学年高中数学人教A版选修44创新应用教学案第二讲第1节第1课时参数方程的概念含答案.docx
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学年高中数学人教A版选修44创新应用教学案第二讲第1节第1课时参数方程的概念含答案
第1课时 参数方程的概念
[核心必知]
1.参数方程
在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数①,并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组①叫做这条曲线的参数方程.
联系变量x,y的变数t叫做参变数,简称参数.
2.普通方程
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
[问题思考]
1.参数方程中的参数t是否一定有实际意义?
提示:
参数是联系变数x,y的桥梁,可以是一个有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.
2.曲线的参数方程一定是唯一的吗?
提示:
同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样.如和(m∈R)都表示直线x=2y+1.
已知曲线C的参数方程是(t为参数).
(1)判断点M1(0,-1)和M2(4,10)与曲线C的位置关系;
(2)已知点M(2,a)在曲线C上,求a的值.
[精讲详析] 本题考查曲线的参数方程及点与曲线的位置关系.解答此题需要将已知点代入参数方程,判断参数是否存在.
(1)把点M1的坐标代入参数方程
得
∴t=0.即点M1在曲线C上.
把点M2的坐标代入参数方程
得方程组无解.即点M2不在曲线C上.
(2)∵点M(2,a)在曲线C上,∴
∴t=1,a=3×12-1=2.即a的值为2.
已知曲线的参数方程,判断某点是否在曲线上,就是将点的坐标代入曲线的参数方程,然后建立关于参数的方程组,如果方程组有解,则点在曲线上;否则,点不在曲线上.
1.已知曲线(θ为参数,0≤θ<π),则下列各点A(1,3),B(2,2),C(-3,5)在曲线上的点是________.
解析:
将A(1,3)点代入方程得θ=0;将B、C点坐标代入方程,方程无解,故B、C点不在曲线上.
答案:
A(1,3)
如图,△ABP是等腰直角三角形,∠B是直角,腰长为a,顶点B、A分别在x轴、y轴上滑动,求点P在第一象限的轨迹的参数方程.
[精讲详析] 本题考查曲线参数方程的求法,解答本题需要先确定参数,然后分别用同一个参数表示x和y.
法一:
设P点的坐标为(x,y),过P点作x轴的垂线交x轴于Q.
如图所示,则Rt△OAB≌Rt△QBP.
取OB=t,t为参数(0<t<a).
∵|OA|=,∴|BQ|=.
∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为
(0<t<a)
法二:
设点P的坐标为(x,y),过点P作x轴的垂线交x轴于点Q,如图所示.
取∠QBP=θ,θ为参数(0<θ<),则∠ABO=-θ.
在Rt△OAB中,|OB|=acos(-θ)=asinθ.
在Rt△QBP中,|BQ|=acosθ,|PQ|=asinθ.
∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为
(θ为参数,0<θ<).
(1)求曲线参数方程的主要步骤:
第一步,建立直角坐标系,设(x,y)是轨迹上任意一点的坐标.画出草图(画图时要注意根据几何条件选择点的位置,以利于发现变量之间的关系).
第二步,选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点:
一是曲线上每一点的坐标x,y与参数的关系比较明显,容易列出方程;二是x,y的值可以由参数唯一确定.例如,在研究运动问题时,通常选时间为参数;在研究旋转问题时,通常选旋转角为参数.此外,离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数.
第三步,根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等,建立点的坐标与参数的函数关系式.
(2)求曲线的参数方程时,要根据题设条件或图形特性求出参数的取值范围并标注出来.
2.如图所示,OA是圆C的直径,且OA=2a,射线OB与圆交于Q点,和经过A点的切线交于B点,作PQ⊥OA交OA于D,PB∥OA,试求点P的轨迹的参数方程.
解:
设P(x,y)是轨迹上任意一点,取∠DOQ=θ,由PQ⊥OA,PB∥OA,得x=OD=OQcosθ=OA·cos2θ=2acos2θ,y=AB=OAtanθ=2atanθ.
所以P点轨迹的参数方程为θ∈(-,).
曲线参数方程的应用,是高考模拟的热点内容.本考题以实际问题为背景考查了曲线参数方程的实际应用,是高考模拟命题的一个新亮点.
[考题印证]
已知弹道曲线的参数方程为(t为参数)
(1)求炮弹从发射到落地所需时间;
(2)求炮弹在运动中达到的最大高度.
[命题立意] 本题主要考查曲线参数方程中参数的实际意义及其应用.
[解]
(1)令y=0,则2tsin-gt2=0,
解之得t=.
∴炮弹从发射到落地所需要的时间为.
(2)y=2tsin-gt2=-gt2+t
=-g(t2-t)
=-g[(t-)2-]
=-g(t-)2+,
∴当t=时,y取最大值.
即炮弹在运动中达到的最大高度为.
一、选择题
1.方程(θ是参数)所表示曲线经过下列点中的( )
A.(1,1) B.
C.D.
解析:
选C 将点的坐标代入方程:
解θ的值.若有解,则该点在曲线上.
2.直线l的参数方程为(t为参数),l上的点P1对应的参数是t1,则点P1与P(a,b)之间的距离是( )
A.|t1|B.2|t1|
C.|t1|D.|t1|
解析:
选C ∵P1(a+t1,b+t1),P(a,b),
∴|P1P|===|t1|.
3.已知曲线C的参数方程为(θ为参数,π≤θ<2π).已知点M(14,a)在曲线C上,则a=( )
A.-3-5B.-3+5
C.-3+D.-3-
解析:
选A ∵(14,a)在曲线C上,
∴
由①得:
cosθ=,又π≤θ<2π.
∴sinθ=-=-,∴tanθ=-.
∴a=5·(-)-3=-3-5.
4.参数方程(t为参数)所表示的曲线是( )
A.一条射线B.两条射线
C.一条直线D.两条直线
解析:
选B 因为x=t+∈(-∞,-2]∪[2,+∞),
即x≤-2或x≥2,故是两条射线.
二、填空题
5.由方程x2+y2-4tx-2ty+3t2-4=0(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹的参数方程为________.
解析:
由x2+y2-4tx-2ty+3t2-4=0得:
(x-2t)2+(y-t)2=4+2t2.
设圆心坐标为(x,y),则
答案:
(t为参数)
6.已知某条曲线C的参数方程为(其中t为参数,a∈R).点M(5,4)在该曲线上,则常数a=________.
解析:
∵点M(5,4)在曲线C上
∴
解得:
∴a的值为1.
答案:
1
7.曲线(x-1)2+y2=4上点的坐标可以表示为________(填序号).
①(-1+cosθ,sinθ),②(1+sinθ,cosθ),
③(-1+2cosθ,2sinθ),④(1+2cosθ,2sinθ)
解析:
分别将①、②、③、④代入曲线(x-1)2+y2=4验证可知,只有④使方程成立.
答案:
④
8.动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12,运动开始时,点M位于A(1,1),则点M的参数方程为________.
解析:
设M(x,y),则在x轴上的位移为:
x=1+9t,在y轴上的位移为y=1+12t.
∴参数方程为:
答案:
(t为参数)
三、解答题
9.设质点沿以原点为圆心,半径为2的圆作匀角速度运动,角速度为rad/s,运动开始时质点位于A(2,0),试以时间t为参数,建立质点运动轨迹的参数方程.
解:
如图,运动开始时质点位于点A处,此时t=0,设动点M(x,y)对应时刻t,由图可知:
又θ=·t,
故参数方程为:
(t为参数).
10.过M(0,1)作椭圆x2+=1的弦,试求弦中点的轨迹的参数方程.
解:
设过M(0,1)的弦所在的直线方程为y=kx+1,其与椭圆的交点为(x1,y1)和(x2,y2),设中点P(x,y)则有:
x=,y=
由得:
(k2+4)y2-8y+4-4k2=0
∴y1+y2=,x1+x2=.
∴(k为参数)
这就是以动弦斜率k为参数的动弦中点的轨迹的参数方程.
11.舰A在舰B的正东,距离6千米;舰C在舰B的北偏西30°,距离4千米.它们准备围捕海中某动物,某时刻A
发现动物信号,4秒后B、C同时发现这种信号,A于是发射麻醉炮弹,假设舰与动物都是静止的,动物信号的传播速度为1千米/秒,炮弹初速度为千米/秒,其中g为重力加速度,空气阻力不计,求舰A炮击的方位角与仰角.
解:
以BA为x轴,BA中垂线为y轴建立直角坐标系(如图),则B(-3,0),A(3,0),C(-5,2).设海中动物为P(x,y).因为|BP|=|CP|,所以P在线段BC的中垂线上,易知中垂线方程是y=(x+7).
又|PB|-|PA|=4,所以P在以A、B为焦点的双曲线右支上,双曲线方程是-=1.
从而得P(8,5).
设∠xAP=α,则tanα=kAP=,∴α=60°,这样炮弹发射的方位角为北偏东30°.再以A为原点,AP为x′轴建立坐标系x′Ay′,(如图).
|PA|=10,设弹道曲线方程是(其中θ为仰角)
将P(10,0)代入,消去t便得sin2θ=,θ=30°或60°这样舰A发射炮弹的仰角为30°或60°.
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