突发环境事件应急预案Word文档下载推荐.docx
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4.体积公式:
V长方体==V柱体=
V锥体=V台体=
V球=
空间几何体的表面积和体积教案
例1:
已知直三棱柱底面各边的比为17∶10∶9,侧棱长为16,全面积为14402,求底面各边之长.
例2:
正三棱锥底面边长为a,侧棱与底面成45°
角,求此棱锥的侧面积与全面积.
例3:
从一个正方体中,如图那样截去4个三棱锥后,得到一个正三棱锥A—,求它的体积是正方体体积的几分之几?
例4:
假设正棱锥的底面边长为a,侧棱长为2a,求对角面的面积和侧面积.
例5:
如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:
(1)球的表面积等于圆柱的侧面积;
(2)球的表面积等于圆柱全面积的
例6:
有三个球,第一个球内切于正方体的六个面,第二个球与这个正方体各条棱都相切,第三个球过这个正方体的各顶点,求这三个球的表面积之比.
例7:
已知圆锥的全面积是它内切球表面积的2倍,求圆锥侧面积与底面积之比.
练习:
1.已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半,且2,求球的体积.
2.一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上,求此球的体积.
例8:
求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.
例9:
半径为R的球的内接四面体内有一内切球,求这两球的体积比?
分析:
这是一道跟直棱柱侧面积有关的问题,从结论出发,欲
求底面各边之长,而各边之比已知,可分别设为17a、10a、
9a,故只须求出参数a即可,那么如何利用已知条件去求
a呢?
[生]设底面三边长分别是17a、10a、9a,
S侧=(17a+10a+9a)·
16=576a
设17a所对三角形内角α,
则α==-,α=
S底=·
10a·
9a·
=36a2
∴576a+72a2=1440解得:
a=2
∴三边长分别为34,20,18.
[师]此题中先设出参数a,再消去参数,很有特色.
可根据正棱锥的侧面积与全面积公式求得.
解:
如图所示,设正三棱锥S—的高为,斜高为,
在△中,∴=·
45°
∵==a∴=a
在△中
=
∴S侧=·
3a·
=a2.∵S底=a2
∴S全=(+)a2
在准确识图的基础上,求出所截得的每个三棱锥的
体积和正三棱锥A—的体积即可.
设正方体体积为,则每个截去的三棱锥的体积
为·
=.
∵三棱锥A—的体积为
-4·
∴正三棱锥A—的体积是正方体体积的.
如图所示,在正四棱锥P—中,=a,=2a,
作⊥底面于O.连结,则O∈,且⊥,
由=a,得=a,在△中,
2=2-2=(2a)2-(a)2
∴=a,S对角面=·
=a2.
又作⊥于E,这时E是的中点
∴2=2-2=(2a)2-(a)2
∴=a∴S侧=4×
·
=a2
∴对角面面积为a2,侧面积为a2.
证明:
(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,
高为2R,得
S球=4πR2,S圆柱侧=2πR·
2R=4πR2∴S球=S圆柱侧
(2)∵S圆柱全=4πR2+2πR2=6πR2S球=4πR2
∴S球=S圆柱全
设正方体的棱长为a,则第一个球的半径为,第二个球的半径是a,第三个球的半径为a.
∴r1∶r2∶r3=1∶∶∴S1∶S2∶S3=1∶2∶3
过圆锥的轴作截面截圆锥和内切球分别得轴截面和球的大圆⊙O,且⊙O为
△的内切圆.
设圆锥底面半径为r,母线长为l;
内切圆半径为R,则
S锥全=πr2+π,S球=4πR2,∴r2+=8R2①
又∵△∽△1
∴
②
由②得:
R2=r2·
代入①得:
r2+=8r2·
,得:
l=3r
∴圆锥侧面积与底面积之比为3∶1.
如图所示,等边△为圆锥的轴截面,此截面截圆柱得正方形C11,截球面得球的大圆圆O1.
设球的半径O1O=R,则它的外切圆柱的高为2R,底面半径为R,则有
=O1O·
30°
=R
=·
60°
=R·
=3R
∴V球=πR3柱=πR2·
2R=2πR3
V锥=π(R)2·
3R=3πR3
∴V球∶V柱∶V锥=4∶6∶9
[师]以上题目,通过作球及外切圆柱、等边圆锥的公共截面暴露这些几何体之间的相互关系.
让我们继续体会有关球的相接切问题.
如图所示,大球O的半径为R;
设正四面体
A—的棱长为a,它的内切球半径为r,依题意
1=a=a,
1===a
又∵2=12+12,
∴R2=(
∴a=
R
连结,,,,内切球球心到正四面体各面距离为r,
—=—+—+—+—
∴r=
∴V小球∶V大球=
π·
(
R)3∶
R3=1∶27
∴内切球与外接球的体积比为1∶27.
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