22函数的定义域与值域.docx
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22函数的定义域与值域
第二节函数的定义域与值域(最值)
考纲解读会求―些简单函数的定义域和值域
命题趋势探究考查重点是求解函数的定义域和值域
知识点精讲
一、函数的定义域
求解函数的定义域应注意:
(1)分式的分母不为零;
(2)偶次方根的被开方数大于或等于零:
(3)对数的真数大于零,底数大于零且不等于1;
(4)零次幂或负指数次幂的底数不为零;
(5)三角函数中的正切的定义域是且;
(6)已知的定义域求解的定义域,或已知的定义域求的定义域,遵循两点:
①定义域是指自变量的取值范围;在同一对应法则∫下,括号内式子的范围相同;
(7)对于实际问题中函数的定义域,还需根据实际意义再限制,从而得到实际问题函数的定义域.
二、函数的值域
求解函数值域主要有以下十种方法:
(1)观察法;
(2)配方法;(3)图像法;(4)基本不等式法,(5)换元法;(6)分离常数法;(7)判别式法;(8)单调性法,(9)有界性法;(10)导数法.
需要指出的是,定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式.
题型归纳及思路提示
题型13函数定义域的求解
思路提示
对求函数定义域问题的思路是:
(1)先列出使式子有意义的不等式或不等式组;
(2)解不等式组;(3)将解集写成集合或区间的形式.
二、给出函数解析式求解定义域
例2.10函数的定义域为().
A.(-4,-1)B.(-4,1)C.(-1,1)D.(-1,1]
分析本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解
解析得,故选C
变式1函数的定义域为()
A.(0,1)B[0,1)C.(0,1]D[0,1]
变式2求函数的定义域.
三、抽象函数定义域
已知的定义域求的定义域,或已知的定义域求的定义域,或已知的定义域求的定义域.
解题时注意:
(1)定义域是指自变量的取值范围;
(2)在同一对应法则∫的作用下括号内式子的范围相同.
例2.11
(1)已知函数的定义域为(0,1)求的定义域
(2)已知函数的定义域为(2,4)求的定义域
(3)已知函数的定义域为(1,2)求的定义域.
分析已知函数的定义域为D,求函数的定又域,只需;已知函数的定义域,求函数了的定义域,只需,即求的值域.
解析
(1)的定义域为(0,1),即0 (2)的定义域为(2,4).即2 (3)因为的定义域为(1,2)即1<<2,所以1<<4,故需1<+1<4.所以0<<,故的定义域为 评注定义域是对自变量而言的,如的定义域为(1,2)指的是x的范围而非的范围. 变式1已知函数的定义域是[0,1],求的定义域. 变式2设,则的定义域为() A(-4,0)U(0,4)BC.D 三、实际问题中函数定义域的求解 例2.12如图2-3所示,用长为1的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆形的框架,若半圆半径为x,求此框架围成的面积y与x的函数式y=,并写出其定义域. 分析在求实际问题函数的定义域时,应注意根据实际意义再限制,从而得到实际问题函数的定义城. 解析由题意: 于是,因此,化简即为 又根据实际应有,得,即所求函数的定义域为 评注求实际问题函数的定义域时,除考虑函数的解析式有意义外、还要考虑使实际问题有意义,如本题中要根据各种度量的存在性来确定函数的定义域 题型14函数定义域的应用 思路提示对函数定义域的应用,是逆向思维问题,常常转化为恒成立问题求解,必要时对参数进行分类讨论. 例2.13若函数的定义域为R,则实数a的取值范围为_____. 分析函数的定义域为R,即≥0在R上恒成立,再利用指数函数的单调性求解 解析由题意知≥0在R上恒成立,所以,即有恒成立,其等价于△=, 则实数的取值范围为[―1,0] 变式1若函数的定义域是R,求则实数a的取值范围是() A.B.C.D. 变式2函数的定义域是R,求a的取值范围. 变式3若函数的定义域为R,求实数a的取值范围. 题型15函数值域的求解 思路提示函数值域的求法主要有以下几种 (1)观察法: 根据最基本函数值域(如≥0,及函数的图像、性质、简单的计算、推理,凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域. (2)配方法: 对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点,结合二次函数的定义城求出函数的值域. (3)图像法: 根据所给数学式子的特征,构造合适的几何模型. (4)基本不等式法: 注意使用基本不等式的条件,即一正、二定、三相等. (5)换元法: 分为三角换元法与代数换元法,对于形的值城,可通过换元将原函数转化为二次型函数. (6)分离常数法: 对某些齐次分式型的函数进行常数化处理,使函数解析式简化内便于分析. (7)判别式法: 把函数解析式化为关于x的―元二次方程,利用一元二次方程的判别式求值域,一般地,形如,或的函数值域问题可运用判别式法(注意x的取值范围必须为实数集R). (8)单调性法: 先确定函数在定义域(或它的子集)内的单调性,再求出值域.对于形如或的函数,当ac>0时可利用单调性法. (9)有界性法: 充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性,求出值域.因为常出现反解出y的表达式的过程,故又常称此为反解有界性法. (10)导数法: 先利用导数求出函数的极大值和极小值,再确定最大(小)值,从而求出函数的值域. 一观察法 例2.14求函数的值域. 分析由观察法直接得到函数的值域. 解析因为,所以函数的值域为. 变式1函数的值域是. 变式2函数的值域是. 二配方法 例2.15求函数的值域. 分析对于根式中的二次函数,利用配方法求解. 解析由,得. . 变式1求函数的值域. 变式2求的值域. 变式3设函数的定义域为D,若所有点构成一个正方形区域,则a的值为(). A-2B-4C-8D不能确定 三图像法(数形结合) 例2.16求函数的值域. 分析由函数表达式易联想到两点间距离公式,可将其转化为动点与两定点的距离之和. 解析如图2-4所示,,所示动点P(x,1)到两定点A(-1,0)和B(1,0)的距离之和,作点B(1,0)关于直线y=1的对称点,连接 B¹A交y=1于点P¹(0,1),此时AB¹的长即为PA与PB的长之和的最小值,点P¹(0,1)到A,B两点的距离之和为,故函数的值域为[,+∞﹚. 评注本题中也可看着动点P(x,0)与两定点A¹(-1,1),B¹(1,1)的距离之和,同理利用数形结合思想,|PA¹|+|PB¹|,则|PA¹|+|PB¹|的最小值为. 变式1求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 变式2函数的值域是(). ABCD 变式3函数的值域是(). AB CD 四基本不等式法 例2.17已知x>2,求函数的值域. 解析令,则, (当且仅当,即t=2,x=3时取等号).故函数的值域为. 变式1求函数的值域. 五、换元法(代数换元与三角换元) 【例2.18】求函数的值域. 解析令,则,得.因为函数的对称轴,所以函数在区间上单调递增,所以值域为.故函数的值域为. 变式1: 求函数的值域. 变式2: 求函数的值域. 6、分离常数法 【例2.19】求的值域. 分析本例中的函数是关于的齐次分式,故可以考虑使用分离常数法加以求解. 解析由题意得,因为,所以. ,故值域为. 变式1: 求函数的值域. 变式2: 求函数的值域. 7、判别式法 【例2.20】求函数的值域. 解析因为恒成立,所以函数的定义域为R. 原式可化为.整理得.若,即,即;若,因为,即有,所以,解得且.综上所述,函数的值域为. 变式1: 已知函数的值域为,求的值. 变式2: 已知函数的定义域为R,值域为,求的值. 8、单调性法 【例2.21】求函数的值域. 解析由函数的定义域为,且函数在区间上单调递增.当时,,所以函数的值域为. 变式1: 求函数的值域. 变式2: 函数的值域是_______________. 变式3: 求函数的值域. 变式4: 求函数的值域. 9、有界性法 【例2.22】求函数的值域. 解析解法一(有界性法): 由题意可得,即有,由,可知,故,可得,因此所求函数的值域为. 解法二(分离常数法): ,由,可知,故,因此函数的值域为. 变式1: 已知函数,求函数的值域. 变式2: 已知函数,若有,则的取值范围为() 【例2.23】已知,求函数的值域. 解析由,得,且,故.得或.又,,则.故.因此函数的值域为. 评注本题也可以用数形结合思想求解,设,则的几何意义为点与点所确定直线的斜率,其中为单位圆在轴左侧部分. 变式1: 已知,求函数的值域. 10、导数法 【例2.24】求函数的值域. 解析由,得.由表看出,的最大值的最小值,故的值域为. 评注对于三次函数以及复杂的函数求值域一般都用导数法求解,此类解法在第三章导数中有更为系统的介绍. 变式1: 若函数在区间及上都是增函数,而在上是减函数,求此函数在上的值域. 最有效训练题5(限时45分钟) 1.已知,则下列函数中定义域和值域都可能是R的是() 2.若函数的定义域为R,则实数的取值范围是() 3.定义域为R是函数的值域为,则函数的值域是() 4.函数的值域是() 5.设函数,,则的值域是() 6.对任意两实数,定义运算“*”如下: ,函数的值域为() 7.函数的定义域是________________. 8.函数的值域为________________. 9.若函数的值域为,则函数的值域是____________. 10.已知函数,定义域为,值域为,则的取值范围是_________________. 11.求下列函数的定义域. (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7)已知函数的定义域是,求的定义域; (8)已知函数的定义域为,求的定义域. 12.求下列函数的值域. (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8).
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- 22 函数 定义域 值域