中考数学 一轮专题突破正方形综合含答案Word格式文档下载.docx
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A.60°
B.67.5°
C.75°
D.54°
6.(2020·
湖北孝感)如图,点E在正方形ABCD的边CD上,将△ADE绕点A顺时针旋转90°
,到△ABF的位置,连接EF,过点A作EF的垂线,垂足为点H,与BC交于点G,若BG=3,CG=2,则CE的长为()
B.
C.4D.
7.(2020·
温州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,以其三边为边向外作正方形,过点C作CR⊥FG于点R,再过点C作PQ⊥CR分别交边DE,BH于点P,Q.若QH=2PE,PQ=15,则CR的长为
A.14B.15C.
D.
8.(2020·
东营)如图,在正方形ABCD中,点P是AB上一动点(不与A、B重合),对角线AC、BD相交于点O,过点P分别作AC、BD的垂线,分别交AC、BD于点E、F,交AD、BC于点M、N,下列结论:
①△APE≌△AME;
②PM+PN=AC;
③
;
④△POF∽△BNF;
⑤点O在M、N两点的连线上.其中正确的是()
A.①②③④B.①②③⑤C.①②③④⑤D.③④⑤
二、填空题
9.将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置(如图),使得点D落在对角线CF上,EF与AD相交于点H,则HD= .(结果保留根号)
10.如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,点E在AB边上,EF⊥AC于点F,连接EC,AF=3,若△EFC的周长为12,则EC的长为 .
11.如图,正方形ABCO的顶点C,A分别在x轴,y轴上,BC是菱形BDCE的对角线,若∠D=60°
,BC=2,则点D的坐标是________.
12.▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC⊥BD,请添加一个条件:
________,使得▱ABCD为正方形.
13.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏,被誉为“东方魔板”.由边长为4
的正方形ABCD可以制作一副如图①所示的七巧板,现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图②所示的“拼搏兔”造型(其中点Q,R分别与图②中的点E,G重合,点P在边EH上),则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是 .
14.如图,正方形ABCD的面积为3cm2,E为BC边上一点,∠BAE=30°
,F为AE的中点,过点F作直线分别与AB,DC相交于点M,N.若MN=AE,则AM的长等于________cm.
三、解答题
15.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是OC上一点,连接EB.过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相交于点F.
求证:
OE=OF.
16.如图,在正方形ABCD中,点E是BC的中点,连接DE,过点A作AG⊥ED交DE于点F,交CD于点G.
(1)求证:
△ADG≌△DCE;
(2)连接BF,求证:
AB=FB.
17.如图,正方形ABCD,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.
(1)求证:
BE=AF;
(2)若AB=4,DE=1,求AG的长.
18.如图,已知正方形ABCD与正方形CEFG,M是AF的中点,连接DM,EM.
(1)如图①,点E在CD上,点G在BC的延长线上,判断DM,EM的数量关系与位置关系,请直接写出结论.
(2)如图②,点E在DC的延长线上,点G在BC上,
(1)中结论是否仍然成立?
请证明你的结论.
正方形综合-答案
1.【答案】B [解析]A.▱ABCD中,若∠ABC=90°
,则▱ABCD是矩形,再由AB=AD可得是正方形,故此选项错误;
B.▱ABCD中,若AB=BC,则▱ABCD是菱形,再由AC⊥BD仍可得是菱形,不能判定为正方形,故此选项正确;
C.▱ABCD中,若AC⊥BD,则▱ABCD是菱形,再由AC=BD可得是正方形,故此选项错误;
D.▱ABCD中,若AC=BD,则▱ABCD是矩形,再由AB=BC可得是正方形,故此选项错误.故选B.
2.【答案】B
3.【答案】B 【解析】设CH=x,∵BE∶EC=2∶1,BC=9,∴EC=3,由折叠可知,EH=DH=9-x,在Rt△ECH中,由勾股定理得:
(9-x)2=32+x2,解得:
x=4.
4.【答案】C [解析]连接EF.∵AE=AF,∠EAF=60°
,∴△AEF为等边三角形,∴AE=EF.∵四边形ABCD为正方形,∴∠B=∠D=∠C=90°
,AB=AD,∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),∴BE=DF,∴EC=CF.设CF=x,则EC=x,AE=EF=
=
x,BE=1-x.在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2,∴1+(1-x)2=(
x)2,解得x=
-1(舍负).故选C.
5.【答案】A [解析]连接BF,∵E为AB中点,FE⊥AB,∴EF垂直平分AB,∴AF=BF.∵AF=2AE,
∴AF=AB,∴AF=BF=AB,∴△ABF为等边三角形,∴∠FBA=60°
,BF=BC,∴∠FCB=∠BFC=15°
,∵四边形ABCD为正方形,
∴∠DBC=45°
,根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠DOC=15°
+45°
=60°
.
6.【答案】B
【解析】由旋转的性质得△ABF≌△ADE,∴BF=DE,AF=AE,又∵AH⊥EF,∴FH=EH,
∵四边形ABCD是正方形,∴∠C=90°
,∠EFC=∠EFC,∴△FHG∽△FCE,∴
,
∵BG=3,CG=2,∴BC=5,设EC=x,则BF=DE=5-x,FG=BG+BF=3+5-x=8-x,CF=BC+BF=5+5-x=10-x,EF=
,FH=
∴
,解得:
x=
.故选B.
7.【答案】A
【解析】本题主要考查了相似三角形和正方形的性质,由题意知△CDP∽△CBQ,所以
,即
BC=2CD,所以CQ=2CP,则CP=5,CQ=10,由于PQ∥AB,所以∠CBA=∠BCQ=∠DCP,则tan∠BCQ=tan∠DCP=tan∠CBA=
,不妨设DP=x,则DC=2x,在Rt△DCP中,
,解得x=
.∴DC=2
,BC=4
,所以AB=10,△ABC的斜边上的高=
所以CR=14,所以因此本题选A.
8.【答案】B
【解析】本题考查了垂线、平行线和正方形的性质,全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质,是常见问题的综合,灵活的运用所学知识是解答本题的关键.综合应用垂线、平行线和正方形的性质,全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质等知识,逐个判断5个结论的正确性,得出结论.
①∵正方形ABCD,∴∠APE=∠AME=45°
,∵PM⊥AE,∴∠AEP=∠AEM=90°
,∵AE=AE,∴△APE≌△AME(ASA);
②过点N作NQ⊥AC于点Q,则四边形PNQE是矩形,∴PN=EQ,∵正方形ABCD,∴∠PAE=∠MAE=45°
,∵PM⊥AE,∴∠PEA=45°
,∴∠PAE=∠APE,PE=NQ,∴△APE等腰直角三角形,∴AE=PE,同理得:
△NQC等腰直角三角形,∴NQ=CQ,∵△APE≌△AME,∴PE=ME,∴PE=ME=NQ=CQ,∴PM=AE+CQ,∴PM+PN=AE+CQ+EQ=AC,即PM+PN=AC成立;
③∵正方形ABCD,∴AC⊥BD,∴∠EOF是直角,∵过点P分别作AC、BD的垂线,分别交AC、BD于点E、F,∴∠PEO和∠PFO是直角,∴四边形PFOE是矩形,∴PF=OE,在Rt△PEO中,有PE2+OE2=PO2,∴PE2+PF2=PO2,即PE2+PF2=PO2成立;
④△BNF是等腰直角三角形,点P不在AB的中点时,△POF不是等腰直角三角形,所以△POF与△BNF不一定相似,即△POF∽△BNF不一定成立;
⑤∵△AMP是等腰直角三角形,△PMN∽△AMP,∴△PMN是等腰直角三角形,∵∠MPN=90°
,∴PM=PN,∵AP=
PM,BP=
PN,∴AP=BP,∴点P是AB的中点,又∵O为正方形的对称中点,∴点O在M、N两点的连线上.综上,①②③⑤成立,即正确的结论有4个,答案选B.
9.【答案】
-1 [解析]∵四边形ABCD为正方形,
∴CD=1,∠CDA=90°
∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置,使得点D落在对角线CF上,
∴CF=
,∠CFE=45°
,∴△DFH为等腰直角三角形,∴DH=DF=CF-CD=
-1.
故答案为
-1.
10.【答案】5 [解析]∵四边形ABCD是正方形,AC为对角线,
∴∠FAE=45°
,又∵EF⊥AC,
∴∠AFE=90°
,∴∠AEF=45°
∴EF=AF=3,
∵△EFC的周长为12,
∴FC=12-3-EC=9-EC,
在Rt△EFC中,EC2=EF2+FC2,
∴EC2=9+(9-EC)2,
解得EC=5.
11.【答案】
(
+2,1) 【解析】如解图,过点D作DG⊥BC于G,DF⊥x轴于F,∵在菱形BDCE中,BD=CD,∠BDC=60°
,∴△BCD是等边三角形,∴DF=CG=
BC=1,CF=DG=
,∴OF=
+2,∴D(
+2,1).
解图
12.【答案】∠BAD=90°
(答案不唯一) 【解析】∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC⊥BD,∴▱ABCD是菱形,当∠BAD=90°
时,菱形ABCD为正方形.故可添加条件:
∠BAD=90°
.
13.【答案】4
[解析]如图,连接EG,作GM⊥EN交EN的延长线于M.
在Rt△EMG中,∵GM=4,EM=2+2+4+4=12,
∴EG=
=4
∴EH=
14.【答案】
或
【解析】如解图,过N作NG⊥AB,交AB于点G,∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD=NG=
cm,在Rt△ABE中,∠BAE=30°
,AB=
cm,∴BE=1cm,AE=2cm,∵F为AE的中点,∴AF=
AE=1cm,在Rt△ABE和Rt△NGM中,
,∴Rt△ABE≌Rt△NGM(HL),∴BE=GM,∠BAE=∠MNG=30°
,∠AEB=∠NMG=60°
,∴∠AFM=90°
,即MN⊥AE,在Rt△AMF中,∠FAM=30°
,AF=1cm,∴AM=
=
cm,由对称性得到AM′=BM=AB-AM=
-
cm,综上,AM的长等于
cm.
15.【答案】
证明:
在正方形ABCD中,AC⊥BD,
∴∠AOF=∠BOE=90°
∵AM⊥BE,∴∠AME=90°
∴∠FAO+∠AEB=∠EBO+∠AEB=90°
∴∠FAO=∠EBO.
在正方形ABCD中,
AC=BD,OA=
AC,OB=
BD,
∴OA=OB,
∴△AOF≌△BOE(ASA),∴OE=OF.
16.【答案】
(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADG=∠C=90°
,AD=DC,
又∵AG⊥DE,∴∠DAG+∠ADF=90°
=∠CDE+∠ADF,∴∠DAG=∠CDE,
∴△ADG≌△DCE(ASA).
(2)如图,延长DE交AB的延长线于H,
∵E是BC的中点,∴BE=CE.
又∵∠C=∠HBE=90°
,∠DEC=∠HEB,∴△DCE≌△HBE(ASA),∴BH=DC=AB,即B是AH的中点.
又∵∠AFH=90°
∴Rt△AFH中,BF=
AH=AB.
17.【答案】
∴∠BAE=∠ADF=90°
,AB=AD=CD,
∵DE=CF,∴AE=DF,
在△BAE和△ADF中,
∴△BAE≌△ADF(SAS),
∴BE=AF;
(2)解:
由
(1)得:
△BAE≌△ADF,
∴∠EBA=∠FAD,
∴∠GAE+∠AEG=90°
∴∠AGE=90°
∵AB=4,DE=1,
∴AE=3,
∴BE=
=5,
在Rt△ABE中,
AB×
AE=
BE×
AG,
∴AG=
.
18.【答案】
解:
(1)结论:
DM⊥EM,DM=EM.
[解析]延长EM交AD于H.
∵四边形ABCD是正方形,四边形EFGC是正方形,
∴∠ADE=∠DEF=90°
AD=CD,
∴AD∥EF,
∴∠MAH=∠MFE,
∵AM=MF,∠AMH=∠FME,
∴△AMH≌△FME,
∴MH=ME,AH=EF=EC,∴DH=DE,
∵∠EDH=90°
∴DM⊥EM,DM=ME.
(2)结论不变.DM⊥EM,DM=EM.
延长EM交DA的延长线于H.
∴MH=ME,AH=EF=EC,
∴DH=DE,
∴DM⊥EM,DM=ME.
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