
“当且仅当a=b时,等号成立”的含义是:
高中数学几个重要不等式第2篇
教学目标
教学重难点
1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);
一、创设情景,提出问题;
数学教育必须基于学生的“数学现实”,现实情境问题是数学教学的平台,数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实,并在此基础上发展他们的数学现实.基于此,设置如下情境:
本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系,抽象出不等式
在此基础上,引导学生认识基本不等式。
已知a,b是正数,A是a,b的等差中项,G是a,b的正的等比中项,A与G有无确定的大小关系?
4、探究基本不等式证明方法:
[问]如何证明基本不等式?
(意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明,实现从感性认识到理性认识的升华,前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的,下面用代数的思想,利用不等式的性质直接推导这个不等式。
)
方法一:
作差比较或由
展开证明。
方法二:
分析法(完成课本填空)
课本是学生了解世界的窗口和工具,所以,课本必须成为学生赖以学会学习的文本.在教学中要让学生学会认真看书、用心思考,养成讲讲议议、
动手动笔、仔细观察、用心体会的好习惯,真正学会读“数学书”。
点评:
证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法.
5、探究基本不等式的几何意义:
借助初中阶段学生熟知的几何图形,引导学生
几何解释实质可认为是:
在同一半圆中,半径不小于半弦(直径是最长的弦);
或者认为是,直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。
四、探究归纳
下列命题中正确的是
结论:
若两正数的乘积为定值,则当且仅当两数相等时,它们的和有最小值;
若两正数的和为定值,则当且仅当两数相等时,它们的乘积有最大值。
简记为:
“一正、二定、三相等”。
五、领悟练习:
公式应用之二:
(最优化问题)
新颖有趣、简单易懂、贴近生活的问题,不仅极大地增强学生的兴趣,拓宽学生的视野,更重要的是调动学生探究钻研的兴趣,引导学生加强对生活的关注,让学生体会:
数学就在我们身边的生活中
(1)在学农期间,生态园中有一块面积为100m2的矩形茶地,为了保护茶叶的健康生长,学校决定用篱笆围起来,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。
最短的篱笆是多少?
(2)现在学校仓库有一段长为36m的篱笆,要围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大。
最大面积是多少?
六、反思总结,整合新知:
通过本节课的学习你有什么收获?
取得了哪些经验教训?
还有哪些问题需要
请教?
通过反思、归纳,培养概括能力;
帮助学生总结经验教训,巩固知识技能,提高认知水平.
老师根据情况完善如下:
两种思想:
数形结合思想、归纳类比思想。
三个注意:
基本不等式求函数的最大(小)值是注意:
“一正二定三相等”
高中数学几个重要不等式第3篇
一、教材分析
1、本节教材的地位和作用
“基本不等式”是必修5的重点内容,在课本封面上就体现出来了(展示课本和参考书封面)。
它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究.在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。
求最值又是高考的热点。
同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想,有利于培养学生良好的思维品质。
2、教学目标
(1)知识目标:
探索基本不等式的证明过程;
会用基本不等式解决最值问题。
(2)能力目标:
培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。
?
(3)情感目标:
培养学生严谨求实的科学态度,体会数与形的和谐统一,领略数学的应用价值,激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。
3、教学重点、难点
根据课程标准制定如下的教学重点、难点
应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索基本不等式。
基本不等式的内涵及几何意义的挖掘,用基本不等式求最值。
二、教法说明
本节课借助几何画板,使用多媒体辅助进行直观演示.采用启发式教学法创设问题情景,激发学生开始尝试活动.运用生活中的实际例子,让学生享受解决实际问题的乐趣.课堂上主要采取对比分析;
让学生边议、边评;
组织学生学、思、练。
通过师生和谐对话,使情感共鸣,让学生的潜能、创造性最大限度发挥,使认知效益最大。
让学生爱学、乐学、会学、学会。
三、学法指导
为更好的贯彻课改精神,合理的对学生进行素质教育,在教学中,始终以学生主体,教师为主导.因此我在教学中让学生从不同角度去观察、分析,指导学生解决问题,感受知识的形成过程,培养学生数形结合的意识和能力,让学生学会学习。
四、教学设计
◆运用2002年国际数学家大会会标引入
◆运用分析法证明基本不等式
◆不等式的几何解释
◆基本不等式的应用
1、运用2002年国际数学家大会会标引入
如图,这是在北京召开的第24届国际数学家大会会标.会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。
(展示风车)
正方形ABCD中,AE⊥BE,BF⊥CF,CG⊥DG,DH⊥AH,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=__,Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等三角形,它们的面积之和是S’=_
从图形中易得,s≥s’,即
问题1:
它们有相等的情况吗?
何时相等?
问题2:
当a,b为任意实数时,上式还成立吗?
(学生积极思考,通过几何画板帮助学生理解)
一般地,对于任意实数a、b,我们有
当且仅当(重点强调)a=b时,等号成立(合情推理)
问题3:
你能给出它的证明吗?
(让学生独立证明)
设计意图
(1)运用2002年国际数学家大会会标引入,能让学生进一步体会中国数学的历史悠久,感受数学与生活的联系。
(2)运用此图标能较容易的观察出面积之间的关系,引入基本不等式很直观。
(3)三个思考题为学生创造情景,逐层深入,强化理解.
2、运用分析法证明基本不等式
如果a>
0,
用和分别代替a,b。
可以得到
也可写成
(强调基本不等式成立的前提条件“正”)(演绎推理)
问题4:
你能用不等式的性质直接推导吗?
要证=1GB3①
只要证=2GB3②
要证②,只要证=3GB3③
要证=3GB3③,只要证=4GB3④
显然,④是成立的.当且仅当a=b时,不等式中的等号成立.
(强调基本不等式取等的条件“等”)
(1)证明过程课本上是以填空形式出现的,学生能够独立完成,这也能进一步培养学生的自学能力,符合课改精神;
(2)证明过程印证了不等式的正确性,并能加深学生对基本不等式的理解;
(3)此种证明方法是“分析法”,在选修教材的《推理与证明》一章中会重点讲解,此处有必要让学生初步了解。
3、不等式的几何解释
如图,AB是圆的直径,C是AB上任一点,AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连AD,BD,则CD=,半径为
问题5:
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
(学生积极思考,通过几何画板帮助学生理解)
几何直观能启迪思路,帮助理解,因此,借助几何直观学习和理解数学,是数学学习中的重要方面。
只有做到了直观上的理解,才是真正的理解。
4、基本不等式的应用
例1.证明
(学生自己证明)
(1)这道例题很简单,多数学生都会仿照课本上的分析思路重新证明,能够练习“分析法”证明不等式的过程;
(2)学生能够加深对基本不等式的理解,a和b不仅仅是一个字母,而是一个符号,它们可以是a、b,也可以是x、y,也可以是一个多项式;
(3)此例不是课本例题,比课本例题简单,这样,循序渐进,有利于学生理解不等式的内涵。
例2:
(1)把36写成两个正数的积,当两个正数取什么值时,它们的和最小?
(2)把18写成两个正数的和,当两个正数取什么值时,它们的积最大?
(让学生分组合作、探究完成)
高中数学几个重要不等式第4篇
课标要求
知识与技能:
学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:
当且仅当这两个数相等;
过程与方法:
通过实例探究抽象基本不等式;
情感目标:
通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣;
识记理解应用综合知识点一:
基本不等式及其推导
过程&
or;
知识点二:
基本不等式的应用&
目标设计1.通过从不同角度探索不等式的证明过程,使学生理解基本不等式及其等号成立的条件;
2.掌握基本不等式解决最值问题,并理解运用基本不等式的三个限制条件(一正二定三相等)在解决最值中的作用。
教学情境一:
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,
会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,
颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?
分析:
将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
我们考虑4个直角三角形的面积的和是,正方形的面积为。
由图可知,即.
当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有。
新知:
若,则
教学情境二:
先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形,
再用这两个三角形拼接构造出一个矩形
(两边分别等于两个直角三角形的直角边,多余部分折叠).
假设两个正方形的面积分别为和()
考察左图中两个直角三角形的面积与矩形的面积,你能发现一个不等式吗?
你能用代数的方法给出它们的证明吗?
证明:
因为,即(当时取等号)
(在该过程中,可发现的取值可以是全体实数)
(分析法):
由于,于是要证明,
只要证明,
即证,即,
所以,(当时取等号)
【板书】两个重要不等式
若,则(当且仅当时,等号成立)
若,则(当且仅当时,等号成立)
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- 高中数学 几个 重要 不等式