广东省中山市高三高考模拟考试数学理试题 WWord格式.docx
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fxxππωϕωϕ=+>
-<
的部分图象
如图
所示,则,ωϕ的值分别是(A.2,3π-B.2,6π-C.4,6
π
-
D.4,3π
6.两个等差数列的前n项和之比为
510
21
nn+-,则它们的第7项之比为(
A.2B.3C.4513
D.7027
7.已知实数xy,满足52180,
20,30,xyxyxy+-≤⎧⎪
-≥⎨⎪+-≥⎩
若直线10kxy-+=
经过该可行域,则实数k的最大值是(
A.1
B.
3
C.2D.3
8.阅读如右所示的程序框图,若运行相应的程序,则输出的S的值是(
A.39B.21
C.81D.102
9.某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系,随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩(百分制如下表所示:
若数学成绩90分(含90分以上为优秀,物理成绩85(含85分以上为优秀.有多少把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系(
A.99.5%B.99.9%C.97.5%D.95%
10.己知抛物线方程为2=2ypx(>
0p,焦点为F,O是坐标原点,A是抛物线上的一
点,FA
与x轴正方向的夹角为60°
若OAF∆
则p的值为
(
A.2
或
..2D.2
11.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体外接球的表面积为(
A.8πB.16πC.32πD.64π
12.设函数(1,
(ln((1.
xaxfxxax⎧-<
=⎨+≥⎩e其中1a>
-.若(fx在R上是增函数,则实数a的取
值范围是(
A.[1,e++∞
B.(1,e++∞
C.(1,e-+∞
D.[1,e-+∞
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上
13.已知向量b
为单位向量,向量(1,1a=,
且||a=,则向量,ab的夹角为;
14.已知0
3sinmxdxπ
=⎰,则(23mabc+-的展开式中23mabc-的系数为;
15.已知1F、2F分别是双曲线22
221(0,0xyabab
-=>
>
的左右焦点,若在双曲线的右支上存
在一点M,使得(
220OMOFFM+=(其中O为坐标原点,
且12MF=
则双曲线
离心率为;
16.如下图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD.为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ,在山坡的A处测得0
15DAC∠=,沿山坡前进50m到达B处,又测得0
45DBC∠=.根据以上数据计算可得cosθ=__________.
C
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分
设等比数列{}na的前n项和为nS,已知,12a=,且1234,3,2SSS成等差数列.(1求数列{}na的通项公式;
(2设25nnbna=-⋅,求数列{}nb的前n项和nT.
18.(本小题满分12分
有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,且通过这两条公路所用的时间互不影响.据调查统计,通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表:
假设汽车A只能在约定日期(某月某日的前11天出发,汽车B只能在约定日期的前12天出发(将频率视为概率.
(I为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙,估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径;
(Ⅱ若通过公路l、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元(其他费用忽略不计,此项费用由生产商承担.如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到,则销售商一次性支付给生产商40万元,若在约定日期前送到;
每提前一天销售商将多支付给生产商2万元;
若在约定日期后送到,每迟到一天,生产商将支付给销售商2万元.如果汽车A,B按(I中所选路径运输货物,试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大.
19.(本小题满分12分
如图,直角梯形ABCD中,∠ABC=90°
AB=BC=2AD=4,点E、F分别是AB,CD的中点,点G在EF上,沿EF将梯形AEFD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF.
(1当AG+GC最小时,求证:
BD⊥CG;
(2当2BADGEDGBCFVV--=时,求二面角
DBGC--平面角的余弦值.
20.(本小题满分12分
已知椭圆22
22:
1(0xyEabab
+=>
的两个焦点12,FF,且椭圆过
点
且A是椭圆上位于第一象限的点,且12AFF∆
的面积12AFFS∆=(1求点A的坐标;
(2过点(3,0B的直线l与椭圆E相交与点
PQ,直线,APAQ与x轴相交与,MN两点,点
5
(,02
C,则||||CMCN⋅是否为定值,如果是定值,求出这个定值,如果不是请说明理由.
21.(本小题满分12分
设a为实数,函数((211xfxxeax-=--.(1当1a=时,求(fx在3,24⎛⎫⎪⎝⎭
上的最大值;
(2设函数(((
11,x
gxfxaxe
-=+--当(gx有两个极值点(1
1
xxxx<
时,总
有((211xgxfxλ'
≤,求实数λ的值((fx'
为(fx的导函数.
四、选做题(请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分选修4-1:
几何证明选讲
如图,ABC∆内接于直径为BC的圆O,过点A作圆O的切线交CB的延长线于点
PBAC∠的平分线分别交BC和圆O于点,DE,若210PAPB==.
(1求证:
2ACAB=;
(2求ADDE⋅的值.
23.(本题满分10分选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,设倾斜角为α的直线l
:
2cossinxtytα
α
=+⎧⎪⎨=⎪⎩(t为参数与曲线
2cos:
sinxCyϕ
ϕ
=⎧⎨
=⎩(ϕ为参数相交于不同的两点AB,.(1若3
α=
若以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,求直线AB的极坐标方程;
(2
(2P,,求||||PAPB⋅的值.
24.(本小题满分10分选修4-5:
不等式选讲
已知函数(32fxaxx=--+.(1若2a=,解不等式(3fx≤;
(2若存在实数a,使得不等式(12|2|fxax≥-++成立,求实数a的取值范围.
中山市2016届高考数学(理科模拟试卷参考答案
一、选择题
二、填空题
13.
23
14.6480-15
1三、解答题
17.解:
(1∵1234,3,2SSS成等差数列,∴213642SSS=+
即1211236(42(aaaaaa+=+++,则3232,aa=∴2q=,∴*
2(n
nanN=∈(2当1,2n=时,250n-<
当3n≥时,(34101232252nnTn=+⨯+⨯++-⨯
(4512201232252nnTn+=+⨯+⨯++-⨯,两式相减,得
((((434511
21210822222522225212
nnnnnTnn-++--=-+++++--⨯=-+⨯
--⨯-(134722nn+=-+-⨯
(134272nnTn+∴=+-⨯
(16,1
10,2
34272,3
nnnTnnn+⎧=⎪
∴==⎨⎪+-⨯≥⎩
18.解:
(I频率分布表如下:
设12,AA分别表示汽车
A在约定日期前11天出发选择公路1,2将货物运往城市乙;
12,BB分别表示汽车B在约定日期前12天出发选择公路1,2将货物运往城市乙;
1(0.20.40.6PA=+=;
2(0.10.40.5PA=+=;
1(0.20.40.20.6PB=++=;
2(0.10.40.40.9PB=+
+=;
所以汽车A选择公路1.汽车B选择公路2
(Ⅱ设X表示汽车A选择公路1时,销售商付给生产商的费用,则X的所有可能取值有42,40,38,36,则X的分布列如下:
420.2400.4380.2360.239.2EX=⨯+⨯+⨯+⨯=
∴汽车A选择公路1的毛利润是39.23.236-=(万元
设Y表示汽车B选择公路2时,销售商付给生产商的费用,则Y的所有可能取值有42,40,38,36,则X的分布列如下:
440.1420.4400.4380.141EX=⨯+⨯+⨯+⨯=
∴汽车B选择公路2的毛利润是411.639.4-=(万元∵36.039.4<
汽车B为生产商获得的毛利更大。
19.解:
(1证明:
∵点E、F分别是AB、CD的中点,∴EF∥BC,又∠ABC=0
90∴AE⊥EF,
∵平面AEFD⊥平面EBCF,
∴AE⊥平面EBCF,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,如图建立空间坐标系Exyz-.
翻折前,连接AC交EF于点G,此时点G使得AG+GC最小.
EG=
BC=2,又∵EA=EB=2.则(0,0,2,(2,0,0,(2,4,0ABC(0,2,2,(0,0,0,(0,2,0DEG
∴(2,2,2BD=-,(2,2,0CG=--,∴(2(22(200BDCG⋅=-⨯-+⨯-+=
∴BDCG⊥.
(2设EGk=,∵AD∥平面EFCB,
∴点D到平面EFCB的距离为即为点A到平面EFCB的距离.∵1
[(34]272
Skk=
-+⨯=-四边形GBCF,∴12
(733DGBCFVSAEk-=
⋅⋅=-四边形GBCF∴12
(233
BADGEADGEVSBEk-=
⋅=+四边形
z
x
又∵2BADGEDGBCFVV--=,∴42
(2(733
kk+=-∴1k=即EG=1.
设平面DBG的法向量为1(,,nxyz=
∵(0,1,0G,
∴(2,1,0BG=-,(2,2,2BD=-
则1100
nBDnBG⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即222020xyzxy-++=⎧⎨-+=⎩,取1x=,则2,1yz==-,∴1(1,2,1n=-
.平面BCG的一个法向量为2(0,0,1n=
则12cos,nn<
=,∵所求二面角DBFC--的平面角为锐角,
∴此二面角平面角的余弦值为
6
20.解:
因为椭圆椭圆E
过点
2
∴22222331
2babca
b⎧
=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎩
计算的得出2
6,abc===∴椭圆E的方程为:
22
163
xy+=∵12AFF∆
的面积12
AFFS∆=
∴121
||2
AFFy=∴1Ay=,代入椭圆方程22
Axy+=.∵0Ax>
计算得出2Ax=,∴(2,1A
(2解法一:
设直线l的方程为:
3xmy=+,1122(,,(,PxyQxy
-11-
联立22
26
xmyxy=+⎧⎨
+=⎩消去x整理的:
(2630mymy+++=.
由223612(20mm∆=-+>
可得2
1m
;
故||||CMCN⋅为定值,且1
||||4
CMCN⋅=
.解法二、设112234(,,(,,(,0,(,0PxyQxyMxNx,直线l、AP、AQ的斜率分别为
12,,kkk,由22
(326
ykxxy=-⎧⎨+=⎩得2222
(12121860kxkxk+-+-=2221444(12(1860kkk∆=-+->
可得:
21k<
22121222
12186
1212kkxxxxkk-+==
++,
∴
-12-
121212*********2122222222222
11(31(31
22222(51(124
2(4
186122(51124442
1861222
24
1212yykxkxkkxxxxkxxkxxkxxxxkkkkkkkkkkk------+=
+=+-----++++=
-++-⋅-+⋅++-+===----⋅+++
由11(2ykx-=-,令0y=,得3112xk=-
即1
(2,0Mk-同理的4212xk=-
即2
(2,0Nk-,则1212
1212111212121251511111|||||
(2||(2|||||222211111111|(||(|424211211||424
CMCNkkkkkkkkkkkkkkkkkk⋅=--⋅--=+⋅++=+++=++-=+⨯+=故||||CMCN⋅为定值,该定值为
14
21.解(1当1a=时,((211xfxxex-=--则((
11
221xx
xxxefxxx
e
e-----'
=--=,
令(212xhxxxe-=--,则(122xhxxe-'
=--显然(hx'
在区间3,24⎛⎫⎪⎝⎭
内是减函数,又31042h⎛⎫'
=-<
⎪⎝⎭,在区间3,24⎛⎫
⎪⎝⎭
内,总有(0hx'
(hx∴在区间3,24⎛⎫⎪⎝⎭内是减函数,又(10h=∴当3,14x⎛⎫
∈⎪⎝⎭
时,(0hx>
(0fx'
∴>
此时(fx单调递增;
当(1,2x∈时,(0hx<
-13-
∴<
此时(fx单调递减;
(fx∴在区间3,24⎛⎫
内的极大值也即最大值是(11f=
(2由题意,知((
1x
gxxae
-=-,则((
12122x
xgxxxae
xxae--'
=-+=-++
根据题意,方程2
20xxa-++=有两个不同的实根(1212,xxxx<
440a∴∆=+>
即1a>
-,且122xx+=
121211,2xxxxx<
=-且,由((211xgxfxλ'
≤
其中((
12x
fxxx
a-'
=--,得
((((1
1122
2111111222xxxxaexxexxλ--⎡⎤--≤-+-⎣⎦
21120xxa-++=
所以上式化为((
((1
11122
1111112222xxxxe
xxexxλ--⎡⎤-≤-+-⎣⎦
又120x->
所以不等式可化为1
1111210xxxeeλ--⎡⎤-+≤⎣⎦,对任意的(1,1x∈-∞恒
成立.
①当10x=,1
1111210xxxe
eλ--⎡⎤-+≤⎣⎦不等式恒成立,Rλ∈;
②当(10,1x∈时,1
11210xxe
λ---+≤恒成立,111121
xxeeλ--≥+
令函数(111111122
211
xxxekxee---==-++
显然(1kx是R内的减函数,当(0,1x∈,((22011
ee
kxkeeλ<
∴≥++③(1,0x∈-∞时,1
λ---+≥恒成立,即1
11121
xxeeλ--≤+
由②,当(,0x∈-∞,((201
kxke>
+,即21eeλ≤+
综上所述,21
eλ=
+.
-14-
四、选做题(请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(1PA是圆O的切线,PABACB∴∠=∠,又P∠是公共角,ABPCAP∴∆∆
22CAAP
ACABABBP
==∴=;
(2由切割线定理,得2,20PAPBPCPC=⋅∴=,又5,15PBBC==又AD是BAC∠的平分线,2ACCD
ABDB
==由相交弦定理,得50ADDECDDB⋅=⋅=.23.解:
(1当3
时,直线l
0y--=∴直线l
cossinθρθ-=
2cos(6
πρθ+
=(2曲线2cos:
sinxCyϕϕ=⎧⎨=⎩普通方程是:
214xy+=,
将2cossinxtytα
=+⎧⎪⎨=⎪⎩代入曲线C的普通方程,整理得:
而直线的斜率为
则
tan
α=代入上式求得
512
||||71416
PAPB+⋅==+⨯
.24.【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式的应用等基础知识,意在考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算求解能力,以及分类讨论的思想与转化思想.
24.解析不等式(3fx≤化为2323xx--+≤,则
22323xxx≤-⎧⎨
-++≤⎩,或2232323xxx⎧-<
≤⎪⎨⎪---≤⎩,或233223
xxx⎧>
⎪
⎨⎪---≤⎩,„„„„3分
-15-
解得3742
x-
≤≤,所以不等式(3fx≤的解集为37
{|42
xx-
≤≤.„„„„„„„„5分(2不等式(12|2|fxax≥-++等价于3321axxa--+≥-,即3361xxa
-≥-,由三角不等式知336|(3(36||6|xaxxaxa--+≤--+=+.„„„„„„8分若存在实数a,使得不等式(12|2|fxax≥-++成立,则|6|1aa+≥-,解得5
a≥-
所以实数a的取值范围是5[,2
-+∞.„„„„„„„„10分
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