新课标全国卷卷理数空白打印版后附详细解析.doc
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2017新课标全国II卷理科数学
1.()
A. B. C. D.
2.设集合,.若,则()
A. B. C. D.
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:
“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?
”意思是:
一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()
A.1盏 B.3盏 C.5盏D.9盏
4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为()
A. B. C. D.
5.设,满足约束条件,则的最小值是()
A. B. C. D.
6.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老师说:
你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:
我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()
A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩
8.执行右面的程序框图,如果输入的,则输出的()
A.2 B.3 C.4 D.5
9.若双曲线(,)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则的离心率为()
A.2 B. C. D.
10.已知直三棱柱中,,,,则异面直线与所成角的余弦值为()
A. B. C. D.
11.若是函数的极值点,则的极小值为()
A. B. C. D.1
12.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小值是()
A. B. C. D.
13.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,表示抽到的二等品件数,则.
14.函数()的最大值是.
15.等差数列的前项和为,,,则.
16.已知F是抛物线C:
的焦点,M是C上一点,FM的延长线交轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=.
17.(12分)的内角的对边分别为,已知.
(1)求
(2)若,面积为2,求
18.(12分)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:
kg)某频率直方图如下:
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件:
旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
<50kg
≥50kg
旧养殖法
新养殖法
(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)
附:
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
19.(12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面三角形BCD,E是PD的中点.
(1)证明:
直线CE//平面PAB
(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成锐角为45º,求二面角M-AB-D的余弦值.
20.(12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:
上,过M做x轴的垂线,垂足为N,点P满足.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设点Q在直线x=-3上,且.证明:
过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
21.(12分)已知函数,且.
(1)求a;
(2)证明:
存在唯一的极大值点,且.
22.(10分)【选修4-4:
坐标系与参数方程】
在直角坐标系xoy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.
23.(10分)【选修4-5:
不等式选】已知,证明:
(1);
(2).
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)
参考答案与试题解析
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)(2017•新课标Ⅱ)=( )
A.1+2i B.1﹣2i C.2+i D.2﹣i
【解答】解:
===2﹣i,
故选D.
2.(5分)(2017•新课标Ⅱ)设集合A={1,2,4},B={x|x2﹣4x+m=0}.若A∩B={1},则B=( )
A.{1,﹣3} B.{1,0} C.{1,3} D.{1,5}
【解答】解:
集合A={1,2,4},B={x|x2﹣4x+m=0}.
若A∩B={1},则1∈A且1∈B,
可得1﹣4+m=0,解得m=3,
即有B={x|x2﹣4x+3=0}={1,3}.
故选:
C.
3.(5分)(2017•新课标Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:
“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?
”意思是:
一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏
【解答】解:
设这个塔顶层有a盏灯,
∵宝塔一共有七层,每层悬挂的红灯数是上一层的2倍,
∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列,
又总共有灯381盏,
∴381==127a,解得a=3,
则这个塔顶层有3盏灯,
故选B.
4.(5分)(2017•新课标Ⅱ)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )
A.90π B.63π C.42π D.36π
【解答】解:
由三视图可得,直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半,
V=π•32×10﹣•π•32×6=63π,
故选:
B.
5.(5分)(2017•新课标Ⅱ)设x,y满足约束条件,则z=2x+y的最小值是( )
A.﹣15 B.﹣9 C.1 D.9
【解答】解:
x、y满足约束条件的可行域如图:
z=2x+y经过可行域的A时,目标函数取得最小值,
由解得A(﹣6,﹣3),
则z=2x+y的最小值是:
﹣15.
故选:
A.
6.(5分)(2017•新课标Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
【解答】解:
4项工作分成3组,可得:
=6,
安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,
可得:
6×=36种.
故选:
D.
7.(5分)(2017•新课标Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老师说:
你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:
我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )
A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩
【解答】解:
四人所知只有自己看到,老师所说及最后甲说话,
甲不知自己的成绩
→乙丙必有一优一良,(若为两优,甲会知道自己的成绩;若是两良,甲也会知道自己的成绩)
→乙看到了丙的成绩,知自己的成绩
→丁看到甲、丁中也为一优一良,丁知自己的成绩,
故选:
D.
8.(5分)(2017•新课标Ⅱ)执行如图的程序框图,如果输入的a=﹣1,则输出的S=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解答】解:
执行程序框图,有S=0,k=1,a=﹣1,代入循环,
第一次满足循环,S=﹣1,a=1,k=2;
满足条件,第二次满足循环,S=1,a=﹣1,k=3;
满足条件,第三次满足循环,S=﹣2,a=1,k=4;
满足条件,第四次满足循环,S=2,a=﹣1,k=5;
满足条件,第五次满足循环,S=﹣3,a=1,k=6;
满足条件,第六次满足循环,S=3,a=﹣1,k=7;
7≤6不成立,退出循环输出,S=3;
故选:
B.
9.(5分)(2017•新课标Ⅱ)若双曲线C:
﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x﹣2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为( )
A.2 B. C. D.
【解答】解:
双曲线C:
﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线不妨为:
bx+ay=0,
圆(x﹣2)2+y2=4的圆心(2,0),半径为:
2,
双曲线C:
﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x﹣2)2+y2=4所截得的弦长为2,
可得圆心到直线的距离为:
=,
解得:
,可得e2=4,即e=2.
故选:
A.
10.(5分)(2017•新课标Ⅱ)已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【解答】解:
如图所示,设M、N、P分别为AB,BB1和B1C1的中点,
则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角
(因异面直线所成角为(0,]),
可知MN=AB1=,
NP=BC1=;
作BC中点Q,则△PQM为直角三角形;
∵PQ=1,MQ=AC,
△ABC中,由余弦定理得
AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC
=4+1﹣2×2×1×(﹣)
=7,
∴AC=,
∴MQ=;
在△MQP中,MP==;
在△PMN中,由余弦定理得
cos∠MNP===﹣;
又异面直线所成角的范围是(0,],
∴AB1与BC1所成角的余弦值为.
11.(5分)(2017•新课标Ⅱ)若x=﹣2是函数f(x)=(x2+ax﹣1)ex﹣1的极值点,则f(x)的极小值为( )
A.﹣1 B.﹣2e﹣3 C.5e﹣3 D.1
【解答】解:
函数f(x)=(x2+ax﹣1)ex﹣1,
可得f′(x)=(2x+a)ex﹣1+(x2+ax﹣1)ex﹣1,
x=﹣2是函数f(x)=(x2+ax﹣1)ex﹣1的极值点,
可得:
﹣4+a+(3﹣2a)=0.
解得a=﹣1.
可得f′(x)=(2x﹣1)ex﹣1+(x2﹣x﹣1)ex﹣1,
=(x2+x﹣2)ex﹣1,函数的极值点为:
x=﹣2,x=1,
当x<﹣2或x>1时,f′(x)>0函数是增函数,x∈(﹣2,1)时,函数是减函数,
x=1时,函数取得极小值:
f
(1)=(12﹣1﹣1)e1﹣1=﹣1.
故选:
A.
12.(5分)(2017•新课标Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则•(+)的最小值是( )
A.﹣2 B.﹣ C.﹣ D.﹣1
【解答】解:
建立如图所示的坐标系,以BC中点为坐标原点,
则A(0,),B(﹣1,0),C(1,0),
设P(x,y),则=(﹣x,﹣y),=(﹣1﹣x,﹣y),
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