高中数学北师大版选修12第四章《数系的扩充与复数的引入》章末小结精品学案.docx
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高中数学北师大版选修12第四章《数系的扩充与复数的引入》章末小结精品学案.docx
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高中数学北师大版选修12第四章《数系的扩充与复数的引入》章末小结精品学案
章末小结
1.复数的概念及主要代数性质
(1)复数:
形如z=a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中i是虚数单位,i2= -1 ,a,b分别叫它的 实部 和 虚部 .
(2)复数的分类:
设复数z=a+bi(a,b∈R),
①当b=0时,z为 实数 ;
②当b≠0时,z为 虚数 ;
③当a=0,且b≠0时,z为 纯虚数 .
(3)复数相等的条件:
在复数集中任意两个复数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),规定:
a+bi与c+di相等的充要条件是 a = c 且 b = d ,换句话说,如果两个复数实部和虚部分别 相等 ,那么就说这两个复数相等.
(4)两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数,就不能比较它们的大小.
(5)共轭复数:
当两个复数实部 相等 ,虚部互为 相反数 时,这两个复数互为共轭复数.
2.对复平面与复数的几何性质的理解
(1)复平面:
建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面,x轴叫作 实轴 ,y轴叫作 虚轴 .
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面上的点Z(a,b)建立了一一对应的关系.
(3)复数的模:
因为z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的向量一一对应,所以向量的模就叫作复数z=a+bi的模,因此有|z|= ,且有z·= a2+b2 .
3.复数的四则运算及运算律
(1)复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行:
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①z1±z2= (a±c)+(b±d)i ;
②z1·z2= (ac-bd)+(ad+bc)i ;
③== +i (z2≠0).
(2)结论:
①在复数代数形式的四则运算中,加法、减法、乘法运算都可以按多项式运算法则进行,只是在运算过程中把i2换成 -1 ,然后实、虚部分别合并;除法法则需分子分母同乘分母的 共轭复数 ,使分母实数化.
②记住一些常用的结果,如i的有关性质,可简化运算,提高运算速度.
③若z为虚数,则|z|2≠z2.
(3)运算律
①复数的加法运算满足 交换律 、 结合律 .
②复数的乘法运算满足 交换律 、 结合律 、乘法对加法的 分配律 .
③复数的减法是 加法 的逆运算,复数的除法是 乘法 的逆运算.
4.复数与其他知识的联系与区别
(1)复数事实上是一对有序实数对,因此复数问题可以转化为 实数 问题来解决,复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的向量=(a,b)一一对应,故复数与平面解析几何、平面向量联系密切.
(2)复数代数形式的加、减运算与 平面向量 的加、减运算是一致的,复数代数形式的加法、减法、乘法运算与 多项式 的加法、减法、乘法运算是类似的.
题型1:
复数的基本概念和运算
已知复数z=(2+i)m2--2(1-i),当实数m取什么值时,复数z是:
(1)零;
(2)虚数;
(3)纯虚数;
(4)复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数?
【方法指导】得结果结合条件确定m对复数z进行化简
【解析】z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.
(1)当即m=2时,z为零.
(2)当m2-3m+2≠0,即m≠2且m≠1时,z为虚数.
(3)当即m=-时,z为纯虚数.
(4)当2m2-3m-2=-(m2-3m+2),即m=0或m=2时,z为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.
【小结】本题考查了复数的四则运算、复数的分类、复数相等的充要条件、复数的几何意义等知识点.
题型2:
复数的几何意义
已知z是复数,z+2i、均为实数,且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.
【方法指导】a的范围←解不等式组←列不等式组←化简(z+ai)2←求出z←列方程组←设z=c+di
【解析】根据题意,设复数z=c+di(c,d∈R),
则z+2i=c+(d+2)i为实数,即d+2=0,解得d=-2,所以z=c-2i.
又==为实数,即=0,
解得c=4,所以z=4-2i.
∵(z+ai)2=(4-2i+ai)2=16-(2-a)2-8(2-a)i对应的点在第一象限,
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