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b）{1，}

c）{x,y,z}

d）{，a,{a}}

e）（{}）

10、设（A）=Ã

（B）。

证明A=B。

习题1.2

1.设U={1,2,3,4,5},A={1,4},B={1,2,5},C={2,4}。

试求下列集合：

a）A~B；

b）（AB）~C；

c）~（AB）；

d）~A~B；

e）（A–B）–C；

f）A–（B–C）；

g）（AB）C；

h）（AB）（BC）

2.设A={n|nI+且n<

12},B={n|nI+且n8},C={2n|nI+},D={3n|nI+}且E={2n-1|nI+}试用A，B，C，D和E表达下列集合：

a）{2，4，6，8}；

b）{3，6，9}；

c）{10}；

d）{n|n为偶数且n>

10}；

e）{n|n为正偶数且n10，或n为奇数且n9}。

3.证明：

a）如果AB且CD，则ACBD且ACBD；

b）A（B-A）=;

c）A（B-A）=AB;

d）A–（BC）=（A–B）（A–C）；

e）A–（BC）=（A–B）（A–C）；

f）A–（A–B）=AB；

g）A-（B-C）=（A-B）（AC）。

4.证明

a）A=B当且仅当AB=；

b）AB=BA；

c）（AB）C=A（BC）；

d）A（BC）=（AB）（AC）；

e）（BC）A=（BA）（CA）。

5.判断一下结论是否成立，如果或成立，就给予证明，如果不成立，就用文氏图加以说明。

a）若ACBC且ACBC，则AB；

b）若AB=AC且AB=AC，则B=C；

c）若AB=AC，则B=C;

d）若AB=AC，则B=C;

e）AB=AC，则B=C;

f）若ABC，则AB或AC；

g）若BCA，则BA或CA。

6.给出下列各式成立的充分必要条件，并加以证明。

a）（A-B）（A-C）=A;

b）（A-B）（A-C）=;

c）（A-B）（A-C）=A;

d）（A-B）（A-C）=A;

e）（A-B）（A-C）=A;

f）（A-B）（A-C）=;

g）AB=AB;

h）A-B=B;

i）A-B=B-A;

j）AB=A；

k）（A）（B）=（AB）;

7.设A，B为任意两个集合，证明：

a）（A）（B）（AB）;

b）（A）（B）=（AB）。

8.试求出和，其中为：

a）{{}}；

b）{，{}}；

c）{{a},{b},{a,b}}。

9.设

且

，

。

证明

10.设

，试求

和

11.设

试求

12.设

，我们称

分别为集合序列

的上极限和下极限，证明：

a）

为由一切属于无限多个

的元素组成的集合；

b）

为由一切属于“几乎所有”的

的元素组成的集合。

习题1.3

1、用归纳法证明：

a）

；

b）2+22+23+…+2n=2n+1-2；

c）2n=2n；

d）3|n3+2n;

e）1·

2·

3+2·

3·

4+…+n（n+1）（n+2）=

f）任意三个相邻整数的立方和能被9整除；

g）11n+2+122n+1是133的倍数；

h）若nI+则

2、设a0，a1，a2，…为由自然数组成的严格单调递增序列。

证明：

若nN，则n≤an。

3、斐波那契（Fibonacci）数列定义为

F0=0

F1=1

Fn+1=Fn+Fn-1，nI+

若nI+，则

4、设n,mI+且n＞m。

假定有n个直立的大头针，甲、乙两人轮流把这些直立的大头针扳倒。

规定每人每次可扳倒1至

根，且扳倒最后一根直立的大头针者为获胜者。

试证明：

如果甲先扳且（m+n）不能整除n，则甲总能获胜。

5、证明以下的二重归纳原理的正确性：

设i0,j0N。

假定对任意自然数i≥i0及j≥j0，皆有一个命题P（i,j）满足：

i）P（i0,j0）真；

ii）对任意自然数k≥i0及l≥j0，若P（k,l）真，则P（k+1,l）和P（k,l+1）皆真。

则对任意自然数i≥i0及j≥j0，P（i,j）皆真。

6、证明：

若nN，则nn。

7、证明：

若n,mN，则nm当且仅当nm。

8、证明：

若n,mN，则nm当且仅当n+m+。

9、证明：

若n,mN，则n＜m当且仅当有xN使m=n+x+。

10、证明：

若nN，则不可能有mÎ

N使n＜m＜n+。

习题1.4

1、设A={0,1}，B={1,2}。

试确定下列集合：

a）A×

{1}×

B

b）A2×

c）（B×

A）2

2、证明或用反例推翻下列命题：

a）（A∪B）×

（C∪D）=（A×

C）∪（B×

D）

b）（A∩B）×

（C∩D）=（A×

C）∩（B×

D）

c）（A－B）×

（C－D）=（A×

C）－（B×

d）（AB）×

（CD）=（A×

C）

（B×

3、如果B∪CA，则（A×

B）－（C×

D）=（A－C）×

（B－D）。

这个命题对吗？

如果对，则给予证明；

如果不对，则举出反例。

f）4、证明：

若xC且yC，则<

x,y>

（（C））。

5、证明：

a∪<

a,b>

且b∪<

6、把三元偶<

a,b,c>

定义为{{a},{a,b},{a,b,c}}合适吗？

说明理由。

7、为了给出序偶的另一定义，选取两个不同集合A和B（例如取A=，B={}），并定义<

={{a,A},{b,B}}。

证明这个定义的合理性。

第二章二元关系

习题2.1

1、列出从A到B的关系R中的所有序偶。

a）A={0,1,2}，B={0,2,4}，R={<

|x,yA∩B}

b）A={1,2,3,4,5}，B={1,2,3}，R={<

|xA,yB且x=y2}

2、设R1和R2都是从{1,2,3,4}到{2,3,4}的二元关系，并且

R1={<

1,2>

<

2,4>

3,3>

}

R2={<

1,3>

4,2>

求R1∪R2,R1∩R2,domR1,domR2,ranR1,ranR2,dom（R1∪R2）和ran（R1∪R2）。

3、设

都是从集合

到集合

的二元关系。

证明

dom（R1∪R2）=domR1∪domR2

ran（R1∩R2）ranR1∩ranR2

4、用L和D分别表示集合{1,2,3,6}上的普通的小于关系和整除关系，试列出L,D和L∩D中的所有序偶。

5、给出满足下列要求的二元关系的实例：

a）既是自反的，又是反自反的；

b）既不是自反的，又不是反自反的；

c）既是对称的，又是反对称的；

d）既不是对称的，又不是反对称的。

6、试判断下面的论断正确与否。

若正确，请加以证明；

若不正确，请给出反例。

设R和S都是集合A上的二元关系。

若R和S都是自反的（反自反的，对称的，反对称的，或传递的），则R∩S，R∪S，R－S，RS也是自反的（反自反的，对称的，反对称的，或传递的）。

7、描述R上的下列二元关系S的性质：

a）S={<

|x,yR且x·

y＞0}；

b）S={<

|x,yR，4整除|x－y|且|x－y|＜10}；

c）S={<

|x,yR，x2=1且y＞0}；

d）S={<

|x,yR，4|x|≤1且|y|≥1}。

8、设n,mI+。

若集合A恰有n个元素，则在A上能有多少个不同的m元关系？

证明你的结论。

9、设和都是由从集合A到集合B的二元关系构成的集类，并且

。

a）dom（∪）=∪{domR|R}；

b）ran（∪）=∪{ranR|RÎ

}；

c）dom（∩）∩{domR|RÎ

d）ran（∩）Í

∩{ranR|RÎ

10、设R为集合

上的一个二元关系。

如果R是反自反的和传递的，则R一定是反对称的。

11、设R为集合

上的一个二元关系，若令fldR=domR∪ranR则fldR=∪（∪R）。

12、若R为集合

上的一个二元关系，则

也是∪（∪R）上的二元关系。

习题2.2

1.设集合A={1,2,3,4,5,6}上的二元关系R为

R={<

1,1>

2,2>

3,3>

4,4>

5,5>

6,6>

1,2>

2,1>

1,3>

3,1>

2,3>

3,2>

4,5>

5,4>

试画出R的关系图GR，求出R的关系矩阵MR,并指出R所具有的性质。

2.对图2.2.3给出的集合A={1,2,3}上的十二个二元关系的关系图，写出相应的关系矩阵，并指出各个关系所具有的性质。

3.对习题2.1种第4题所给的二元关系L,D和LD，画出它们的关系图，并写出它们的关系矩阵。

4.设A为恰有n个元素的有限集。

a）共有多少个A上的不相同的自反关系？

a）共有多少个A上的不相同的反自反关系？

b）共有多少个A上的不相同的对称关系？

c）共有多少个A上的不相同的反对称关系？

d）共有多少个A上的不相同的既是对称又反对称的关系？

习题2.3

1.设R为非空有限集A上的二元关系。

如果R是反对称的，则RR-1的关系矩阵MRR-1中最多能有多少个元素为1？

2.设R为集合A上的二元关系，则RR-1为A上包含R的最小对称关系，RR-1为A上的包含在R中的最大对称关系。

3.设IA为集合A上的恒等关系，即IA={<

x,x>

|xA}。

则对A上的任意二元关系R，A上的二元关系IARR-1必是自反的和对称的。

4.设R为任意的二元关系。

a）domR-1=ranR;

b）ranR-1=domR。

习题2.4

1、设集合{a,b,c,d}上的二元关系R1和R2为R1={<

a,a>

b,d>

}；

a,d>

b,c>

c,b>

}。

试求R2oR1，R1oR2，

及

3、若R为任意集合

上的空关系或全关系，则R2=R。

4、举出使R1o（R2∩R3）（R1oR2）∩（R1oR3）,（R2∩R3）oR4（R2oR4）∩（R3oR4）

成立的二元关系R1，R2，R3和R4的实例。

5、设R1和R2都是集合A上的二元关系。

证明或用反例推翻以下的论断：

a）如果R1和R2都是自反的，则R1oR2也是自反的；

b）如果R1和R2都是反自反的，则R1oR2也是反自反的；

c）如果R1和R2都是对称的，则R1oR2也是对称的；

d）如果R1和R2都是传递的，则R1oR2也是传递的；

6、设A={0，1，2，3}上的二元关系R1和R2为R1={<

i,j>

|j=i+1或j=i/2}；

i,j>

|i=j+2}；

8、设R为集合A上的二元关系，s，t

N，s<

t且Rs=Rt。

a）若kÎ

N，则Rs+k=Rt+k；

b）若k,iÎ

N，则Rs+kp+i=Rs+i；

c）若kN，则Rk

{R0,R1,…,Rt-1}。

其中p=t-s。

9、设IA为集合A上的恒等关系，R为A上的任意二元关系。

a）R是自反的，当且仅当IAR；

b）R是反自反的，当且仅当R∩IA=；

c）R是对称的，当且仅当R=R-1；

d）R是反对称的，当且仅当RR-1=IA；

e）R是传递的，当且仅当RoRIA。

10、如果集合A上的二元关系R既是自反的，又是传递的，则R2=R。

11、设R1为从集合A到集合B的二元关系，R2为从集合B到集合C的二元关系。

试求dom（R1oR2）和ran（R1oR2）。

12、设R为从集合A到集合B的二元关系，且对每个XA，皆令R（X）={yB|有xX使＜x，y＞R}。

若X1A且X2A，则有

i）R（X1∪X2）=R（X1）∪R（X2）；

ii）R（X1∩X2）R（X1）∩R（X2）；

iii）R（X1﹨X2）R（X1）﹨R（X2）；

13、设R1为从集合A到集合B的二元关系，R2为从集合B到集合C的二元关系。

若XA，则（R1oR2）（X）=R2（R1（X））。

习题2.5

2、设R1和R2都是集合A上的二元关系，试证明：

a）r（R1∪R2）=r（R1）∪r（R2）；

b）s（R1∪R2）=s（R1）∪s（R2）；

c）t（R1∪R2）t（R1）∪t（R2）。

4、设R1和R2都是集合A上的二元关系，试证明：

a）r（R1∩R2）=r（R1）∩r（R2）；

b）s（R1∩R2）s（R1）∩s（R2）；

c）t（R1∩R2）t（R1）∩t（R2）。

并分别给出使s（R1）∩s（R2）s（R1∩R2）和t（R1）∩t（R2）t（R1∩R2）不成立的R1和R2的具体实例。

6、给出一个二元关系R使st（R）≠ts（R）。

7、设R为集合A上的二元关系，试证明：

a）RoR*=R+=R*oR；

b）（R+）+=R+；

c）（R*）*=R*；

习题2.6

1、设R1和R2都是集合A上的相容关系。

证明或用反例推翻下列命题：

a）R1∩R2是A上的相容关系；

b）R1∪R2是A上的相容关系；

c）R1－R2是A上的相容关系；

d）R1R2是A上的相容关系；

e）R1oR2是A上的相容关系；

f）

是A上的相容关系；

3、如果A为恰含n个元素的有限集，则A上有多少个不同的相容关系？

习题2.7

1、试判断下列I上的二元关系是不是I上的等价关系，并说明理由。

a）{<

|i,jÎ

I且i·

j>

0}；

b）{<

j≥0且i与j不同时为0}；

c）{<

I且i≤0}；

d）{<

Î

j≥0}；

e）{<

I且i|j}；

f）{<

I且有xÎ

I使10x≤i≤j≤10（x+1）}；

g）{<

I且|i－j|≤10}；

h）{<

I且有x,yÎ

I使10x≤i≤10（x+1）及10y≤j≤10（y+1）}；

i）{<

I使10x<

i<

10（x+1）}；

2、有人说：

“如果集合A上的二元关系R是对称的和传递的，则R必是自反的”。

并给出了如下的证明：

如果<

R，则由R是对称的可知<

y,x>

R，从而由R是传递的得到<

x,x>

R和<

y,y>

R。

因此R是自反的。

请你想一想，他的看法和证明对吗？

为什么？

3、设集合A上的二元关系R是自反的。

证明R为等价关系的充要条件是：

若<

a,b>

a,c>

R,则<

b,c>

R.

4、如果集合A上的二元关系R满足：

y,z>

R，则<

z,x>

就称R为循环的。

试证明集合A上的二元关系R为A上的等价关系，当且仅当R是自反的和循环的。

5、设R1和R2都是集合A上的等价关系。

试判断下列A上的二元关系是不是A上的等价关系，为什么？

a）A2－R1；

b）R1－R2；

c）

d）r（R1－R2）；

e）R2oR1；

f）R1∪R2；

g）t（R1∪R2）；

h）t（R1∩R2）；

6、设∏1和∏2都是集合A的划分。

试判断下列集类是不是A的划分，为什么？

a）∏1∪∏2；

b）∏1∩∏2；

c）∏1－∏2；

d）（∏1∩（∏2－∏1））∪∏1；

7、如果R1和R2都是集合A上的等价关系，则R1=R2当且仅当A/R1=A/R2。

8、设∏1和∏2都是集合A的划分，若对每个S1∈∏1，皆有S2∏2使S1S2，就称∏1和∏2的加细，记为∏1≤∏2且∏1≠∏2，就称∏1为∏2的真加细，并记为∏1<

∏2。

设R1和R2都是集合A上的等价关系，证明：

a）R1R2当且仅当A/R1≤A/R2。

b）R1R2当且仅当A/R1＜A/R2。

9、设A和B都是非空集，{A1,A2,…,An}为A的划分。

试证明{A1∩B,A2∩B,…,An∩B}并不总是集合A∩B的划分。

10、若R为集合A上的等价关系，则称n（A/R）为R的秩。

如果i,jÎ

I+且集合A上的等价关系R1与R2的秩分别为i和j，则R1∩R2也A上的等价关系且max{i,j}≤n（A/（R1∩R2））≤i·

j。

11、设A为恰含n个元素的非空有限集，则有多少个不同的A上的等价关系？

其中秩为2的又有多少？

12、如果n,m∈I+，则I/≡n为/I≡m的加细当且仅当m|n。

习题2.8

2、画出下列集合上的整除关系的哈斯图。

a）{1,2,3,4,6,8,12,24}；

b）{i|iÎ

I且1≤i≤14}；

c）{i|iÎ

I且5≤i≤20}；

3、设R为集合A上的二元关系且S

A，证明或用反例推翻下述断言：

a）若R是A上的半序，则R|s是S上的半序；

b）若R是A上的拟序，则R|s是S上的拟序；

c）若R是A上的全序，则R|s是S上的全序；

d）若R是A上的良序，则R|s是S上的良序；

4、设R是集合A上的二元关系。

a）若R是A上的半序，当且仅当R∩R-1=IA且R=R*；

b）若R是A上的拟序，当且仅当R∩R-1=Æ

且R=R+；

a）半序关系的逆关系仍然是半序关系；

b）全序关系的逆关系仍然是全序关系；

c）良序关系的逆关系未必是良序关系；

7、举出满足下列条件的半序结构<

A,≤>

的实例。

a）<

为全序结构，且A的某些非空子集无最小元。

b）<

不是全序结构，且A的某些非空子集无最大元。

c）A的某些非空子集有下确界，但无最小元。

d）A的某些非空子集有上界，但无上确定界。

8、设<

为半序结构。

证明A的每个非空有限子集都至少有一个极小元和极大元。

9、设<

为全序结构。

证明A的每个非空有限子集都有一个最大元和最小元。

10、试判断下列定义在二维欧氏空间R×

R上的二元关系T是不是R×

R上的拟序，半序，全序和良序？

R×

R的每个有下界的非空子集（关于拟序或半序T）是否与下确界？

并给出证明。

a）若x1,x2,y1,y2Î

x1,y1>

T<

x2,y2>

当且仅当x1≤x2且y1≤y2；

b）若x1,x2,y1,y2Î

当且仅当x1≤x2；

c）若x1,x2,y1,y2Î

当且仅当x1＜x2或者x1=x2且y1≤y2；

d）若x1,x2,y1,y2∈R，则<

x1,y1>

当且仅当x1＜x2。

11、设R为集合S上的全序关系。

证明R和R-1同时为S上的良序，当且仅当S为有限集。

12、I+在上定义二元关系R如下：

nRm当且仅当f（n）<

f（m）,或f（n）=f（m）且n≤m

其中f（n）表示n的不同素因子的个数。

证明<

I+,R>

为良序结构。

13、设S为集合且l（S）。

证明在半序结<

（S）,>

中有

Supl=∪l；

infl=∩l。

14、设为集合A的所有划分组成的集合，并在上定义二元关系R如下：

对任意的∏1,∏2Î

，则∏1R∏2当且仅当∏1为∏2的加细。

证明R是上的半序。

第三章

习题3.1

1、下列关系中哪些是部分函数？

对于不是部分函数的关系，说明不能构成部分函数的原因。

x,y>

|x,y∈N且x+y<

b）{<

|x,y∈R且y=x2}；

c）{<

|x,y∈R且y2=x}。

2、下列集合能定义部分函数吗？

如果能，试求出它们的定义域和值域。

1,<

>

2,<

3,4>

3,<

1,4>

4,<

2,4>

d）{<

3、设A为集合。

若对任意s1,s2Î

（A）皆令f（s1,s2）=s1∩s2，则f是从（A）×

（A）到（A）上的二元函数。

5、设f为从X到Y的部分函数，试证明：

a）若A，BÎ

（X），则f[A－B]f[A]－f[B]，并举例说明不能用“=”代替其中的“”；

b）若C，DÎ

（Y），则f-